邱春禮

[摘 要]在單元復(fù)習(xí)課中，嘗試通過多元表征，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，并對知識與技能、策略與方法的選擇和應(yīng)用作出指導(dǎo)，提高學(xué)生思維的靈活性。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué) 復(fù)習(xí) 靈動 單元 思維

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）26-019

一、習(xí)題——引發(fā)思考

1.現(xiàn)象

在一次練習(xí)中，分散編排著幾道習(xí)題，如下。

（1）直徑比是2∶1，周長比是（ ），面積比是（ ）。

（2）大圓半徑等于小圓直徑，周長比是（ ）。

（3）大圓半徑等于小圓直徑，周長和是18.84厘米，大圓周長是多少厘米？

前幾節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生從比的角度認(rèn)識圓的半徑、直徑、周長、面積之間的關(guān)系，但由于是分散學(xué)習(xí)的，所以希望通過本次的變式練習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生從比的角度去思考并解決問題的意識。但是，從批改學(xué)生的練習(xí)結(jié)果（見下表）來看，情況不容樂觀。

為此，我訪談了幾位做錯的學(xué)生。

生1：我在做第（2）題時，自己假設(shè)了一個大圓的半徑為1厘米，小圓半徑則為0.5厘米，最后算錯了。

生2：我做第（3）題時，假設(shè)不出來，亂寫的。

生3：我下課與同學(xué)交流，才發(fā)現(xiàn)用比來做這么簡單，自己當(dāng)時沒想到。

……

從上面的訪談中可以看出，學(xué)生在解決第（2）和第（3）題的過程中，并沒有想到前面小結(jié)過的知識。也就是說，第（1）題正確率為100%，更多的是來自于學(xué)生的背誦與記憶。

2.思考

鄭毓信教授認(rèn)為：“在解題或新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生往往不善于在心理表征的不同側(cè)面之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而也就不能很順利地去找出對于求解目前所面臨的問題較為適合的成分?！绷殖绲陆淌趧t認(rèn)為：“數(shù)學(xué)思維的靈活性，這是學(xué)生在數(shù)學(xué)思維活動中，思考的方向、過程與思維技巧的即時轉(zhuǎn)換科學(xué)性水平的集中反映?！庇纱丝梢钥闯?，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生學(xué)會在同一概念的不同心理表征或概念意象的不同側(cè)面之間靈活地實現(xiàn)轉(zhuǎn)移。我認(rèn)為，這一任務(wù)落實在單元復(fù)習(xí)課中是比較合適的，因為單元復(fù)習(xí)課主要有三個功能，即知識整理、查漏補(bǔ)缺、思維提升，這三個功能不是單獨的個體，而是相互聯(lián)系、相輔相成的。依據(jù)“艾濱浩斯遺忘曲線”理論，一個單元的學(xué)習(xí)時間跨度剛好處在復(fù)習(xí)的最佳時機(jī)。

二、實踐——讓復(fù)習(xí)走向靈動

1.多元表征，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)

新人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊教材安排了分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法、比、百分?jǐn)?shù)等內(nèi)容，與學(xué)生在五年級學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義、四年級學(xué)習(xí)小數(shù)的意義等內(nèi)容緊密相連，但由于每個單元有自己的側(cè)重點，而且時間跨度又大，所以給學(xué)生的感覺是零散的。同時，教材的編排是螺旋上升的，知識之間是緊密聯(lián)系的，不過這些前后聯(lián)系緊密的數(shù)學(xué)知識由于所處的學(xué)習(xí)階段不同，其表征也就不同。教學(xué)實踐表明，知識表征的不同，往往會誤導(dǎo)學(xué)生，讓他們覺得這些知識表征之間是沒有任何聯(lián)系的，從而在學(xué)習(xí)中不能靈活地提取與選擇合適的信息進(jìn)行加工。

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：“信息以圖式的方式表征，將大大提高其激活和提取的速度，也會節(jié)省極為有限的工作記憶的存儲空間?！彼?，在教學(xué)“百分?jǐn)?shù)（一）”的單元復(fù)習(xí)課中，我做了以下的探究。

（1）文字表征。

師（呈現(xiàn)信息：男生人數(shù)比女生少20%）：請你說一句話，這句話所表達(dá)的意思要跟大屏上呈現(xiàn)的信息一樣，看誰想到的句子多。（先讓學(xué)生靜靜地思考，交流反饋）

生1：男生人數(shù)是女生人數(shù)的80%。

生2：男生人數(shù)是女生人數(shù)的0.8倍。

生3：男生人數(shù)與女生人數(shù)的比是4∶5。

……

通過變換句式，學(xué)生很快將百分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、比這些概念聯(lián)結(jié)起來，加深了對概念的理解。但是，我們從中也發(fā)現(xiàn)，受呈現(xiàn)信息的影響，學(xué)生的反饋大都呈現(xiàn)同樣一個模式，這對于學(xué)生思維靈活性的發(fā)展是不利的。

師（適時引導(dǎo)）：大家說的都是誰與誰在比？

生4：男生人數(shù)和女生人數(shù)在比。

師：還可以怎么比呢？

生5：女生人數(shù)和男生人數(shù)比。

師：那么，這句話的意思還可以怎么表達(dá)？

生6：女生人數(shù)是男生人數(shù)的125%。

生7：女生人數(shù)比男生人數(shù)多。

生8：女生人數(shù)是男生人數(shù)的1.25倍。

生9：女生人數(shù)與男生人數(shù)的比是5∶4。

……

當(dāng)學(xué)生能用不同的數(shù)來表達(dá)的時候，說明學(xué)生對數(shù)的理解已經(jīng)不是單一的、片面的，而是形成了一個整體的知識網(wǎng)絡(luò)。鄭毓信教授曾指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)求全，而要求聯(lián)?！边@就要求教師不僅要關(guān)注知識點的教學(xué)，更要重視溝通知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)。

（2）算式表征。

有了對數(shù)的意義的深刻理解，學(xué)生再來用等式表達(dá)，就比較得心應(yīng)手了。

師：你能用等式表示這句話的意思嗎？

生10：女生人數(shù)×20%=相差數(shù)，女生人數(shù)×（1-20%）=男生人數(shù)。

生11：女生人數(shù)×=相差數(shù)，女生人數(shù)×（1-）=男生人數(shù)。

生12：女生人數(shù)×0.2=相差數(shù)，女生人數(shù)×（1-0.2）=男生人數(shù)。

生13：總?cè)藬?shù)×=女生人數(shù)，總?cè)藬?shù)×=男生人數(shù)。

師：仔細(xì)觀察，大家寫的等量關(guān)系有什么相同的地方？

生14：都是乘法，一個數(shù)乘分率或倍數(shù)等于另一個數(shù)。

……

這里，既將 “比一個數(shù)多（少）百分之幾”納入“一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，又將“一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾”納入“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”和“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，形成概念系統(tǒng)，使學(xué)生了解有關(guān)概念之間的邏輯關(guān)系，從而實現(xiàn)概念的融會貫通。

（3）圖形表征。

師：你還能用圖形來表示這句話的意思嗎？（學(xué)生動手畫一畫后交流反饋）

生15：

生16：

……

為了讓學(xué)生的思維靈活起來，數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)和促進(jìn)學(xué)生在同一數(shù)學(xué)概念心理表征的不同成分之間作出靈活的轉(zhuǎn)移。概念的外部表征，算式的符號化，豐富了學(xué)生內(nèi)在的思維結(jié)構(gòu)，為靈活解決問題和學(xué)習(xí)新知識提供了可能。

2.精選素材，有效指導(dǎo)

有了豐富的知識儲備，學(xué)生在面臨比較單一的問題時，知識的提取與應(yīng)用不存在太多的問題，甚至有很多單一的技能已經(jīng)達(dá)到了自動化的程度，如基本的口算等。但遇到稍難一點的問題或?qū)W習(xí)新知識時，學(xué)生在提取的過程中還是會出現(xiàn)困難，這是因為學(xué)生不善于搜索，缺乏搜索的路徑與方法。所以，教師要設(shè)計好相關(guān)練習(xí)，通過課堂的有效指導(dǎo)，讓學(xué)生積累靈活解決問題的經(jīng)驗。

（1）知識技能的綜合運(yùn)用指導(dǎo)。

新人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊第二單元“位置與方向（二）”主要學(xué)習(xí)用方向和距離兩個要素確定位置，由于這是四年級學(xué)習(xí)過的知識，所以教材補(bǔ)充了“用數(shù)對確定位置”的內(nèi)容。相對簡單的知識點如何豐富它的內(nèi)涵，讓學(xué)生積累靈活解決問題的經(jīng)驗?zāi)兀孔屑?xì)分析后發(fā)現(xiàn)，我們可以把這一內(nèi)容放到大背景下，也就是放到“圖形與幾何”的領(lǐng)域之中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究。“圖形與幾何”領(lǐng)域分為“圖形的認(rèn)識”“圖形的測量”“圖形的運(yùn)動”“圖形與位置”四個板塊的知識，怎樣的習(xí)題可以承載這么重要的學(xué)習(xí)任務(wù)呢？一份畢業(yè)卷上的一幅圖（見右圖）引起了我的注意。在單元復(fù)習(xí)中，我以此圖為例，讓學(xué)生畫一個與△ABC面積相等的三角形，并用數(shù)對表示出它三個頂點的位置，然后思考：“在畫的過程中，你用到了哪些知識？”我讓學(xué)生在獨立思考后進(jìn)行反饋，反饋時側(cè)重于畫法，數(shù)對表示頂點的教學(xué)就一帶而過了。

生1：我測量了它的底和高，底是5厘米，高是2厘米，于是我畫了一個底是5厘米、高是2厘米的三角形。

生2：我是將這個三角形向右平移5格來畫的，因為平移后的圖形形狀、大小不變。

生3：我是將這個三角形繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)90度來畫的，因為旋轉(zhuǎn)后的圖形形狀、大小也不變。

生4：我是用軸對稱來畫的。

生5：我是將點C向右平移一格來畫的。

師（小結(jié)）：利用這些知識，我們還解決過哪些問題呢？

……

以這一習(xí)題為載體，通過回憶學(xué)過的基礎(chǔ)知識與基本技能，把一個個零散的知識點串聯(lián)起來，培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的能力。

（2）策略方法的綜合運(yùn)用指導(dǎo)。

在五年級“長方體和正方體”的單元復(fù)習(xí)中，我以下圖為例，讓學(xué)生用多種方法解決問題。

師：以正方體與長方體的組合為例（如下圖），想一想，你有幾種方法來求它的體積？請你用算式表示出來。（右邊方框內(nèi)是當(dāng)時的板書）

（先讓學(xué)生獨立思考，再請幾個學(xué)生板演，學(xué)生出現(xiàn)分割、填補(bǔ)、平移這三種方法）

師：觀察黑板上的算式，你都明白同學(xué)的算法嗎？（指名學(xué)生邊說邊用課件演示，讓所有學(xué)生明白每個算式的意思）

師：根據(jù)算法的特點，我們可以給它們?nèi)€名字。（板書：分割、填補(bǔ)、平移）為了豐富同學(xué)們解決問題的策略（板書對稱擴(kuò)大和倍比關(guān)系這兩個算式），請同學(xué)們觀察并思考這兩個算式的算理。你能看懂嗎？

……

師：這些方法與策略不僅僅可以用來解決立體圖形的體積問題，在平面圖形、數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中也有用武之地。老師以擴(kuò)大法的運(yùn)用為例，拋磚引玉，希望能給大家一些啟發(fā)，我們一起來看一看。（課件呈示如下，學(xué)生自由閱讀與理解）

①擴(kuò)大法在平面圖形練習(xí)中的應(yīng)用。

下圖中扇形的半徑為6厘米，圓心角為45度，AC垂直于OB，垂足為C，陰影部分的面積是多少平方厘米？

分析：將圖以O(shè)B為對稱軸畫出它的軸對稱圖形，如下圖所示，這樣左圖陰影部分的面積為（π×62÷4-62÷2）÷2=5.13（平方厘米）。

②擴(kuò)大法在數(shù)與代數(shù)中的應(yīng)用。

雞兔共8只，有22只腳，雞兔各有多少只？

用□表示雞的只數(shù)，用○表示兔的只數(shù)，根據(jù)已知條件發(fā)現(xiàn)如下。

□+○=8…………………………………………（1）

2□+4○=22………………………………………（2）

將（1）乘2（擴(kuò)大到原來的2倍），得：

2□+2○=16………………………………………（3）

對比（2）與（3），得2○=22-16。

解得○=3

□=5

展示多種解題策略與方法的主要目的在于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從多角度看問題，積累運(yùn)用多種策略解決問題的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，并指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會將策略應(yīng)用到其他知識領(lǐng)域，明白這些策略的使用范圍。這樣教學(xué)，既拓寬了學(xué)生的視野，又提升了學(xué)生的思維能力。

總之，提高學(xué)生思維的靈活性，不僅要讓學(xué)生學(xué)會使用各種具體的認(rèn)知策略，更重要的是要讓學(xué)生懂得應(yīng)該在何時何地使用何種策略，提高學(xué)生的元認(rèn)知水平。

（責(zé)編 藍(lán) 天）