趙立新

[摘 要] 江蘇中考連云港卷第27題源于教材又異于教材，依據(jù)教材又高于教材，從學(xué)生熟悉、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型、問題出發(fā)，低起點(diǎn)、循序漸進(jìn)地給考生信心，通過問題串逐步變式，對(duì)問題的研究進(jìn)行縱向深化和橫向推廣，同時(shí)也給考生指引了解題方向，使研究方向不斷向前發(fā)展，從而得到更深刻或更普遍的新結(jié)論，向問題的本質(zhì)特征不斷靠攏.

[關(guān)鍵詞] 大中見?。恍≈幸娢?；微中見效；數(shù)學(xué)模型；問題串

某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)線段上的動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行探究，已知AB=8.

問題思考？搖 如圖1所示，點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AP，BP為邊在同側(cè)作正方形APDC和正方形BPEF.

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)正方形的面積之和是定值嗎？若是，請(qǐng)求出；若不是，請(qǐng)求出這兩個(gè)正方形面積之和的最小值.

（2）分別連結(jié)AD，DF，AF，AF交DP于點(diǎn)K，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，在△APK，△ADK，△DFK中，是否存在兩個(gè)面積始終相等的三角形？請(qǐng)說明理由.

■

問題拓展？搖 （3）如圖2所示，以AB為邊作正方形ABCD，動(dòng)點(diǎn)P，Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)，且PQ=8. 若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng).

■

（4）如圖3所示，在“問題思考”中，若點(diǎn)M，N是線段AB上的兩點(diǎn)，且AM=BN=1，點(diǎn)G，H分別是CD，EF的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動(dòng)過程中，GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)及OM+OB的最小值.

■

作為中考數(shù)學(xué)壓軸題，所涉及的知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜，其主要功能是對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平進(jìn)行區(qū)分，考查學(xué)生對(duì)初中數(shù)學(xué)核心知識(shí)和重要思想方法的理解和掌握水平，為高中學(xué)校的招生提供依據(jù). 所以，作為一道壓軸題，如何能“壓”到“軸”上，才是關(guān)鍵.

特色1：大中見小，似曾相識(shí)

作為一道大題，從中可以找到學(xué)生們熟悉的基本圖形或模型.

模型1：面積最值問題

在教材中我們常見的是把一段鐵絲折成兩段，圍成兩個(gè)正方形，如何折才能使它們的面積之和最大，考查的是二次函數(shù)的基本性質(zhì)（最值問題）. 本題的問題（1）是求以折成的兩段為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形的面積之和的最值，很多考生知道這個(gè)結(jié)論，再借助數(shù)形結(jié)合，給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理，便能證明判斷的正確性.

模型2：面積相等問題

在平時(shí)的練習(xí)中，對(duì)于正方形我們常見的面積相等問題是轉(zhuǎn)化為同底等高或等底等高或等底同高，如圖4所示，有三個(gè)正方形ABCD，BEFG，RKPF，點(diǎn)G在線段DK上，正方形BEFG的邊長(zhǎng)為4，則△DEK的面積為多少？該題只要連結(jié)三條對(duì)角線DB，GE，F(xiàn)K（如圖5），分別把陰影部分△GDE，△GKE的面積轉(zhuǎn)化為△GBE，△GFE的面積，它們的和即為正方形BEFG的面積16. 而問題（2）中尋找面積相等的兩個(gè)三角形，我們同樣可以連結(jié)對(duì)角線PF（如圖6），得△APF，△DPF的面積相等，從而得到△APK，△DKF的面積始終相等，或者從梯形APFD的角度易得△AKP與△DKF的面積相等.

■

■

■

模型3：距離最短問題

在距離之和最短問題中，常見的是這樣一個(gè)題：如圖7所示，直線m表示一條河，M，N表示兩個(gè)村莊，欲在m上的某處修建一個(gè)送水站，向兩個(gè)村莊供水，選在何處使得到兩個(gè)村莊鋪設(shè)的管道最短？我們只需作點(diǎn)M關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)P，再連結(jié)NP，交直線m于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為所求（如圖8）. 而本題的問題（4）中求OM+OB的最小值，和它如出一轍.

依據(jù)教材，推陳出新，源自“相似”又高于“相似”，似曾相識(shí)又有所不同，把學(xué)生常見的數(shù)學(xué)模型有機(jī)地整合到一起，梯度設(shè)置合理，使得該題構(gòu)思精巧、不落俗套，學(xué)生在熟悉的背景中解題，有一種自然地親切感，也培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與圖形感知.

特色2：小中見微，拓展能力

動(dòng)點(diǎn)問題一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，如何理清“動(dòng)”與“靜”的辯證關(guān)系，是解決其運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)鍵. 本題的問題（3）是求PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)，任何運(yùn)動(dòng)中或多或少存在著“數(shù)”或“形”的關(guān)系和不變性，學(xué)生首先會(huì)從形上感受其特點(diǎn)，但很難有所收獲，進(jìn)而學(xué)生會(huì)從“數(shù)”上尋求突破. 當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，抓住PQ是定長(zhǎng)8的特點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的中點(diǎn)O因?yàn)槭切边匬Q的中點(diǎn)，所以可以得到AO=■PQ=4，也就是說，當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)的過程中，AO的長(zhǎng)度始終保持不變，實(shí)際上就形成了一段?。ㄈ鐖D9），以此類推，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)O的軌跡應(yīng)該是三段一樣的?。ㄈ鐖D10），所以路徑總長(zhǎng)為6π.

■

■

運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的，運(yùn)動(dòng)又是有關(guān)聯(lián)的，形動(dòng)可由點(diǎn)觀，點(diǎn)動(dòng)可由形察，本題既考查學(xué)生的觀察能力，又考查學(xué)生的分類思想，以及平時(shí)積累的數(shù)學(xué)探究經(jīng)驗(yàn)等，還滲透了對(duì)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的考查. 解答本題，要求學(xué)生具有較好的空間與圖形素質(zhì)、基本運(yùn)算能力，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力，試題突出了能力立意的特點(diǎn).

特色3：微中見效，提升思維

如果說問題（3）是考查學(xué)生的能力，那么問題（4）的出現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的考查已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出知識(shí)本身. 首先，學(xué)生在問題（3）的探究中初步具備了尋求動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本方法和一般步驟，而問題（4）與問題（3）具有相同的地方是AB為8，不同的是當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，左、右兩個(gè)正方形是變化的，那么它們的邊CD，EF的中點(diǎn)G，H也是變化的，所以GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑是什么就變得撲朔迷離. 此時(shí)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求就更高了，既要從多點(diǎn)的變化中尋找點(diǎn)O的軌跡，又要轉(zhuǎn)化為與已知數(shù)量有關(guān)聯(lián)的結(jié)論，所以要求學(xué)生有較高的數(shù)學(xué)思維能力. 可抓住點(diǎn)O是GH的中點(diǎn)這個(gè)條件，構(gòu)造梯形的中位線或全等三角形. 如圖11所示，過點(diǎn)G，O，H分別作AB的垂線G G′，OO′，HH′，垂足分別為G′，O′，H′，則可得到OO′=■（GG′+ HH′）=■（PA+ PB）=■×8=4，說明點(diǎn)O到AB的距離始終為4，進(jìn)而得到點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的軌跡為平行于直線AB且到它的距離為4的一條直線. 當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)M到點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的軌跡即為一條線段. 由問題（3）的曲線（圓?。┑絾栴}（4）的直線（線段），要依靠學(xué)生具有的較強(qiáng)遷移能力和構(gòu)造、創(chuàng)新能力. 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，如圖12所示，易得G′H′=4，則G′O′=2，所以AO′=2.5. 依據(jù)對(duì)稱性可得，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，過點(diǎn)O作直線AB的垂線OO′，點(diǎn)B到垂線OO′的距離同樣也是2.5，所以GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)為8-2.5×2=3. 當(dāng)然，為了尋求更一般的情況，我們可以借助全等三角形等知識(shí)證明點(diǎn)O所經(jīng)過的軌跡實(shí)際上就是△JMN的中位線（如圖13，由于篇幅限制，不再贅述），易求得中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)為■MN=3.

■

本題源于教材又異于教材，依據(jù)教材又高于教材，從學(xué)生熟悉、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型、問題出發(fā)，低起點(diǎn)、循序漸進(jìn)地給考生信心，通過問題串逐步變式，對(duì)問題的研究進(jìn)行縱向深化和橫向推廣，同時(shí)也給考生指引了解題方向，使研究方向不斷向前發(fā)展，從而得到更深刻或更普遍的新結(jié)論，向問題的本質(zhì)特征不斷靠攏. 所以該題依據(jù)學(xué)情，有針對(duì)性，有目的性，具有較強(qiáng)的診斷、反饋、選拔功能，有利于改進(jìn)教學(xué)，提高效果.endprint