張安軍

[摘 要] 本文以人教版初中數(shù)學(xué)中的“填幻方”為例，闡述了教學(xué)中教師應(yīng)深挖“觀察與思考”“實驗與探究”和“觀察與猜想”內(nèi)容，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，以及提高其提出問題、解決問題的能力.

[關(guān)鍵詞] 幻方；觀察與猜想；數(shù)學(xué)美；挖掘

人教版義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教材中的每冊都有“觀察與思考”“實驗與探究”和“觀察與猜想”，統(tǒng)計新人教版七至九年級共6冊中的“閱讀材料”，數(shù)量如下：

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那么，編寫這些閱讀材料有何意圖呢？人教版主編章建躍所言：教材設(shè)置的“觀察與猜想”“實驗與探究”“閱讀與思考”等選學(xué)欄目，開闊了學(xué)生的視野，為學(xué)有余力的學(xué)生提供了豐富的學(xué)習(xí)素材；對培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、數(shù)學(xué)能力等都有很好的作用.

“閱讀材料”是教材的延伸和拓展，能擴(kuò)大學(xué)生的視野，拓寬學(xué)生的知識面，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，從而提高學(xué)生的綜合素質(zhì). 同時，它又能使學(xué)生加深對課本知識的理解，并從中提高提出問題、分析問題和解決問題的能力. 例如七年級（上）“實驗與探究”中的“填幻方”：

有人建議向火星發(fā)射如圖1所示的圖案，它叫做幻方，其中9個格中的點數(shù)分別是1，2，3，4，5，6，7，8，9. 每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的點數(shù)的和都是15. 如果火星上有智能生物，那么他們可以從這種“數(shù)學(xué)語言”了解到地球上也有智能生物（人）.

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你能將-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4這9個數(shù)分別填入圖2幻方的9個空格中，使得處于同一橫行、每一豎列、同一斜對角線上的3個數(shù)相加都得0嗎？你是將0填入中央的格中嗎？與同學(xué)交流一下，看看你們填這個幻方的方法相同嗎？

上述“實驗與探究”欄目僅200多字，如果原樣按照書上的要求，學(xué)生很快且很容易會得到結(jié)果，這樣會讓學(xué)生如蜻蜓點水一閃而過，總感覺會遺失寶貴的教學(xué)資源，并且仔細(xì)翻閱整個初中教材里9篇“實驗與探究”，如“瓶子中有多少粒豆子”“巧拼正方形”“設(shè)計跑道”“推測植物的生長與溫度的關(guān)系”等，不難發(fā)現(xiàn)，這些短少的篇幅都蘊(yùn)涵共同的特點：以一些有趣的實際問題或游戲等為背景，用所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識解決實際生活中的應(yīng)用問題，強(qiáng)調(diào)探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造；同時，通過解決問題讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值和文化價值，使學(xué)生不僅在數(shù)學(xué)知識和能力方面得到提高，而且能感受到數(shù)學(xué)文化的熏陶，逐步提高科學(xué)文化素養(yǎng)和應(yīng)用意識.

那么，如何開發(fā)和挖掘“實驗與探究”的教學(xué)資源，促進(jìn)學(xué)生體驗數(shù)學(xué)和生活的廣泛聯(lián)系，學(xué)會運用數(shù)學(xué)的思維進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的文化品格和工具品格？以下是筆者對“填幻方”這一“實驗與探究”所作的一次實踐探索，希望對一線的廣大教師有所啟發(fā).

■ 教學(xué)設(shè)計

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

1977年，美國發(fā)射了“旅行者”1號和2號宇宙飛船，試圖與“外星人”建立聯(lián)系. 如何使地球外智慧生命理解地球人的意思，這是個很困難的事情，世界各國的人們紛紛獻(xiàn)計獻(xiàn)策，美國宇航局采納了其中一些. 最后，飛船上攜帶有兩件與數(shù)學(xué)有關(guān)的東西，你知道是哪兩樣嗎？

設(shè)計意圖：通過學(xué)生比較感興趣的“外星人”，吸引學(xué)生的注意力，同時讓學(xué)生感受到“幻方”在數(shù)學(xué)史上占有重要的地位. 其次，中國古代也有輝煌的數(shù)學(xué)成績，“勾股定理”“縱橫圖”和“孫子定理”等則是這些光輝成就的代表，其中“縱橫圖”在歷史上又稱為“河圖”或“洛書”，這也是中國古代數(shù)學(xué)對世界的貢獻(xiàn)，同時，數(shù)學(xué)無國界，越是民族的，精華的，越是世界的.

2. 欣賞幻方，探索規(guī)律

問題1：請欣賞如圖3所示的“三階幻方”，觀察它表中的數(shù)據(jù)有什么特點.

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問題2：探索了“三階幻方”的規(guī)律后，你還會提出哪些問題？

設(shè)計意圖：通過學(xué)生觀察“三階幻方”的數(shù)字特點，總結(jié)各行、各列、各對角線的數(shù)字之和都相等，且等于所有數(shù)字之和除以3. 有了“三階幻方”直觀、感性的認(rèn)識后，正當(dāng)學(xué)生的興趣慢慢減弱，此時，讓學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)的精神、思想方法和特點，培養(yǎng)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的能力. 如數(shù)學(xué)家吳文俊先生坦言，“我們獨創(chuàng)的東西不夠，開創(chuàng)一個領(lǐng)域，讓全世界的人跟著你，這類東西不夠. ”數(shù)學(xué)重要的不是做題，而是提出問題，做題那是時間問題，而提出問題需要想象力、創(chuàng)造力和數(shù)學(xué)的直觀能力. 提出的問題本身比較開放，如“三階幻方”怎樣填寫？為什么5要在“三階幻方”的中心？“三階幻方”的填寫是唯一的嗎？第一個發(fā)現(xiàn)“三階幻方”的是誰？除了用連續(xù)的自然數(shù)填寫外，能用其他的整數(shù)填寫嗎？

問題3：請用1至9的自然數(shù)再填寫一個“三階幻方”.

問題4：把自己所構(gòu)造的“三階幻方”與其他同學(xué)交流，數(shù)字上有什么變化？

設(shè)計意圖：由“三階幻方”的數(shù)字特征進(jìn)行規(guī)律探索，有了規(guī)律指導(dǎo)后再自己填寫. 由于每個學(xué)生填寫的不全一樣，如圖4和圖5，共有8種（可以由圖3通過對稱和旋轉(zhuǎn)得到），這樣便可從各種“三階幻方”表中發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)字在變化，哪些數(shù)字固定不變. 很顯然，5一定在幻方的中心. 進(jìn)一步還會發(fā)現(xiàn)，偶數(shù)2，4，6，8一定在幻方的四個角上. 通過操作、發(fā)現(xiàn)、猜想、驗證、推理，能培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力.

3. 變式和拓展

問題5：下面各組數(shù)能否填“三階幻方”？ 若能填，任意填出一種情況.

（1） 8，9，10，11，12，13，14，15，16；

（2） 8，6，4，2，0，-2，-4，-6，-8；

（3）b-1，b-2，b-3，b-4，b-5，b-6，b-8，b-9.

問題6：愛因斯坦曾出過一道填數(shù)題：如圖6所示的9個圓圈，有3個小的等腰三角形，1個較大的等腰三角形和3個大的等腰三角形. 將1至9這九個數(shù)字填入圓圈，要求這7個等腰三角形中每個三角形頂點的數(shù)字之和相等.endprint

問題7：九張撲克牌，分別是A（作為1點），2， 3，…， 9， 翻在桌子上，兩人輪流取牌，已取走的牌不能重新放回去，誰手中有3張牌且點數(shù)加起來和等于15，誰就贏，你認(rèn)為先取牌有利還是后取牌有利？

設(shè)計意圖：這3道練習(xí)題是一組變式練習(xí)，問題5通過改變數(shù)字條件推廣結(jié)論，突顯幻方的本質(zhì)；問題6是填寫數(shù)字，原來標(biāo)準(zhǔn)的正方形的“三階幻方”，現(xiàn)變成由一系列等腰三角形構(gòu)成的復(fù)雜圖形，但本質(zhì)是“三階幻方”，使等腰三角形的數(shù)字之和相等，都等于15；問題7是通過改變問題的情境，把填幻方變成撲克牌游戲. 為了贏得游戲，必須先搶得幻方正中心的數(shù)字5. 練習(xí)題的形式多樣，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，同時，通過不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質(zhì)屬性，或變換事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征. 轉(zhuǎn)換問題的形式和內(nèi)容，能有目的、有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)探究“變”的規(guī)律.■

4. “幻方”的發(fā)展史

（1）“幻方”的起源

關(guān)于幻方的起源，中國有“河圖”和“洛書”之說. 相傳，在遠(yuǎn)古時期，伏羲氏取得天下，把國家治理得井井有條，感動了上天，于是黃河中躍出一匹龍馬（如圖7所示），背上馱著一張圖，作為禮物獻(xiàn)給他，這就是“河圖”，也是最早的幻方. 伏羲氏憑借著“河圖”演繹出了八卦. 后來，大禹治洪水時，洛水中浮出一只大烏龜，它的背上有圖有字，人們稱之為“洛書”（如圖8所示）. “洛書”所畫的圖中共有黑、白圓圈45個. 把這些連在一起的小圓和數(shù)目表示出來，得到九個數(shù). 這九個數(shù)就可以組成一個縱橫圖，人們把由九個數(shù)3行3列的幻方稱為三階幻方，除此之外，還有四階、五階……

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《易經(jīng)·系辭》說： “河出圖，洛出書，圣人則效之. ”中國古代“圣人”借鑒“河圖、洛書”隱含著的規(guī)律，深刻體會到人類社會和自然界一樣也是相互制約、均衡統(tǒng)一的一個大系統(tǒng). 借鑒這種思想制定國家的法律，借鑒這種思想用于工程的建設(shè)，借鑒這種思想用于醫(yī)學(xué)……

？搖由于“幻方”反映了自然數(shù)的一些神秘而有趣的性質(zhì)，同時，研究幻方也不需要數(shù)學(xué)積累和高深的數(shù)學(xué)知識，因此幻方成為中國古代人們喜愛的一種游戲，激發(fā)著中華兒女的想象力和創(chuàng)造力，以滿足思維上帶來的成就感和愉悅. 幻方在中國產(chǎn)生之后，流傳到阿拉伯、印度、歐洲……在歐洲和美洲等地區(qū)，人們常戴著有“幻方”的裝飾品，作為驅(qū)邪避兇的吉祥物，可見，幻方具有某種神奇的魅力.

設(shè)計意圖：一方面讓學(xué)生體會到我國古人對“幻方”有很早的認(rèn)識. 由于幻方隱含著某些數(shù)字的神秘色彩，以及“河圖”“洛書”所衍生出的數(shù)理符號和《易經(jīng)》數(shù)學(xué)，激發(fā)中華兒女對幻方的興趣，且由于這些神秘符號，使得中國的組合數(shù)學(xué)在相當(dāng)長的時間處于世界領(lǐng)先地位. 其次，讓學(xué)生感受到，在數(shù)學(xué)歷史的長河中，人們一直對幻方有著濃厚的興趣，只要你愿意，你在幻方的世界里，都會有所發(fā)現(xiàn)，在審美上會感受到幻方的均衡美、對稱美.

（2）中國古代數(shù)學(xué)家對幻方的研究

幻方除了三階而外，是否還存在其他階數(shù)的幻方呢？在填寫幻方時，是否有更簡便的方法呢？歷史上是否有人研究過幻方呢？

中國古代南宋數(shù)學(xué)家楊輝曾系統(tǒng)研究過幻方，他在1275年出版過《續(xù)古摘奇算法》. 在這本書中，除了三階幻方外，他還研究了四階～十階的幻方，這是歷史最早系統(tǒng)發(fā)表的高階幻方. 在書中，楊輝給出了一個非常巧妙的構(gòu)造口訣：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺進(jìn)”. 具體操作如圖9所示.

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對于四階幻方，楊輝給出如圖10所示的兩幅圖，一幅叫陰圖，另一幅叫陽圖（又名“花十六圖”）. 并且楊輝對四階幻方的構(gòu)造方法也做了詳細(xì)敘述，如圖11所示.

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書中還給出五階至十階的幻方圖，有興趣的同學(xué)可以參閱陳重穆寫的《幻方》，這里不再作介紹. 幻方在中國產(chǎn)生之后，流傳到阿拉伯和印度，一直到15世紀(jì)才傳到歐洲. 16 世紀(jì)，幻方在歐洲引起了熱潮，法國數(shù)學(xué)家巴謝（1581～1638）首先給出了四階幻方和五階幻方的構(gòu)造方法.

問題8：觀察圖10的四階幻方，除了行、列、對角線之和相等外，你還發(fā)現(xiàn)了什么性質(zhì)？

問題9：楊輝構(gòu)造的口訣“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺進(jìn)”，對五階幻方或七階幻方適用嗎？請你試一試？

設(shè)計意圖：從古至今，人們對于幻方的研究都有著濃厚興趣，中國古代數(shù)學(xué)家楊輝第一個系統(tǒng)地對幻方進(jìn)行了研究，通過這一史料的介紹，能培養(yǎng)學(xué)生對中國古代數(shù)學(xué)文化輝煌的成就感到自豪，同時激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛. 其次，楊輝的四階幻方有著十分優(yōu)美的性質(zhì)，它除了滿足通常幻方的基本條件以外， 還滿足關(guān)于中心對稱的兩個數(shù)之和相等. 這就使得幻方具有更高的對稱性，能培養(yǎng)數(shù)學(xué)的審美.

5. 幻方蘊(yùn)涵神奇的等式

數(shù)學(xué)是美的，幻方更美. 幻方以均衡對稱、和諧統(tǒng)一的美的特性，給人一種醉人的藝術(shù)享受. 數(shù)學(xué)家陳省身說過：“在數(shù)學(xué)中，幻方是個奇跡. ”幻方是一個迷人的數(shù)字體系，它是數(shù)字按著一種規(guī)律布局成的. 如圖12的三階幻方，除了上述行、列、對角線之和相等外，還有下列美妙的等式：

4+9+2=8+1+6；42+92+22=82+12+62.

橫向的等式：

492+357+816=294+753+618；4922+3572+8162=2942+7532+6182.

縱向的等式：

276+951+438=672+159+834；2762+9512+4382=6722+1592+8342.

斜向的等式：

456+312+897=654+213+798；4562+3122+8972=6542+2132+7982.

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問題10：若自然數(shù)滿足：a■+b■+c■=a■+b■+c■，且a■+b■=a■+b■=c■+c■，結(jié)合上述等式，提出一個猜想，并說明理由.

設(shè)計意圖：幻方充滿著神奇的魅力，如果你喜歡，你還會發(fā)現(xiàn)獨有的性質(zhì)，如圖13所示，2k的個位數(shù)字是2，4，8，6；3k的個位數(shù)字是1，3，9，7；5k的個位數(shù)字是5……可以說，幻方是數(shù)學(xué)中的寶庫，通過欣賞幻方有趣的結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)中一些獨特的規(guī)律會呈現(xiàn)出來，能把學(xué)生引向數(shù)學(xué)的各個秀麗的田野，開闊學(xué)生的眼界，啟迪學(xué)生智慧，讓學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)中各種奇異的規(guī)律美，使他們真正熱愛數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

6. 小結(jié)（略）

■ 挖掘“實驗與探究”的幾點做法

從教師方面看，有些教師認(rèn)為“實驗與探究”不屬于考試內(nèi)容，與所學(xué)內(nèi)容無關(guān)，上與不上都不會影響教學(xué)質(zhì)量，因此他們認(rèn)為只要學(xué)生課后看看就可以了，根本沒有必要引導(dǎo)學(xué)生研究、探討和交流. 教師的這種態(tài)度必然會直接影響學(xué)生對該內(nèi)容的使用，學(xué)生會以為教師不重視的“實驗與探究”是不重要的，從而忽略材料的閱讀.

從學(xué)生方面來看，由于受應(yīng)試的影響，學(xué)生大部分的時間都用于應(yīng)付老師布置的作業(yè)，對書本缺乏興趣，再加上教師的不重視，很少顧及“實驗與探究”的存在.

“實驗與探究”是教材正文的補(bǔ)充和延伸，其內(nèi)容能夠揭示數(shù)學(xué)概念、法則和結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價值，對培養(yǎng)學(xué)生自主探索、合作交流、閱讀自學(xué)的學(xué)習(xí)方式有重大意義，也是重要的課程資源. 為了不讓“實驗與探究”成為擺設(shè)，充分發(fā)揮它們在教學(xué)中的作用，那么，怎樣才能有效地利用其為我們的新課程改革增加效益呢？

1. 正確領(lǐng)會編者意圖，加強(qiáng)知識間的橫向聯(lián)系

每一篇“實驗與探究”都是編者精心挑選的，且有目的地安排在每冊的各章、各節(jié)里，因此編者用意何在？這一篇材料的內(nèi)容在知識層面上想達(dá)到什么目的？在能力立意上又要達(dá)到什么目的？例如，對于“幻方”，編者的意圖是“讓學(xué)生把一些正負(fù)數(shù)與0填入幻方，可以使學(xué)生鞏固有理數(shù)加法的法則與運算律. 要使所填的數(shù)符合幻方的要求，還需要學(xué)生不斷調(diào)試，探究其中的規(guī)律，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的作用，培養(yǎng)思維的邏輯性和對數(shù)學(xué)的興趣”.

為了貫徹編者這一意圖，應(yīng)著手對幻方這一“實驗與探究”進(jìn)行挖掘和拓展，促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的發(fā)展，增強(qiáng)其對數(shù)學(xué)的興趣. 在方法上，可以采取從特殊到一般、從簡單到復(fù)雜的方式增加條件的難度，如從1，2，3，…，9到-4，-3，-2，…，4；從特殊的等差到更一般“n，n+1，n+2，…，n+8”；能不能推廣到分?jǐn)?shù)？用素數(shù)填寫可以嗎？

從幻方的階數(shù)方面考慮，三階幻方共有多少種形式？各種形式之間的關(guān)系如何？四階幻方存在嗎？若存在，四階幻方又應(yīng)怎樣填寫？四階幻方共有多少種不同的形式？五階呢？存在著n階幻方嗎？奇數(shù)階和偶數(shù)階有哪些相同的性質(zhì)？有哪些不同的性質(zhì)？

當(dāng)然，改變條件和結(jié)論會得到很多命題，有的命題或許可能很深奧，有待進(jìn)一步探討；有的問題則適合學(xué)生課堂探討；有的命題是假命題，通過假設(shè)和反駁，能培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑和批判性思維……

2. 查閱文獻(xiàn)資料，挖掘“隱性知識”

“實驗與探究”由于內(nèi)容篇幅短小，有的篇幅是數(shù)學(xué)史上經(jīng)過大浪淘沙，有的篇幅與學(xué)生實際生活非常密切，它們都具有較強(qiáng)的內(nèi)隱性，背后有一個較大的數(shù)學(xué)場，這就要求我們教師不但要會從材料的顯性層面上閱讀和挖掘，更要借鑒文獻(xiàn)資料，挖掘材料背后隱性的數(shù)學(xué)思維方法等，還原“實驗與探究”的意義和價值.

例如，“幻方”“勾股定理”和“孫子定理”是中國古代數(shù)學(xué)三顆璀璨的明珠，通過查閱資料可以發(fā)現(xiàn)幻方的形式多種多樣，有“素數(shù)幻方”“紀(jì)念性幻方”“黑洞數(shù)幻方”“水仙花數(shù)幻方”“菊花數(shù)幻方”“金蟬脫殼幻方”等奇妙的幻方；和幻方相類似或相近的有“幻圓”“幻立方”“優(yōu)美圖”“拉丁方”“幻形”等神奇有趣的內(nèi)容；從數(shù)學(xué)家研究幻方來看，可以發(fā)現(xiàn)中國古代數(shù)學(xué)家楊輝是世界上第一個比較系統(tǒng)地研究高階幻方，并給出填寫三階幻方口訣的人，這個口訣可以對奇數(shù)階幻方進(jìn)行推廣；同時，查閱資料會發(fā)現(xiàn)，西方偉大的畫家丟勒在他的銅版畫《憂郁》中有一個四階幻方；法國數(shù)學(xué)家巴赫特（Bachet）則對奇數(shù)階幻方的構(gòu)造普遍性進(jìn)行研究.

正如數(shù)學(xué)史家汪曉勤所言，“在教學(xué)中輔以歷史文本為師，適時引入古人原始的想法，擷取前人的智慧，乃至前人所犯的錯誤，相信對于數(shù)學(xué)思想的發(fā)展與學(xué)生的學(xué)習(xí)過程能有更貼近的牟合，也能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)有更全面的觀照. 正是讓學(xué)生在通過歷史文本解決問題的過程中獲得學(xué)習(xí)的樂趣. 因此，從這個層面去挖掘就是第二個層次，這樣的挖掘可能都有意想不到的金礦等待挖掘，唯有辛勤發(fā)掘才可能使我們滿載而歸. ”從廣義上，數(shù)學(xué)史是極為重要的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)之一.

3. 從“冰冷”到“火熱”，感悟數(shù)學(xué)的精神和思想方法

？搖查閱文獻(xiàn)，可以獲得第一手資料，這些資料都是以學(xué)術(shù)形態(tài)的形式存在，有的離現(xiàn)實的學(xué)校數(shù)學(xué)課堂相距甚遠(yuǎn)，因此需要教師加工成教育形態(tài)，還“冰冷”為“火熱”.

例如，在填“三階幻方”時，中間為什么會填“5”，四個角落上為什么要只填“偶數(shù)”？能不能推廣到更一般的等差數(shù)，那么四階甚至更高階的幻方又如何填寫呢？挖掘數(shù)學(xué)背后的數(shù)學(xué)思想方法，在課堂上創(chuàng)設(shè)情境，再次感受曾經(jīng)“火熱”的心；再如中國古代數(shù)學(xué)家楊輝、近代數(shù)學(xué)史專家李儼、外國數(shù)學(xué)家歐拉、發(fā)明家富蘭克林等許多卓越的學(xué)者都曾對幻方進(jìn)行過潛心探討；幻方也吸引了眾多海內(nèi)外的幻方興趣愛好者，美國一個年僅13 歲的少年就做出了迄今為止階數(shù)最高的一個105 階幻方……為什么這么多人對幻方這樣入迷？不僅是因為它傳遞著古老的神秘之美，還因為幻方以均衡對稱、和諧統(tǒng)一的美的特性，給人一種醉人的藝術(shù)享受. 這一探究過程既是感悟數(shù)學(xué)思想形成的過程，也是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美的過程.

數(shù)學(xué)的思想方法和數(shù)學(xué)之美是沉默的，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識背后數(shù)學(xué)思想文化的意涵，僅靠背誦、證明、應(yīng)用公式是不能達(dá)到的. 只有教師精心組織和策劃，才能讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)的精神和思想方法，再現(xiàn)數(shù)學(xué)之美.endprint