【摘 要】“應(yīng)答評(píng)價(jià)”是一種重要的評(píng)價(jià)方法。巧用應(yīng)答評(píng)價(jià)，通過(guò)推理與證明問(wèn)題的探索過(guò)程，探討教師如何在課堂教學(xué)中關(guān)注一切有用的信息，對(duì)發(fā)揮評(píng)價(jià)的改進(jìn)作用、鼓勵(lì)學(xué)生探究、關(guān)注教育目標(biāo)的非預(yù)期效果、發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力都有很大的作用。

【關(guān)鍵詞】應(yīng)答評(píng)價(jià);歸納推理;創(chuàng)新素養(yǎng)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2015）18-0050-02

【作者簡(jiǎn)介】呂建林，南京市第一中學(xué)（江蘇南京，210001）教師。

“應(yīng)答評(píng)價(jià)”是美國(guó)學(xué)者斯塔克提出一種評(píng)價(jià)方法，這種方法的主要特點(diǎn)是強(qiáng)調(diào)評(píng)價(jià)要為一切與評(píng)價(jià)有關(guān)的人員提供有用的信息。如果教育評(píng)價(jià)更直接地指向方案的活動(dòng)而非方案的內(nèi)容，如果他能滿足評(píng)價(jià)聽(tīng)取人對(duì)信息的需求，或者在反映方案得失、長(zhǎng)短的評(píng)價(jià)報(bào)告中更能反映人們不同的價(jià)值觀念，那么，這種評(píng)價(jià)即可稱為“應(yīng)答評(píng)價(jià)”。

新課程理念指導(dǎo)下的課堂教學(xué)的一大變革就是評(píng)價(jià)的變化。從過(guò)往關(guān)注結(jié)果的評(píng)價(jià)方式轉(zhuǎn)向更加關(guān)注過(guò)程的診斷性評(píng)價(jià)和過(guò)程性評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)方式的變化增強(qiáng)了評(píng)價(jià)的有效性，對(duì)學(xué)生的發(fā)展也起著至關(guān)重要的作用。在一節(jié)“推理與證明”復(fù)習(xí)課上，一個(gè)學(xué)生的猜想不為其他同學(xué)所認(rèn)可，而教師對(duì)這一猜想方式的評(píng)價(jià)引發(fā)了大家更多的思考，產(chǎn)生了一連串的新成果，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，充分體現(xiàn)了教師對(duì)學(xué)生探究精神的關(guān)注、對(duì)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的培育、對(duì)學(xué)生終身發(fā)展的關(guān)懷?；仡櫲缦?。

教師首先給出了一個(gè)例題：通過(guò)觀察下列等式，猜想出一個(gè)一般性結(jié)論，并證明結(jié)論的真假。

sin230°+sin290°+sin2150°=■，

sin260°+sin2120°+sin2180°=■，

sin245°+sin2105°+sin2165°=■，

sin215°+sin275°+sin2135°=■。

有的學(xué)生觀察出角之間的關(guān)系是一個(gè)以60°為公差的等差數(shù)列，于是寫(xiě)出這樣的猜想結(jié)論：sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=■①。

證明如下：sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=（■sinα-■cosα）2+sin2α+（■sinα+■cosα）2=■sin2α+sin2α+■cos2α=■。大多數(shù)學(xué)生都得出了這個(gè)結(jié)論，但是教師在巡視過(guò)程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生甲猜想出的結(jié)論不一樣，他寫(xiě)的是sin2（α-β）+sin2α+sin2（α+β）=■，不少學(xué)生一聽(tīng)到這個(gè)結(jié)論就笑了起來(lái)，他們認(rèn)為甲的猜想沒(méi)有注意到題干中給出的四個(gè)式子中每一組角都是公差為60°的等差數(shù)列，所以甲的結(jié)論是錯(cuò)誤的。

教師首先對(duì)大多數(shù)學(xué)生的結(jié)論表示肯定：我們觀察出了題目中給出的四個(gè)式子有三個(gè)共同的特征：1.都是三個(gè)角的正弦值的平方和的形式;2.每個(gè)式子中給出的三個(gè)角都是以60°為公差的一個(gè)等差數(shù)列;3.每個(gè)式子的值都等于■。由此推出的結(jié)論①真實(shí)、全面地反映了上述三個(gè)特征，經(jīng)推證，結(jié)論①也是正確的。

然后，教師對(duì)學(xué)生甲的結(jié)論進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，首先確定甲猜想的結(jié)論是一個(gè)假命題，其次肯定學(xué)生甲猜想的可取之處。歸納法是對(duì)觀察、實(shí)驗(yàn)和調(diào)查所得的個(gè)別現(xiàn)象，概括出一般原理的一種思維方式和推理形式，其主要環(huán)節(jié)是歸納推理。歸納法是一種或然性推理方法，不可能做到完全歸納，總有許多對(duì)象沒(méi)有包含在內(nèi)。因此，結(jié)論不一定可靠。數(shù)學(xué)教育家費(fèi)賴登塔爾說(shuō)過(guò)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法在于“再創(chuàng)造”。大家在獲得了結(jié)論①以后，為什么沒(méi)有進(jìn)一步猜想，如果角的關(guān)系是一個(gè)一般的等差數(shù)列是否可行呢？學(xué)生甲的結(jié)論雖然后來(lái)證明發(fā)現(xiàn)不正確，但是這樣的探究過(guò)程是有益的，探索的精神是值得肯定和贊揚(yáng)的。做科學(xué)研究不是僅僅為了獲取一個(gè)正確答案，而是為了探索未知的世界。

在教師的鼓勵(lì)下，學(xué)生開(kāi)始進(jìn)一步深究，是否只有三個(gè)角的公差β=60°的時(shí)候?qū)W生甲的結(jié)論才成立呢？如果不是，那么β還可以取哪些值？

解：sin2（α-β）+sin2α+sin2（α+β）=sin2α+2cos2βsin2α+2sin2βcos2α=（1+2cos2β-2sin2β）sin2α+2sin2β

要使其為定值，那么1+2cos2β-2sin2β=0，cos2β=-■，即當(dāng)β=kπ±■（k∈Z）時(shí)，sin2（α-β）+sin2α+sin2（α+β）=■②。

在大家認(rèn)為這道題的研究可以告一段落的時(shí)候，又一名學(xué)生提出自己的猜想：如果把①式中的正弦改為余弦是否有類(lèi)似的結(jié)論呢？

猜想：cos2（α-60°）+cos2α+cos2（α+60°）=■③，

學(xué)生紛紛議論，并著手推理，經(jīng)推證發(fā)現(xiàn)結(jié)論成立。

有學(xué)生說(shuō)，結(jié)論③也可以利用三角恒等式來(lái)證明，因?yàn)閟in2α+cos2α=1，所以cos2（α-60°）+cos2α+

cos2（α+60°）+sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=3，

由sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=■，

可得cos2（α-60°）+cos2α+cos2（α+60°）=■。

進(jìn)一步猜想，當(dāng)β=kπ±■（k∈Z）時(shí)，cos2（α-β）+cos2α+cos2（α+β）=■④，成立嗎？

學(xué)生從上面的推理過(guò)程可以看出，結(jié)論④當(dāng)然也是正確的。

教師說(shuō)：“很好。大家的推理讓老師想到了波利亞講過(guò)的一段話：好問(wèn)題與蘑菇有些相像，它們都成堆地生長(zhǎng)，當(dāng)你找到一個(gè)以后，很可能四周就有好幾個(gè)?！贝藭r(shí)，又一名學(xué)生站起來(lái)說(shuō)：“老師，如果把原式改成4個(gè)成等差數(shù)列的角的正弦的平方和，會(huì)不會(huì)有新的結(jié)論呢？”于是繼續(xù)探究：當(dāng)β取何值時(shí)，sin2（α-3β）+sin2（α-β）+sin2（α+β）+sin2（α+3β）為定值。

解：sin2（α-3β）+sin2（α-β）+sin2（α+β）+sin2（α+3β）=2sin2α（cos6β+cos2β）+（sin23β+sin2β）

只要cos6β+cos2β=0，即cos2β=0或cos22β=■，原式的值與α無(wú)關(guān)，此時(shí)β=■+■或■+■（k∈Z），sin2（α-3β）+sin2（α-β）+sin2（α+β）+sin2（α+3β）=2⑤。

通過(guò)推理，學(xué)生自然得出了另一個(gè)結(jié)論：

當(dāng)β=■+■或β=■+■（k∈Z）時(shí)，

cos2（α-3β）+cos2（α-β）+cos2（α+β）+cos2（α+3β）=2 ⑥。

……

從這一系列問(wèn)題的推理過(guò)程可以看出，結(jié)論①是歸納推理的結(jié)果，不同的學(xué)生對(duì)題干中所給出的信息的理解程度不同，也因此產(chǎn)生了不同的推理結(jié)果，結(jié)論②的發(fā)現(xiàn)體現(xiàn)了學(xué)生甲思維的廣闊性。教師在發(fā)現(xiàn)學(xué)生的不同結(jié)論后提出了一個(gè)問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的探討引起了學(xué)生對(duì)另外兩個(gè)問(wèn)題（即結(jié)論③、結(jié)論⑤）的探究，甚至更多的問(wèn)題被提出和被解決。結(jié)論③是基于三角函數(shù)的名稱改變提出的新問(wèn)題，而結(jié)論⑤則是基于項(xiàng)數(shù)的增加而提出的新問(wèn)題。這些改變，是與教師在發(fā)現(xiàn)學(xué)生甲的結(jié)論后啟發(fā)學(xué)生探究的過(guò)程密切相關(guān)的。學(xué)生提出的結(jié)論④和結(jié)論⑥，也是在教師帶領(lǐng)全班對(duì)學(xué)生甲的結(jié)論完善后，自己類(lèi)比得出的。

類(lèi)比是提出新問(wèn)題和獲得新發(fā)現(xiàn)的泉源。進(jìn)行類(lèi)比推理的關(guān)鍵是明確兩類(lèi)對(duì)象之間具有某些相似特征，而教師要做的事情是：創(chuàng)造必要的情境，通過(guò)及時(shí)恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)激勵(lì)，啟發(fā)學(xué)生展開(kāi)類(lèi)比推理活動(dòng)，提升數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。按照這樣的路徑，學(xué)生們自然會(huì)進(jìn)一步推廣，推導(dǎo)5個(gè)角乃至更多角時(shí)的結(jié)論。

創(chuàng)新素養(yǎng)從哪里來(lái)？從發(fā)現(xiàn)和肯定學(xué)生在探究過(guò)程中的那些微小的改進(jìn)中來(lái)。如果我們?cè)谡n堂教學(xué)中能善用應(yīng)答評(píng)價(jià)，關(guān)注評(píng)價(jià)的價(jià)值取向，服務(wù)于評(píng)價(jià)對(duì)象的未來(lái)發(fā)展，也許就能有更多令人欣喜的發(fā)現(xiàn)。