黨泉元

[摘 要]從菱形的面積出發(fā)，運(yùn)用對(duì)角線互相垂直的四邊形的幾何特征，得出對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積的簡(jiǎn)單解法，解決平面幾何中的一些對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積問(wèn)題.

[關(guān)鍵詞]平面四邊形 對(duì)角線 垂直 面積

[中圖分類(lèi)號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2015）320048

當(dāng)我們學(xué)完菱形的相關(guān)知識(shí)后，知道菱形由四個(gè)全等的直角三角形組成，所以它的面積S=12·AC·BD（AC和BD為菱形的對(duì)角線長(zhǎng)度），也就是說(shuō)，菱形的面積等于對(duì)角線乘積的二分之一.這是因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線是互相垂直的.那么，任意對(duì)角線互相垂直的平面四邊形的面積是不是都等于對(duì)角線乘積的一半呢？如果這一結(jié)論成立，將會(huì)很方便解決任意對(duì)角線互相垂直的平面四邊形的面積求解問(wèn)題.

筆者經(jīng)過(guò)探究和證明，發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論是成立的.

一、推理證明

1.對(duì)角線互相垂直的凸四邊形的面積公式的證明

圖1

【例1】 已知在凸四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，如圖1所示.

求證：S四邊形ABCD=12·AC·BD.

證明：在四邊形ABCD中，AC⊥BD于E，∴S四邊形ABCD=S△ACB+S△ACD

=12AC·BE+12AC·DE

=12AC·（BE+DE）

=12AC·BD.

2.對(duì)角線互相垂直的凹四邊形的面積公式的證明

圖2

【例2】 已知在凹四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD于E，如圖2所示.

求證：S四邊形ABCD=12·AC·BD.

證明：在四邊形ABCD中，AC⊥BD于E，

∴S四邊形ABCD=S△ACB+S△ACD

=12AC·BE+12AC·DE

=12AC·（BE+DE）

=12AC·BD.

綜上，可得出命題：任意對(duì)角線互相垂直的平面四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半.

二、命題應(yīng)用

圖3

【例3】 如圖3，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，△AOB的周長(zhǎng)為3+3，∠ABC=60°，求菱形ABCD的面積.

解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∠ABO=∠CBO.

因?yàn)椤螦BC=60°，所以∠ABO=∠CBO=30°.

設(shè)AO=x，則AB=2x，BO=3x，

所以x+2x+3x=3+3，

即（3+3）x=3+3，

解得x=1.

所以O(shè)A=1，OB=3，

所以AC=2，BD=23，

所以S菱形ABCD=12AC·BD=

12×2×23=23.

圖4

【例4】 高為a的等腰梯形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直，垂足為O，求梯形ABCD的面積.

解：如圖4，設(shè)等腰梯形ABCD的腰為AB、CD，則AB=CD，AC⊥BD，且OB=OC，

所以∠1=∠2=45°.

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，則△BDE為等腰直角三角形，可得BE=DE=a，

所以AC=BD=BE2+DE2=2a

，所以

S梯形ABCD=12AC·BD=12×2a·2a=a2

.

圖5

【例5】 如圖5，已知在△ABC中，BD和CE分別是兩邊上的中線，并且BD⊥CE，BD=8，CE=12，求△ABC的面積.

解：連結(jié)DE，則四邊形BCDE的面積為

12EC·BD=12×8×12=48.

又因?yàn)镾四邊形BCDE=34S△ABC，

所以S△ABC=48×43=64.

任意對(duì)角線互相垂直的平面四邊形的面積都等于對(duì)角線乘積的一半.利用這個(gè)結(jié)論將很方便解決任意對(duì)角線互相垂直的平面四邊形的面積求解問(wèn)題.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）