王銀珠 張新軍
【摘 要】培養(yǎng)問題意識是學(xué)生主動探索的切入口,激發(fā)問題意識,形成自己的獨立見解,真正改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)學(xué)問題意識是引發(fā)學(xué)生思維與探索活動的向?qū)?。教學(xué)中問題意識的構(gòu)建要符合學(xué)生的認知起點,能引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)發(fā)生的過程,尋找到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。
【關(guān)鍵詞】問題意識;引領(lǐng)教學(xué);活動中構(gòu)建;提升學(xué)科能力
普通高中新課程《數(shù)學(xué)課程標準》的亮點是突出“過程性目標”。要學(xué)生“經(jīng)歷、體驗、探索”。培養(yǎng)問題意識正是讓學(xué)生主動探索的切入口,從而激發(fā)問題意識,形成自己的獨立見解,真正改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。同時新的課堂教學(xué)突顯“問題引領(lǐng)教學(xué)活動”的認知。問題成為教學(xué)過程的起點,也是教學(xué)過程的指向,促進主動發(fā)展的課堂教學(xué)的著力點。
數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)學(xué)問題意識是引發(fā)學(xué)生思維與探索活動的向?qū)?。有了問題意識,學(xué)生的好奇心才能激發(fā);有了問題意識,學(xué)生的思維才開始啟動;有了問題意識,學(xué)生的探索才真正有效;有了問題意識,學(xué)生的學(xué)習(xí)動力才能持續(xù)。然而問題意識的引發(fā)離不開教師對問題意識有效構(gòu)建,只有教師教學(xué)的問題意識鋪墊,才能有效劃歸為學(xué)生的問題意識的構(gòu)建。那種簡單的“是不是”、“對不對”等沒有思維含量的提問充斥課堂,只能弱化學(xué)生的智力。通過問題意識,才能把知識的邏輯結(jié)構(gòu)與學(xué)生的思維過程有機的聯(lián)系起來,使知識的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認知結(jié)構(gòu),才能讓學(xué)生有效發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律、認識、理解數(shù)學(xué)本質(zhì),并在活動中構(gòu)建數(shù)學(xué),真正完成問題意識的培養(yǎng)。
案例1.復(fù)數(shù)概念的引入
問題1:在遨游數(shù)字王國時,你還記得數(shù)的概念發(fā)生和發(fā)展的過程嗎?在歷盡幾次“添加新數(shù)”之后,數(shù)集已經(jīng)擴充到實數(shù)集。但是,由于負數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)不能開平方,所以代數(shù)運算在實數(shù)集內(nèi)仍不能永遠實施。有些代數(shù)方程的問題在實數(shù)范圍無法解決或者解決的不夠完美。例如,當b2-4ac<0時,實系數(shù)一元方程ax2+bx+c=0沒有實數(shù)根;一元三次方程x3=1只有一個根,根的個數(shù)與方程的次數(shù)如此不一致。數(shù)的概念需要進一步發(fā)展。
實數(shù)集如何推廣?
在新的數(shù)集里,怎樣實施數(shù)的運算?
這里的問題情境表面上符合“數(shù)”的概念擴充過程,學(xué)生在過去的經(jīng)驗中熟悉了當“b2-4ac<0時,實系數(shù)一元方程ax2+bx+c=0沒有實數(shù)根”這樣的結(jié)論,現(xiàn)在要學(xué)生從中提出問題很難。這個情境與問題人為色彩嚴重,脫離了學(xué)生的認知起點,難以啟動學(xué)生的思維。
問題2:16世紀,意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在討論問題“將10分成兩部分,使兩者的乘積等于40”時,認為把答案寫成5+和5-就可以滿足要求:(5+)+(5-)=5+5=10.(5+)(5-)=5×5-×=25-(-15)=40.我們知道,在實數(shù)集內(nèi),一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù),0的平方根是0,然而表示什么意義呢?你也許覺得這個問題有點可笑。因為任何實數(shù)的平方都是非負數(shù),所以負數(shù)沒有平方根,因此沒有意義。盡管很長一段時間內(nèi),部分數(shù)學(xué)家都認為5+和5-這兩個式子沒有意義,是虛構(gòu)的、想象的,但在解決許多問題時,使用類似于這樣的式子卻帶來極大地方便。那么能作為數(shù)嗎?它真的是無意義的、虛幻的嗎?
這里以數(shù)學(xué)史上真實發(fā)生的故事作為情境,也展現(xiàn)了數(shù)學(xué)史上真實的問題,這個問題曾經(jīng)困擾過許多數(shù)學(xué)家。今天,高中生同樣會對這個看似荒謬但又難以否定的問題感興趣。這個情境與問題符合學(xué)生的認知起點,所以學(xué)生問題意識的激發(fā)更需教師設(shè)計問題意識時依托性。
案例2.解三角形中——余弦定理
問題1.開門見山指出“在三角形中,已知兩角及一邊,或已知兩邊和其中一邊的對角,可以利用‘正弦定理求其他的邊和角。那么,已知兩邊及其夾角,怎樣求出此角的對邊呢?已知三邊,又怎樣求出它的三個角呢?”
這個問題是以復(fù)習(xí)引新式的模式提出來的,上承正弦定理,下啟本節(jié)內(nèi)容,在先概括正弦定理的基礎(chǔ)上提出面臨的問題,學(xué)生是否會馬上提出解決這兩個問題的另一個定理呢?他們的內(nèi)心必然會呼應(yīng)出余弦定理的誕生么?也許仍會構(gòu)造直角三角形去完成此任務(wù)呢?
問題2.如圖,某隧道施工隊為了開鑿一條三地隧道,需要測算隧道通過這座山的長度。工程技術(shù)員現(xiàn)在地面上選一適當?shù)奈恢肁,量出A到山腳B、C的距離,再利用經(jīng)緯儀測出A對山腳BC的張角,最后通過計算求出山腳BC的長度。
這個問題是以問題情境式提出的,在學(xué)生腦海中很快就形成了一個認識沖突,即體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育聯(lián)系實際,又很接近余弦定理的教學(xué)目標。
提出問題的出發(fā)點不同,對教學(xué)活動的導(dǎo)向作用也就不同。探究和證明余弦定理的過程既是本節(jié)的一個重點也是本節(jié)的難點。問題1及問題2都沒有明確解題的目標。即解三角形的必要條件。特別值得一提的是,教材對正弦定理和余弦定理的講解都用了向量法,可見向量的地位和作用多么的重要。并且運用向量法既可以克服幾何論證中有時要添加輔助線但又難發(fā)現(xiàn)的缺陷,又可以帶來用計算代替演繹論證的優(yōu)越性,可使問題變得簡潔明快、容易入手。但是學(xué)生處理問題的第一反應(yīng)就是化為直角三角形,用勾股定理。向量法卻很少提起,怎樣讓學(xué)生去想到0,再變形到,是不容易想到的。是技巧性太強?或是對向量的認識不足?教師在這里狠下功夫認真研究研究,怎樣把學(xué)生扶上臺階,成為我們思考的問題。分析其問題之一是學(xué)生對向量的認識不足,學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量一章是有缺失,沒有理解向量這一工具地位與重要作用。如何運用向量基底體現(xiàn)及坐標體系解決這個問題新課程是把他分解到另一章節(jié)中了。這里再次對教材的整體把握,新課程的螺旋式上升的理解對教師提出更高要求。問題之二是教師沒有構(gòu)建好學(xué)生的知識體系,當然也就無法完成學(xué)生的問題意識的構(gòu)建。還是新課程的螺旋式上升在此處就有不合適之處呢?都值得我們的思考。
問題3.從三角形全等的判定定理可以知道,三角形的基本元素之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系。例如三角形內(nèi)角和定理揭示了三角形的三個內(nèi)角間的數(shù)量關(guān)系,勾股定理揭示了直角三角形三邊間的數(shù)量關(guān)系。
三角形基本元素間還存在著什么樣的關(guān)系呢?
給出在三角形ABC中,存在著向量關(guān)系0,再變形到,怎樣把向量關(guān)系轉(zhuǎn)換為數(shù)量關(guān)系?經(jīng)討論利用向量的數(shù)量積可以講向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系,在上式兩邊平方可以得到余弦定理;在上式兩邊同乘以向量AB垂直的向量,就是前面已學(xué)過的正弦定理。
這個問題開門見山,直入本節(jié)課的重點。這種接受性學(xué)習(xí)比發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)應(yīng)該更注重反思過程,從定理的推導(dǎo)過程中你受到了什么的啟發(fā)?用向量方法有什么認識?向量關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系的途徑有哪些?這樣學(xué)生的問題意識的構(gòu)建同樣能完成。當然哪種問題意識的鋪墊更能有助學(xué)生問題意識的培養(yǎng)仍是值得探討的問題。
所以教師教學(xué)中問題意識的構(gòu)建要符合學(xué)生的認知起點;能引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)發(fā)生的過程,尋找到數(shù)學(xué)的本質(zhì);要有對教材的批判思想的問題意識;要有對教材的整體把握及新課程的螺旋式上升的理解的意識;要有問題意識的依托性、導(dǎo)向性、探究性。才能完成對學(xué)生問題意識的有效培養(yǎng)。
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