石俊仙

[摘 要] 數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于思維性，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視學(xué)生思維能力的培養(yǎng)以及數(shù)學(xué)思想和觀念的形成. 本文首先揭示了數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)涵，從深刻研讀教材、重視問題設(shè)計、巧用課后習(xí)題三方面闡述了如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；思維；數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么？在數(shù)學(xué)界一直有所爭議，但有一點為大家所認(rèn)同，那就是數(shù)學(xué)的思維性. 數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于其推理，而推理的過程就是思維的過程. 數(shù)學(xué)涉及許多公理、定理，這些公理和定理的得出便是通過推理獲得.

對于我們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂，新課標(biāo)要求關(guān)注“教”和“學(xué)”的過程，通過“教”和“學(xué)”來展現(xiàn)思維過程，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì). 數(shù)學(xué)課的“教”涉及“教什么”，教師應(yīng)通過教，讓學(xué)生抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，展示思維過程，從而落實學(xué)生主體. 教師應(yīng)教給學(xué)生數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)的思維方法、數(shù)學(xué)的思想觀念. 本文就從以下幾個方面闡述如何在數(shù)學(xué)教學(xué)上展現(xiàn)思維過程，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).

數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是教會學(xué)生思維，北京師范大學(xué)周玉仁教授曾經(jīng)說過“只要是學(xué)生能自己探索得出的，教師就決不能替代；凡是學(xué)生能獨立思考的，教師就決不能暗示”，從而深刻揭示了數(shù)學(xué)思維本質(zhì)的重要性. 數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)涵包括這樣幾個方面：數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)和內(nèi)在聯(lián)系；數(shù)學(xué)規(guī)律、定理、公理的形成過程；數(shù)學(xué)思維方法和數(shù)學(xué)思想的提煉過程；數(shù)學(xué)能力的獲得體驗等. 在數(shù)學(xué)課中，教師要留給學(xué)生自主探究的時間，要留給學(xué)生自主探究的問題，要留給學(xué)生自我展示的機(jī)會和舞臺，要留給學(xué)生合作交流的空間，這些都能夠促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展.

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是思維的過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是每一個數(shù)學(xué)教師教學(xué)的核心. 數(shù)學(xué)應(yīng)重視揭示學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識的思維過程，精心構(gòu)建數(shù)學(xué)課堂，讓數(shù)學(xué)返璞歸真，撥開數(shù)學(xué)神秘的面紗，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).

研讀教材，深刻領(lǐng)悟，把握數(shù)

學(xué)本質(zhì)

要想教會學(xué)生，教師首先要清楚數(shù)學(xué)知識的脈絡(luò)體系，要清楚教材給出的問題背景，要能夠在教材的基礎(chǔ)上，利用教材結(jié)合自己的經(jīng)驗重新整合，理清知識的本源，把握教材中最重要、最本質(zhì)的東西. 一些教師在數(shù)學(xué)課上，面對授課內(nèi)容覺得“這有什么？不就是幾個定理嗎？給學(xué)生證明，讓學(xué)生理解就好了. ”這充分說明，教師對教材內(nèi)容理解得不夠透徹，不能找出引發(fā)學(xué)生思維的部分，不能構(gòu)建引發(fā)學(xué)生探究的節(jié)點. 教師研讀教材，不僅僅是定理、公式的推導(dǎo)，不僅僅是數(shù)學(xué)問題出現(xiàn)的背景，而更應(yīng)看到蘊涵在教材中的鮮活的數(shù)學(xué)思想. 這種數(shù)學(xué)思想才是數(shù)學(xué)的本質(zhì)所在；這種數(shù)學(xué)思想，能夠引導(dǎo)教師整合教材內(nèi)容，融入數(shù)學(xué)思維，成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力. 教師只有認(rèn)真研讀教材，才能做到對教材的獨特感悟，也才能創(chuàng)造精彩、鮮活的數(shù)學(xué)課堂.

例如，在講解“特殊四邊形”（人教版八年級下19.2.2）例2中，如圖1所示，菱形花壇ABCD的邊長為20 m，∠ABC=60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD，求兩條小路的長和花壇面積（分別精確到0.01 m和0.01 m2）.

教材的講解如下：因為花壇ABCD是菱形，所以 AC⊥BD，∠ABD=·∠ABC=×60°=30°. 所以在Rt△OAB中，AO=AB=×20=10（m），BO===10（m）. 所以花壇的兩條小路長AC=2AO=20（m），BD=2BO=20≈34.64（m），花壇的面積S=4×S= AC·BD≈346.40（m2）.

在認(rèn)真研讀教材的基礎(chǔ)上可以發(fā)現(xiàn)，本題對于小路AC的解答運用了“直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”這個定理，如果教師僅僅停留在把問題講清的基礎(chǔ)上，按照教材所給的方法對學(xué)生講解就可以了，但是為了培養(yǎng)學(xué)生的思維，教師可以構(gòu)建問題沖突“小路AC的長度還可以利用什么方法求出來？”讓學(xué)生聯(lián)系已有的知識體系，重新考慮AC長度的求解. 這時，學(xué)生就會重新分析題目當(dāng)中給出的已知條件，調(diào)動思維積極尋找解決問題的方法. 學(xué)生通過思維給出了下面的解答方法.

解答？搖 因為花壇ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以△ABC是等邊三角形. 又因為菱形花壇ABCD的邊長為20m，所以AC=20（m）.

解答到此，教師不要以為問題就圓滿結(jié)束了，在對教材內(nèi)容進(jìn)一步分析的基礎(chǔ)上，教師可進(jìn)一步提問“教材為什么放著簡單的方法不用，非要繞遠(yuǎn)呢？是設(shè)計的老師比我們笨嗎？”引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考. 學(xué)生通過交流發(fā)現(xiàn)，在求解小路BD的長度時要用到OA的長度，也就是說，如果我們利用等邊三角形的知識求出AC的長度，也要再求出AO的長，才能求出BD的長，這樣看來，教材中的解法其實不是繞遠(yuǎn). 至此，這個例題的所有思維過程才算完成.

再如，四邊形數(shù)學(xué)活動3（新人教八年級下）中的中點四邊形. 如圖2所示，我們依次連結(jié)任意一個四邊形各邊的中點，所得的四邊形叫做中點四邊形，它是什么圖形？

這道題經(jīng)常作為出題的素材. 連結(jié)任意四邊形的兩條對角線，利用三角形中位線定理很容易證明中點四邊形為平行四邊形. 探究中，條件不斷變化——如果四邊形變成平行四邊形（圖3），它的中點四邊形是什么形狀？如果變成矩形（圖4）、菱形（圖5）、正方形（圖6）呢？請證明你的結(jié)論.

教師在構(gòu)建數(shù)學(xué)活動時，這幾個問題運用的知識點都是三角形的中位線，因此，教師可以設(shè)置思考1：如果得到的中點四邊形為矩形、菱形、正方形，那么，四邊形ABCD的形狀是怎樣的？讓學(xué)生進(jìn)行反向思維.

思考2：如果條件改為依次連結(jié)四邊形一組對邊的中點和兩條對角線的中點，得到的四邊形是什么形狀呢？

教師讓學(xué)生分析這類題目的解答和什么條件緊密相關(guān)（四邊形對角線），分析四邊形對角線情況（垂直、相等、垂直且相等）就可以得出連結(jié)所得四邊形的形狀，從而抓住數(shù)學(xué)變化的本質(zhì). 方法通，則思路順，數(shù)學(xué)方法的傳授，遠(yuǎn)大于對某一習(xí)題的講解.endprint

利用問題，拓展思維，揭示本質(zhì)

數(shù)學(xué)問題永遠(yuǎn)是促進(jìn)學(xué)生思維的首要方法. 教師要善于利用數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思維，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì). 例如，學(xué)習(xí)“不等式及其解集”（人教版七年級下9.1）閱讀與思考“用求差法比較大小”，教師可稍微改變題目的背景，使背景和學(xué)生的生活實際緊密相關(guān). 如“制作一種服裝，需要用到兩種布料，其制作方案也有兩種，方案1，用A種布料4米，B種布料8米；方案2，用A種布料3米，B種布料9米. 從節(jié)省原料的角度分析，應(yīng)該選擇哪種方案？”學(xué)生對于不等式比較大小是陌生的，在這里，教師就要利用問題，教給學(xué)生知識遷移的方法.

師：我們學(xué)過什么比較大??？

生：數(shù)字.

師：數(shù)字如何比較大?。?/p>

生：利用數(shù)軸. 在數(shù)軸上，右邊的數(shù)字總比左邊的大.

生：還可以通過計算，如果差是正數(shù)，就說明被減數(shù)大于減數(shù)；如果差等于零，說明被減數(shù)、減數(shù)相等；如果差是負(fù)數(shù)，說明不夠減，即被減數(shù)小于減數(shù).

師：我們看這道題，從省料角度考慮的意思是什么？

生：就是看哪種方案用料少.

師：分別寫出方案1和方案2的用料總數(shù).

學(xué)生得出方案1的用料為4x+8y，方案2的用料為3x+9y.

師：比較方案1和方案2誰省料，就是比較4x+8y和3x+9y誰大誰小. 怎么比？

生：看差.

學(xué)生通過教師的引導(dǎo)解決了用差比較兩數(shù)大小的問題.

數(shù)學(xué)判斷能力也是學(xué)生的一種需要培養(yǎng)的數(shù)學(xué)能力，正如學(xué)生先去判斷某種結(jié)論，然后才能朝著這個結(jié)論去思考、驗證一樣. 如a，b，m為正整數(shù)，且a﹤b，則（？搖 ）.

判斷這兩個分式的大小，用比差法顯然很復(fù)雜，直接判斷又不能，所以教師可以設(shè)置問題進(jìn)行知識的遷移，引導(dǎo)學(xué)生找到問題之間的本質(zhì)聯(lián)系，從而解決問題.

教師讓學(xué)生用比差法解決這個問題，學(xué)生經(jīng)過艱苦的計算得出了結(jié)論（﹥）.

生：太復(fù)雜了.

師：那么，有沒有簡單的方法得出結(jié)論呢？請同學(xué)們觀察，分式可以看做什么？

生：兩數(shù)相除.

師：分子、分母同時加一個相同的數(shù)，在實際生活中有哪種實際情況是這樣的？

生：濃度問題. 牛奶加水、糖水放糖、鹽水加鹽.

師：對，那么這個問題如果按照濃度問題考慮，能不能解決呢？

生：可以. 可以看做原來的濃度，再加入m克糖得到后來的濃度為，加入糖后就變甜了，即糖水的濃度變大了，所以（﹥）.

這個較為復(fù)雜的分式比較大小，在教師引導(dǎo)下進(jìn)行了知識的遷移，從而讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，也理解了數(shù)學(xué)問題的本質(zhì). 數(shù)學(xué)的解決方法是相通的，找到知識的連接入口，就抓住了數(shù)學(xué)的本質(zhì).

巧用習(xí)題，促進(jìn)思維，揭示本質(zhì)

習(xí)題是檢驗學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)知識的工具和手段. 教師對于習(xí)題的講解，有助于學(xué)生鞏固和加深對數(shù)學(xué)知識的理解，甚至有些習(xí)題能夠令學(xué)生的思維打開另一扇大門. 數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于揭示數(shù)學(xué)知識形成的過程上，在于師生共同探究的活動中，在于對數(shù)學(xué)思維方法的提煉. 數(shù)學(xué)習(xí)題是提煉數(shù)學(xué)思想的載體，也是學(xué)生解決問題的重要媒介，教師應(yīng)充分重視數(shù)學(xué)習(xí)題的作用，充分利用習(xí)題促進(jìn)學(xué)生思維，體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì).

例如，學(xué)習(xí)完“一次函數(shù)與二元一次方程”（人教版八年級13.3）課后習(xí)題第9題：A，B兩個商場平時以同樣的價格出售相同的商品. 春節(jié)期間讓利酬賓，A商場所有商品八折出售；B商場消費金額超過200元后，打七折. 試問，如何選擇商場購物更經(jīng)濟(jì)？這是一道方案選擇題，這種類型的題在初中階段是重點，教師應(yīng)給學(xué)生講透，讓學(xué)生掌握解決這類題的方法，掌握其思維過程.

師：更經(jīng)濟(jì)的意思是什么？

生：更省錢.

師：你覺得八折省錢還是買夠200元后七折省錢？

學(xué)生思考后回答，不知道，因為不知道花了多少錢.

師：那什么決定在哪個商場購物更經(jīng)濟(jì)呢？

生：購物花費的錢數(shù).

師：這個錢數(shù)是固定的嗎？

……通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生掌握了一次函數(shù)方案問題的解題思路：找準(zhǔn)自變量→列出函數(shù)關(guān)系式→找到兩個方案中函數(shù)值相等時自變量的值→分析大于、小于這個等值的情況.

初中數(shù)學(xué)課本中有許多相似的習(xí)題，教師要打破習(xí)題的先后順序，對習(xí)題有整體把握. 如八年級上習(xí)題11.2中的第7題：點P（x，y）在第一象限，且x+y=8，點A的坐標(biāo)為（6，0），設(shè)△OPA的面積為S.

（1）用含x的解析式表示S，寫出x的取值范圍，并畫出函數(shù)S的圖象.

（2）當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為5時，△OPA的面積是多少？

（3）△OPA的面積能大于24嗎？為什么？

以及復(fù)習(xí)題11第10題：已知A（8，0）及在第一象限的動點P（x，y），且x+y=10，設(shè)△OPA的面積為S.

（1）求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求x的取值范圍；

（3）求S=12時P點的坐標(biāo)；

（4）畫出函數(shù)S的圖象.

這兩道題就應(yīng)該整合在一起進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí)，這樣有利于學(xué)生加深對此類題的理解與掌握.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)從各個方面揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生的思維，在師生積極互動的過程中共同提高，掌握數(shù)學(xué)知識的形成，習(xí)得有效的學(xué)習(xí)方法，獲得全新的數(shù)學(xué)體驗.endprint