胡定華

摘 要：變式教學(xué)是中國(guó)數(shù)學(xué)教育的優(yōu)良傳統(tǒng)，從傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)至新課程數(shù)學(xué)改革，變式教學(xué)的模式一直是高效教學(xué)的典型代表，其為我們高考應(yīng)試、復(fù)習(xí)教學(xué)帶來(lái)了簡(jiǎn)捷、高效、有效的教學(xué)方式. 新課標(biāo)實(shí)施以來(lái)，在教育方式不斷發(fā)展和革新的今天，變式教學(xué)也在不斷地與時(shí)俱進(jìn)，發(fā)生自我的改變，本文從變式教學(xué)不同實(shí)施途徑入手，結(jié)合案例進(jìn)行了分析.

關(guān)鍵詞：變式教學(xué)；途徑；原則；目的性；主動(dòng)性

變式教學(xué)是我國(guó)數(shù)學(xué)教育特有的教學(xué)模式之一，其以基本問(wèn)題為載體，對(duì)學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題（條件、結(jié)論等）變式的推廣教學(xué)，目的以題根為基準(zhǔn)，進(jìn)行一定幅度的掃描教學(xué)，是一種高效、有效的解決知識(shí)點(diǎn)疑難的教學(xué)模式. 隨著新課程的深入，變式教學(xué)的地位并未受到改變，依舊是教學(xué)模式的重要組成之一，在復(fù)習(xí)教學(xué)中反而地位更為重要，值得教師深入研究.

筆者認(rèn)為，變式教學(xué)模式是數(shù)學(xué)教學(xué)深度和廣度挖掘、提高的較好方式，新課程理念下的變式教學(xué)也在與時(shí)俱進(jìn)做出改變，不同以往的是落實(shí)和開(kāi)拓學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和建構(gòu)學(xué)習(xí)，其本質(zhì)是對(duì)主動(dòng)探求建構(gòu)模式的一種抽象歸納. 變式教學(xué)深受顧泠沅老師的喜歡，他在《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程》一書(shū)中指出：“變式教學(xué)在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)依舊是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主體，因?yàn)橛辛俗兪?，才能讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)形式化概念的內(nèi)在和外延，才能懂得數(shù)學(xué)公式、定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，從現(xiàn)階段來(lái)看，變式教學(xué)教師的目的性和學(xué)生的主動(dòng)性是教學(xué)的關(guān)鍵，值得教師多學(xué)習(xí)和研究.” 本文結(jié)合顧老的話和變式教學(xué)的原則，用案例來(lái)談?wù)劜煌膶?shí)施途徑.

[?] 目的性原則實(shí)施

所謂目的性原則，即指在編制變式時(shí)，必須緊扣本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行設(shè)置，一節(jié)課所能研究的數(shù)學(xué)知識(shí)不可能面面俱到，要求教師緊緊圍繞本課的核心和重點(diǎn)進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)及其變式的挖掘，有目的地實(shí)施教學(xué). 在這一原則下，教師要做的變式基本圍繞本課核心知識(shí)而設(shè)，即有對(duì)象的處理. 本節(jié)案例選用《函數(shù)與方程》題組設(shè)計(jì)，該節(jié)作為新課程改革試驗(yàn)教材中的新增內(nèi)容，近幾年成為高考命題的一個(gè)新亮點(diǎn). 在高中階段，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題可以和二次函數(shù)根的分布、三次函數(shù)的圖象或?qū)?shù)的極值等進(jìn)行“交匯”編制試題，所以其試題綜合性較強(qiáng). 此外，從學(xué)生新課的掌握情況來(lái)看，很多學(xué)生對(duì)“方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)”的理解和進(jìn)一步應(yīng)用的目的性尚不清楚，從而不能順利地進(jìn)行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.

案例1 （函數(shù)零點(diǎn)的變式教學(xué)）求函數(shù)f（x）=x3-6x2+9x-10的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

目的性：從最基本的函數(shù)出發(fā)，通過(guò)學(xué)生回顧函數(shù)零點(diǎn)的含義和解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)的基本思想方法，擇優(yōu)選擇適合的方法，即利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的單調(diào)性和極值，通過(guò)作出函數(shù)y=f（x）的草圖，觀察圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).思路直接，易于接受.

變式1：試討論函數(shù)f（x）=x3-6x2+9x-10-a（a∈R）零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

目的性：通過(guò)引進(jìn)參數(shù)a，繼續(xù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題.教師通過(guò)變換問(wèn)題情境，抓住學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”向其潛在水平引導(dǎo)，通過(guò)認(rèn)知沖突來(lái)誘發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的積極性，促進(jìn)思維發(fā)展.求解此題，第一種方法學(xué)生很容易想到，即研究函數(shù)y=f（x）的圖象，并通過(guò)在作草圖時(shí)碰到的矛盾，從而引發(fā)進(jìn)一步思考，由于參數(shù)的不確定性引起圖象的不確定性，從而數(shù)形結(jié)合，容易分類討論考查極值點(diǎn)的位置. 結(jié)合幾何畫板，向?qū)W生展示了圖象的一個(gè)動(dòng)態(tài)變化過(guò)程.教師通過(guò)進(jìn)一步地分析引導(dǎo)學(xué)生：當(dāng)我們碰到復(fù)雜的函數(shù)時(shí)，往往可以將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：F（x）=f（x）-g（x）有零點(diǎn)?f（x）=g（x）有實(shí)根?函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖象有交點(diǎn). 因此，第二種方法，通過(guò)將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題先轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，再將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，其中的轉(zhuǎn)化思想要求是比較高的，讓學(xué)生感受到了函數(shù)與方程之間的密切聯(lián)系.

變式2：x3-6x2+9x-10+7a-a2=0在區(qū)間[1，3]上有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.

目的性：通過(guò)引進(jìn)復(fù)雜的參數(shù)形式，并將問(wèn)題改編為方程在給定區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)解的類型，讓學(xué)生充分理解函數(shù)與方程的密切聯(lián)系，體會(huì)其中的轉(zhuǎn)化思想，并再度嘗試運(yùn)用.

變式3（改變參數(shù)的位置）：若方程x3-ax2+9x=0在[1，3]上有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.

目的性：通過(guò)改變參數(shù)的位置，舉一反三，強(qiáng)調(diào)方程問(wèn)題移項(xiàng)整理可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的問(wèn)題，尤其是變量能分離時(shí)，該方法更是運(yùn)用得淋漓盡致. 參數(shù)分離法是解決參數(shù)取值范圍問(wèn)題的重要手段，它將函數(shù)存在零點(diǎn)問(wèn)題合理地轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問(wèn)題，從而輕快、簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題. 最后對(duì)變式進(jìn)行回顧，通過(guò)回顧變式題組，總結(jié)本題組的重點(diǎn)知識(shí)，讓學(xué)生再次感受函數(shù)零點(diǎn)的求解方法和數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.

說(shuō)明：目的性原則下的變式教學(xué)主要體現(xiàn)了按層次推進(jìn)，分散難點(diǎn)，逐步深化，螺旋上升的教學(xué)特點(diǎn). 在教學(xué)中從現(xiàn)有發(fā)展水平出發(fā)，通過(guò)逐步訓(xùn)練達(dá)到可能達(dá)到的新的發(fā)展水平，按照這種規(guī)律，在新的現(xiàn)有水平基礎(chǔ)上，繼續(xù)培養(yǎng)出第二級(jí)新的思維可能達(dá)到的發(fā)展水平，在此基礎(chǔ)上又形成第三級(jí)新的思維最近發(fā)展區(qū)，同時(shí)教學(xué)又從新的思維潛在水平開(kāi)始……，這種螺旋式上升的思維發(fā)展層次與教學(xué)方式，可以優(yōu)化學(xué)生不斷積累知識(shí)和推動(dòng)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，體現(xiàn)了知識(shí)學(xué)習(xí)的良好目的性.

[?] 主動(dòng)性原則實(shí)施

變式教學(xué)從參與性角度來(lái)說(shuō)，需要學(xué)生的積極建構(gòu)和主動(dòng)參與. 這一原則指的是，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知變式結(jié)構(gòu)和原問(wèn)題之間的內(nèi)在知識(shí)聯(lián)系和解決問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)的差別和類似. 建構(gòu)主義認(rèn)為：學(xué)生學(xué)習(xí)緣自其自身知識(shí)的積累、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的增加，以此為基礎(chǔ)進(jìn)行的探索的收獲是比較大的. 杜威在其教育理論中指出，灌輸式的教育只能給予學(xué)生25%的知識(shí)吸收，主動(dòng)建構(gòu)的知識(shí)則能達(dá)到50%，而通過(guò)合作討論、積極變化（即知識(shí)的變式研究學(xué)習(xí)），則能達(dá)到75%. 因此，主動(dòng)性原則對(duì)變式教學(xué)的重要性不言而喻.

案例2：在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知b2-c2=a2-ac.

（1）求B的值；

（2）若b=2，求sinA+sinC的取值范圍.

分析：第1問(wèn)略. 對(duì)于第2問(wèn)，結(jié)合正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，作如下解法探析：其一，解三角形是三角函數(shù)的一大主要組成部分，其與圖象、性質(zhì)的有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了三角函數(shù)的統(tǒng)一性. 通過(guò)對(duì)上述結(jié)論的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)角B確定，盡管A，C都不確定，但A+C是定值，C可以隨著角A的變化而變化，那么sinA+sinC可以表示成關(guān)于角A的函數(shù)關(guān)系式，從而利用角A的范圍求sinA+sinC的取值范圍；其二，注意到（2）中有條件“b=2”，對(duì)比結(jié)論及（1）問(wèn)的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)利用正弦定理，可以將結(jié)論轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，同時(shí)由余弦定理可以發(fā)現(xiàn)它們之間存在一個(gè)等量關(guān)系，要由這個(gè)等量關(guān)系來(lái)得到取值范圍問(wèn)題，自然而然會(huì)想到通過(guò)基本不等式得到最值，確定取值范圍.

教師：若能夠?qū)@個(gè)問(wèn)題中進(jìn)行拓展，我們至少還可以獲得對(duì)同類問(wèn)題的同源解法的探求. 我給出一些變式：

說(shuō)明：以小組討論模式的主動(dòng)性變式嘗試，充分激發(fā)了學(xué)生對(duì)知識(shí)運(yùn)用的積激性，這直接導(dǎo)致學(xué)生對(duì)本案例所指出的三角函數(shù)知識(shí)整合性的一種提升. 在這一過(guò)程中，筆者認(rèn)為首先要通過(guò)示范教會(huì)學(xué)生一些構(gòu)造變式的常見(jiàn)方法，構(gòu)造變式的常見(jiàn)方法有：（1）變換背景構(gòu)造變式；（2）逆向思考構(gòu)造變式；（3）一般化構(gòu)造變式；（4）類比構(gòu)造變式，等等.

總之，變式教學(xué)是我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)特殊的產(chǎn)物，其簡(jiǎn)捷、高效的特點(diǎn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中起著重要作用，從文中案例可以看出變式教學(xué)最大的兩大功效，認(rèn)識(shí)到它在教學(xué)的深度和廣度上有著極為重要的覆蓋作用，它將學(xué)生的基本知識(shí)和知識(shí)鏈接、能力進(jìn)行了有效的整合，提高了課堂教學(xué)的有效性. 融會(huì)貫通能力的達(dá)到必須有一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程. 從最近的高考試題考查而言，能力立意的考查成為主流，通過(guò)變式教學(xué)堆積起來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)的熟練運(yùn)用能力和轉(zhuǎn)換能力是學(xué)生一筆寶貴的財(cái)富. 但變式教學(xué)比較適合復(fù)習(xí)課教學(xué)，集中精力解決知識(shí)板塊中難度、重點(diǎn)較大的數(shù)學(xué)專題型知識(shí)，使用時(shí)教師要關(guān)注其適度性，限于篇幅，就變式教學(xué)的適度性未能進(jìn)行展開(kāi)論述，請(qǐng)讀者繼續(xù)研究.