唐鷹　駱妃景

摘 要：二階導數(shù)盡管是高等數(shù)學微積分的內(nèi)容，但二階導數(shù)可以理解為“對函數(shù)的導數(shù)再求導”，作為體現(xiàn)數(shù)學應用思想的方法，并沒有超出高中課程的要求. 二階導數(shù)在用來解決函數(shù)、導數(shù)綜合性題目時往往會達到事半功倍的效果，本文探討二階導數(shù)在函數(shù)凹凸性、極值、不等式恒成立問題中的作用.

關(guān)鍵詞：二階導數(shù)；函數(shù)凹凸性；極值；不等式；恒成立

近幾年高考試題或者模擬試題中出現(xiàn)越來越多具有高等數(shù)學微積分背景的考題. 雖然高中試題的解法主要是基于高中所學的內(nèi)容，但是作為中學數(shù)學教師，必須要對高等數(shù)學微積分中所蘊涵的數(shù)學思想方法有較好的認識和把握，要有用微積分觀點去認識初等數(shù)學的意識，這樣才有助于我們對高考命題有全面、深刻的理解和把握. 本文試從幾個例子來看二階導數(shù)在函數(shù)凹凸性、極值以及不等式恒成立問題中的運用.

2. 函數(shù)凹凸性的直觀性

設函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增，我們可以這樣理解，隨著自變量x的穩(wěn)定增加，當函數(shù)f（x）的增量增加越來越快時，函數(shù)圖形是凹的；當函數(shù)f（x）的增量越來越慢時，函數(shù)圖形是凸的；當函數(shù)f（x）的增量保持不變時，函數(shù)圖形是直線. 如果f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞減，同樣可以類似分析.

顯然解法2比解法1簡潔許多，解法1對考生的計算能力要求非常高，一旦化簡不到位，本題就解不出來，而化簡是現(xiàn)在高中生的一大弱項，這與初中弱化了因式分解等知識有關(guān)，倘若學生能掌握函數(shù)凹凸性與二階導數(shù)的關(guān)系，那么這道題就會信手拈來！

[?] 二階導數(shù)與函數(shù)極值

在高中階段，判斷函數(shù)在x0處是否取得極值并判斷是極大值還是極小值時，經(jīng)常是利用函數(shù)的導數(shù)在x0的兩側(cè)的符號來判斷，通常需要列表，但列表相對麻煩，而且容易計算錯誤，特別是對于基礎(chǔ)相對較差的文科生，常常會出現(xiàn)列表不完整、計算錯誤、格式書寫不規(guī)范等問題. 實際上，我們可以用二階導數(shù)的符號比較快速簡便地判斷x0是函數(shù)的極大值點還是極小值點.

[?] 二階導數(shù)與不等式恒成立問題

不等式恒成立問題是高考試題中?？嫉膬?nèi)容之一，主要考查學生分析問題、解決問題的能力以及邏輯思維能力，不等式恒成立問題的轉(zhuǎn)化過程中出現(xiàn)的難點主要是分離常數(shù)和最值的求解，因為如果題目中涉及ex或者lnx時，很難分離常數(shù)，就算能夠分離，求最值也會遇到困難，這時可以考慮用二階導數(shù)來解決不等式恒成立問題.

分析：本題在解決第2問時也可以利用第1問中的結(jié)論得到不等式ex≥x+1，但是如果不能根據(jù)第1問中的結(jié)論得出ex≥x+1這個抽象不等式的話，第2問就無從談起，束手無策，那么現(xiàn)在我們拋開第1問中的結(jié)論，直接從第2問出發(fā)，第2問可以轉(zhuǎn)化為當x≥0時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍，此時分離常數(shù)后得a≤，即轉(zhuǎn)化為求g（x）=的最小值，難度相當大，那么下面采用二階導數(shù)的知識解決此問題.

強，是高考中的重點和難點，要求學生具備很強的邏輯思維能力，導致很多學生“望題卻步”，但往往一般采用二階導數(shù)甚至三階導數(shù)進行研究，有時解法會很簡潔，出現(xiàn)“柳暗花明”的局面，使解題事半功倍.

總之，二階導數(shù)盡管是高等數(shù)學微積分的內(nèi)容，但二階導數(shù)可以理解為“對函數(shù)的導數(shù)再求導”. 作為體現(xiàn)數(shù)學應用思想的方法，并沒有超出高中課程的要求. 二階導數(shù)在用來解決函數(shù)、導數(shù)結(jié)合的綜合性題目時往往會達到解題事半功倍的效果，所以二階導數(shù)也是高中生可以且應該掌握的知識.