汪樹林

摘要：“美學視界”中的數(shù)學教育從數(shù)學“真善美”相統(tǒng)一的視點出發(fā)，深刻剖析數(shù)學教育中的“美學空場”現(xiàn)象。數(shù)學教師要善于捕捉數(shù)學文本中的“美育基因”，尋繹數(shù)學符號的“美的歷程”，構筑“審美·立美”的教育范式，經(jīng)由師生“生命·實踐”的美學活動，達成數(shù)學教育的美學建構。

關鍵詞：數(shù)學教育;美學建構;數(shù)學審美;數(shù)學立美

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2014）11-0054-04

“數(shù)學審美”與“數(shù)學立美”是數(shù)學課程重要的價值目標，也是兒童數(shù)學精神發(fā)展的重要維度。然而，當我們用“美學眼光”觀照當下功利、實用與理性化的數(shù)學教育時，我們發(fā)現(xiàn)，“美”常常從中逃逸?！懊馈钡碾[遁讓數(shù)學教育呈現(xiàn)出“美學空場”狀態(tài)。由此，本該充滿“美學意蘊”的數(shù)學教育常常變得平庸和貧乏，兒童的審美潛能和創(chuàng)美潛質遭遇到不同程度的遮蔽、壓抑、遺忘與放逐。

一、“美”的隱遁：數(shù)學教育的“美學空場”

（一）“變異”——極度功利的“實用性”思維

在功利主義教育場中，“實用理性”遮蔽兒童“審美創(chuàng)造”，“工具數(shù)學”擠壓“美性數(shù)學”?！皢蜗蚨取苯虒W范式“自上而下”（課標定什么考什么，考什么教什么，教什么學什么），導致兒童淪為“單向度的人”。

【課堂觀察】教學《素數(shù)與合數(shù)》，一位教師首先讓兒童求一組數(shù)的“因數(shù)”，然后引導兒童根據(jù)“因數(shù)個數(shù)”歸類：素數(shù)、合數(shù)，接著讓兒童將20以內的素數(shù)一一找出，最后要求孩子識記50以內的素數(shù)表，但對能展現(xiàn)素數(shù)神奇與美的內容諸如“哥德巴赫猜想”、“孿生素數(shù)”等則蜻蜓點水，對找尋素數(shù)的經(jīng)典方法——古希臘的“埃拉托斯特尼篩法”、東印度的“錢德拉篩子”，素數(shù)的科技運用——“素數(shù)與密碼學”、“素數(shù)與生物生命周期”、“素數(shù)與殺蟲劑”等則全無涉獵。如此教學，對解題、考試很有功效，但數(shù)學留給孩子們的感受則是枯燥、乏味。

（二）“失真”——無度夸大的“主導性”思維

數(shù)學教學中，教師往往有意無意強化其主導作用，僭越兒童的主體地位。兒童主體呈現(xiàn)出一種“弱我”、“無我”狀態(tài)，其美性思維、真性感悟時常遭遇教師的綁架、禁錮。

【課堂觀察】教學“解決問題的策略——倒推”例2時，一位教師先投影出示：小明原有一些郵票，又收集了24張，送給小軍30張，還剩52張。小明原有多少張郵票？

師（提問）：可以用什么策略？

生：倒推。

師：怎么倒推呢？

（生沉默）

接著教師用箭頭圖對兒童“思維綁架”：原有？張→（?? ）→（?? ）→還剩52張

（生填寫箭頭圖）

師：倒過來推理。

投影出示：原來？張←（?? ）←（?? ）←還剩52張（生列式計算）

如此“精細化”教學設計無“驚險”亦無“精彩”，兒童靈動、開放的多向思維被捆綁在呆板的解題模式上。事實上，通過例1的學習，兒童已具備一定的倒推經(jīng)驗，例2完全可以放手讓兒童自己感悟，針對兒童匯報，教師出示箭頭圖等進行優(yōu)化。

（三）“減趣”——過度膨脹的“唯理性”思維

數(shù)學是一門理性學科，但兒童卻是“感性的王子”。數(shù)學教學中，教師過度的理性分析（強邏輯、強推理）時常漠視兒童的數(shù)學美感。

【課堂觀察】一位教師為了區(qū)分“圓周長的一半”和“半圓的周長”，用數(shù)學符號對“半圓周長”進行公式演繹：C=2πr÷2+2r=πr+2r，最終歸結為：已知半徑（r）求“半圓的周長”用公式C半圓=（π+2）r;已知直徑（d）用公式C半圓=πd÷2+d=（π÷2+1）d，要求兒童記憶公式及推導過程，甚至要求兒童解決問題時，先寫公式再用所謂“代入法”計算。乏味、減趣的“唯理性”教學遮蔽了數(shù)學的美，導致孩子們染上“恐數(shù)癥”。事實上，對抽象概念，兒童更喜歡用圖形表示，用文字敘述——“半圓的周長”是“圓周長的一半”加“直徑的長度”。

二、讓“美”在場：數(shù)學教育的“美學向度”

古希臘數(shù)學家普洛克拉斯曾斷言，“哪里有數(shù)，哪里就有美”。英國邏輯學家羅素說，“數(shù)學，如果正確地看，不但擁有真理，而且具有至高無上的美?！竦窨痰拿?，是一種冷而嚴肅的美”。美國數(shù)學家M·克萊因認為，“人類最偉大和最富于理性的藝術就是數(shù)學。數(shù)學是人類最高最優(yōu)越的智力成就，也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作。音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目……但是數(shù)學卻能提供上述一切?！备叛灾?，數(shù)學是美的，數(shù)學教育應當展現(xiàn)數(shù)學“合規(guī)律性”與“合目的性”之和諧！[1]

（一）顯思——數(shù)學教育的“合規(guī)律性”之美

“合規(guī)律性”之美是指數(shù)學教育應當以美啟“真”（數(shù)學的思想、方法與精神），以真顯“美”，實現(xiàn)“美”與“真”的高度統(tǒng)一。“真”是數(shù)學的靈魂。一如日本數(shù)學教育家米山國藏所說，“學生所學的數(shù)學知識，在進入社會后幾乎沒有什么機會應用……惟有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學思想和方法等隨時地發(fā)生作用，使他們受益終身”。小學數(shù)學中蘊藏著豐富的思想方法：模型化、抽象與分類、演繹與歸納、隨機與轉化、數(shù)形結合、方程與函數(shù)、對應與集合，等等。盡管這些思想潛隱于數(shù)學“字面”之中、“題面”之后，但教師要善于發(fā)掘，要敞亮兒童的“思”、“想”，讓兒童“運思”。由此，教學充盈“合規(guī)律性”之美。

（二）舒心——數(shù)學教育的“合目的性”之美

康德說過，“人是教育的目的”。但傳統(tǒng)數(shù)學教育卻以獲得本體性數(shù)學知識為終極目標。由此異化了數(shù)學的本真，扭曲了教學的善意。

“合目的性”的數(shù)學教學是對“異化教學”的積極揚棄，因而是通過人并且為了人而對人的本質的真正占有，它是向人自身的復歸。[2]

“合目的性”數(shù)學教學重學，讓學，以學定教，倚“學”施“教”。其價值目標不僅是開掘兒童數(shù)學潛質，更重要的是舒展兒童的身心，解放兒童。一方面，兒童作為一個整體的人“以一種全面的方式占有自己的本質”;另一方面，兒童的本質力量——得以顯現(xiàn)：如有數(shù)學感覺的耳朵、能感受數(shù)學形式美的眼睛等。不僅五官感覺，而且精神感覺、實踐感覺，一句話，人的感覺、感覺的人性產(chǎn)生出來。[3]由此，教學洋溢著“合目的性”之美。

三、讓“美”顯現(xiàn)：數(shù)學教育的“美學實踐”

如何在數(shù)學中植入美學元素，讓數(shù)學成為“有意味的形式”，讓教學飽含藝術之美？筆者認為，可以精挑那些最具美蘊的知識進行尋繹，讓兒童體驗數(shù)學的溫情與意趣。

（一）內容：精挑與尋繹

1.捕捉文本的“美育基因”

數(shù)學知識蘊含豐富的“美點”。翻開小學數(shù)學教材，我們可以發(fā)現(xiàn)許多跳動著的“美的音符”。如“平行四邊形”定義——“兩組對邊分別平行”，給兒童以明快、精煉之感;三角形、平行四邊形、梯形面積公式都可以用S=（a+b）h÷2來表示，展現(xiàn)了數(shù)學結構的內在統(tǒng)一;“回文數(shù)”體現(xiàn)了數(shù)學的和諧;“數(shù)字黑洞”體現(xiàn)了數(shù)學的神秘;等腰三角形、長方形、正多邊形、圓等表現(xiàn)了圖形的對稱;“周期現(xiàn)象”體現(xiàn)了數(shù)學的節(jié)奏;正數(shù)與負數(shù)、加與減、乘與除、正比與反比等表現(xiàn)了數(shù)學的辨證;“圓的面積”公式推導中的“無限分割”則盡情展現(xiàn)數(shù)學極限之美;為避免加法中相同加數(shù)的冗長——“乘法”體現(xiàn)了數(shù)學的簡約;而“一張0.01毫米厚的紙對折100次有多厚？”的計算結果則更能喚起孩子的“驚異感”。

2.尋繹符號“美的歷程”

數(shù)學知識是“套裝”的。所謂“知識套”，即是抽離符號誕生的生命樣態(tài)，留下“去時間、去個性、去情境”的形式化符號。由此，數(shù)學教學必須積極尋繹符號誕生的“美的歷程”，探尋符號背后的邏輯原點、生活事理、邏輯走向，揣摩人類在揭示某一數(shù)學事實時想出了什么，怎么想的，為什么這樣想。讓兒童從自我數(shù)學經(jīng)驗出發(fā)，去迎接、印證或批判不同時空下他人的經(jīng)驗精華，不斷刷新自我的數(shù)學世界。

例如，作為代數(shù)符號的“四則運算”符號，加號是“一”添上“I”，表示一橫與一豎合并起來。從“+”中拿走“I”就是“減號”，表示“去掉”、“減少”的意思。把“+”旋轉45度得到“×”，表示同數(shù)連加。再由同數(shù)連減引進除法?！皽p號”加兩點就是“÷”。教學中，有孩子認為，除號先寫“一”是表示平均分，上、下各一點，表示每一份一樣多。兒童用自我數(shù)學經(jīng)驗賦予符號以生動的意義。

（二）教學：審美與立美

基于“兒童立場”，教師應引導兒童“審美”，即讓兒童依憑自身審美力，感知美、欣賞美，初步形成自己的“美學觀”。更應引領兒童“立美”，即在數(shù)學活動中有意無意地實踐美、創(chuàng)造美。

1.審美：展現(xiàn)兒童的“美學氣質”

羅丹說，“美是到處都有的。對于我們的眼睛不是缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)”。兒童審美力是兒童潛在的生命之力，它是兒童對數(shù)學美的感知、理解與想象。數(shù)學美育的根本目的便是發(fā)掘兒童的審美力。

①舉象：豐盈兒童的感知力

接受美學家姚斯和伊塞爾將兒童先前思維定式或結構，稱之為“審美圖式”，它是兒童潛在的審美心理。[4]所謂“舉象”，即是把抽象符號還原成操作映像或具體形象。教學《三角形的面積》，孩子們在公式運用中經(jīng)常遺忘“÷2”，許多教師非常氣憤，每一次復習三角形面積公式，都要強化“÷2”，可在公式運用中，孩子們還是將“÷2”丟掉。究其根本，是兒童頭腦中缺乏操作圖式——“兩個完全一樣的三角形拼成平行四邊形”的拼圖。于是，筆者在教學中多讓兒童操作，強化“完全相同的三角形拼成的平行四邊形”映像，兒童在計算中容易丟失“÷2”的問題大大減少。

②會意：形成兒童的理解力

很多數(shù)學知識具有“緘默性質”——只可意會，難于言傳。判斷命題“體積相等的圓柱，表面積也一定相等”以及“圓柱的體積是圓錐的3倍，它們一定等底等高”，我們當然可以借助于邏輯推理、假設及計算來實現(xiàn)，但兒童難以理解。于是班上的“小機靈”通過孩童時“捏橡皮泥”經(jīng)驗，通過數(shù)學準實驗（用橡皮泥先捏等底等高的圓柱和圓錐，然后讓圓柱、圓錐變形）給命題以有力反駁。另一些孩子用畫數(shù)學草圖，用兒童語言“高瘦瘦”（底面積小，高長）和“矮胖胖”（底面積大，高短）來詮釋，通俗解釋讓兒童心領神會。

③補白：發(fā)揮兒童的想象力

格式塔美學認為，藝術設計應注意把握簡單形與復雜形，完美形與不完美形間的控制程度。教學中，可以讓兒童對數(shù)學之“形”進行組織和建構，通過“不完形”造成更大的形式意味，誘導兒童創(chuàng)造性填補和想象。[5]

教學《圓柱的體積》，筆者出示上圖這樣的形體讓兒童發(fā)揮“完形想象”：

有孩子認為，這原本是一個圓柱，后來用鋸子斜著鋸成兩段，我們可以“補形”還原，即用兩個這樣的相同形體一正一倒合成新圓柱。新圓柱的高應該是3+5=8厘米，這個形體的體積應該是新圓柱體積的一半。在美的想象中，原先不規(guī)則形體（不完形）被轉化成了規(guī)則形體（完形）。

④運思：促成兒童的判斷力

問題的解決能敞亮兒童的“數(shù)學之思”。筆者評講習題：一本書，頁碼從1編到99，那么構成這本書頁碼的數(shù)字之和是多少？孩子們紛紛動筆，分類、計算，但結果五花八門。于是，筆者適時點撥：若在頁碼前面添上“0”，我們可以怎樣分組？幾個孩子恍然大悟，他們很快用“數(shù)對”形式對數(shù)列重新分組：（0，99）、（1，98）、（2，97）……（49，50），每組數(shù)字和均為18，所有數(shù)字之和為18×50=900。一個復雜的問題因為筆者的點撥迎刃而解。精妙的問題解決策略讓孩子們驚嘆、折服。

2.立美：激活兒童的“創(chuàng)美實踐”

美是人的存在方式，數(shù)學美育的終極目的是讓兒童創(chuàng)造美。馬克思說過人懂得按照任何一個種的尺度來進行生產(chǎn)，并且懂得處處都把內在的尺度運用于對象。因此，人也按照美的規(guī)律來構造。[6]

①本質直觀：讓美蕩漾眼前

“直觀”能喚醒兒童沉睡的“美感”，誘發(fā)兒童的審美直覺，激活兒童的創(chuàng)美潛質。教學《用計算器探索規(guī)律》，筆者出了這樣一道習題：4444444×999999=？囿于位數(shù)限制，計算器無法表征計算結果。筆者適時啟發(fā)：能否“以小見大”？孩子們恍然大悟，他們拿出計算器，迅速計算出4×9=36，44×99=4356，444×999=443556……直觀結果的整齊之美，兒童迅疾得出結論：4444444×999999=44444435555556。他們體驗到計算器有時是無能的，而人卻可借助“規(guī)律”解決問題。接著筆者又出示一組習題：142857×1，142857×2，142857×3，……孩子們探索出結果都是1、4、2、8、5、7這幾個數(shù)字依次排隊。接著筆者用紙條（上面寫著142857）做成圓柱，讓孩子們欣賞“訓練有素”的數(shù)學“輪值數(shù)”。筆者出示“142857×7”，孩子們驚異地發(fā)現(xiàn)結果為“999999”，他們體驗到“規(guī)律的王國是有界限的”，并發(fā)現(xiàn)142857可以分成兩節(jié)：“142”和“857”，這兩節(jié)之和恰好等于“999”。如此結果讓孩子們拍案叫絕。最后，筆者出示142857×8，142857×9，……孩子們又有了新發(fā)現(xiàn)：這些數(shù)字開始依次分身。本質直觀，讓“美”蕩漾眼前。

②過程體驗：讓美游弋其中

美，是數(shù)學的當然屬性。充分發(fā)掘數(shù)學的美學元素，為兒童打開一扇扇窗，傳達數(shù)學的種種別樣之美。教學《回文數(shù)》，筆者從棋盤上的回文結構，文學中的回文句、回文詩入手，讓孩子們初步感受回文的對稱美。接著，筆者啟發(fā)孩子們根據(jù)回文的對稱性，自主創(chuàng)造回文數(shù)如121、212、313、131等，體驗到回文數(shù)存在無限多個。然后筆者給定中間數(shù)如_46_，或兩端數(shù)4__4，讓孩子創(chuàng)造并點評。最后筆者出示數(shù)學家創(chuàng)造回文數(shù)的與眾不同方法：任取一個自然數(shù)，把它與它的倒序數(shù)相加，多次操作，直到獲得“回文數(shù)”為止。如67+76=143，143+341=484。孩子們紛紛嘗試，發(fā)現(xiàn)用這種方法不一定能得到“回文數(shù)”。最后，筆者出示“乘積回文數(shù)”——3×51=153、回文數(shù)的“加減”——454+313=767等。孩子們體驗著數(shù)學的秘妙。

③文化濡染：讓美始終在場

營建數(shù)學“美學場”在某種意義上是經(jīng)由文化濡染來實現(xiàn)的。教學《因數(shù)和倍數(shù)》，筆者創(chuàng)設了這樣的“文化情境”：向孩子介紹自然數(shù)6是一個完全數(shù)（Perfect number），又稱完美數(shù)或完備數(shù)，即它的所有因數(shù)（除了本身）之和等于它本身。接著，筆者讓孩子們找尋第二個完美數(shù)，經(jīng)過嘗試，找出了28。不僅如此，一些具有強烈數(shù)感的孩子們發(fā)現(xiàn)，完美數(shù)可以表示成從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和。接著，筆者給條件讓孩子們猜想第三個完美數(shù)：偶數(shù)、三位數(shù)、接近500。一會兒，他們便找出了496。然后，筆者向孩子們展現(xiàn)數(shù)學家找尋的多個完美數(shù)：8128、33550336……最后，伴隨音樂旋律，筆者介紹在歷經(jīng)千年滄桑的古羅馬建筑中隱藏著的“倍數(shù)和因數(shù)”秘密。在這樣的文化情境中，兒童感受到數(shù)學的應用價值和神奇力量。

兒童熱愛在“數(shù)學園子”里散步，因為“散步是自由自在，無拘無束的行動”。[7]美學散步構筑了兒童的“存在之家”，它讓兒童在數(shù)學中“詩意地棲居”。兒童觸摸、感悟、體驗到數(shù)學豐盈的美學意蘊，由此點化、潤澤、澎湃兒童的數(shù)學精神，激活兒童的數(shù)學潛能、才情和天性，實現(xiàn)數(shù)學教學的美育理想。

參考文獻：

[1]楊琳，張廣君.教學美的生成論意象——生成論教學哲學的觀點[J].當代教育與文化，2013（4）.

[2][3][6]馬克思.1844年經(jīng)濟學哲學手稿[M].北京：人民出版社，1979：26-30.51.53-54.

[4]謝林霞.論姚斯的“期待視野”理論[J].內蒙古農(nóng)業(yè)大學學報（社會科學版），2008（4）.

[5]朱黎生，宋乃慶.格式塔美學對數(shù)學教學的啟示[J].數(shù)學教育學報，2012（6）.

[7]宗白華.美學散步[M].上海：上海人民出版社，1981：1-3.

責任編輯：石萍