廖明建 李映輝

(1．西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 6 10031)(2．中國工程物理研究院總體工程研究所，綿陽 6 21900)

粘彈性夾層圓板自由振動的理論解*

廖明建1，2?李映輝1

(1．西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 6 10031)(2．中國工程物理研究院總體工程研究所，綿陽 6 21900)

研究了粘彈性夾層圓板的自由振動特性．基于經(jīng)典彈性薄板理論和Kelvin－Voigt粘彈性本構(gòu)方程，建立了粘彈性夾層圓板振動控制方程．采用分離變量法導(dǎo)出了粘彈性夾層圓板的自然頻率及振型解析表達式，計算了固支和簡支粘彈性夾層圓板的自然頻率，并與有限元計算結(jié)果進行比較;討論了粘彈性夾層圓板的夾心層比率對自然頻率及衰減系數(shù)的影響．研究表明:(1)隨著夾心層厚度的增大，系統(tǒng)頻率先增大后減小，高階時該趨勢表現(xiàn)更為明顯;(2)隨著夾心層厚度的增大，衰減系數(shù)一直增大，高階時該趨勢表現(xiàn)更為明顯．

粘彈性夾層圓板， 自由振動， Kelvin－Voigt， 分離變量法

引言

粘彈性夾層板結(jié)構(gòu)通常由剛度較大的上下約束層和阻尼較大的粘彈性中間層構(gòu)成．由于其具有質(zhì)量輕、強度高、剛度大，減振效果明顯等諸多優(yōu)點，已廣泛應(yīng)用于航空、航天、船舶等重要工業(yè)中．因此，研究粘彈性夾層板結(jié)構(gòu)的動力特性尤為重要，尤其是研究自由振動特性．但目前對自由振動特性的研究主要集中在梁、矩形板、圓形膜、圓形板和圓柱殼等結(jié)構(gòu)［1－12］．文獻［1］研究了粘彈性地基上彈性梁的自由振動特性;文獻［2］研究了軸向運動梁在縱向與橫向振動耦合下的自由振動特性;文獻［3］和文獻［4］研究了矩形薄板在四邊固支情況時自由振動;文獻［5］研究了四邊簡支條件下正交各向異性蜂窩夾層矩形板的固有特性;文獻［6］研究了粘彈性基礎(chǔ)上矩形薄板振動的基本理論與計算方法;文獻［7］研究了圓形薄膜的固有頻率及其振型的理論求解方法;文獻［8］研究了彈性地基上圓形薄板的有阻尼振動問題，給出了計算固有頻率的計算公式;文獻［9］討論了求解Kelvin模型粘彈性基礎(chǔ)上圓形薄板自由振動固有頻率的方法;文獻［10］研究了兩端簡支功能梯度薄壁圓柱殼的自由振動特性．對于粘彈性夾層圓板結(jié)構(gòu)的自由振動特性研究還很少見到．

本文擬基于經(jīng)典彈性薄板理論和Kelvin－Voigt粘彈性本構(gòu)方程，建立粘彈性夾層圓板的振動控制方程，采用分離變量法導(dǎo)出粘彈性夾層圓板的自然頻率及振型的理論解，計算固支和簡支粘彈性夾層圓板的自然頻率，通過與有限元計算進行比較，說明方法的正確性．在此基礎(chǔ)上，進一步討論夾層圓板厚度對自然頻率及衰減系數(shù)的影響．

1 控制方程

1．1 粘彈性夾層圓板模型

圖1為粘彈性夾層圓板模型，上下兩層為對稱約束層，中間夾心層為Kelvin－Voigt微分本構(gòu)粘彈性材料．約束層彈性模量 Ec，泊松比μc，密度 ρc，厚度 h /2;夾心層彈性模量 Ej，泊松比 μj，密度 ρj，厚度H，粘彈性阻尼系數(shù)η，粘彈性夾層板等效密度ρ=(ρch+ρjH)/(H +h)．

圖1 粘彈性夾層圓板模型Fig．1 Model of viscoelastic circular plate

1．2 粘彈性夾層圓板控制方程

假定夾層圓板處于小撓度狀態(tài)，忽略面內(nèi)力影響．由于圓板的形狀關(guān)系，采用圓柱坐標系來研究問題較直角坐標系更方便．將靜平衡時中面的圓心O作為坐標原點(見圖1)，z為通過圓心O且垂直于中面的方向坐標，r為中面上的點距z軸的距離．在柱坐標系下，粘彈性夾層圓板的平衡方程為

其中，Qr、Qθ、Mr、Mθ、Mrθ分別為徑向剪力、切向剪力，徑向彎矩、切向彎矩和扭矩，w為板中面位移，q為橫向荷載．

板內(nèi)任意一點徑向位移u和切向位移v分別為

夾層板應(yīng)變與撓度w關(guān)系為

約束層應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系為

夾心層應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系為

夾層板的彎矩和扭矩分別為

將(3)代入(4)和(5)，將(4)和(5)代入(6)，再將(6)代入平衡方程(1)，得粘彈性夾層圓板的振動方程為

其中，D1、D2、▽4表達式分別為

2 對粘彈性夾層圓板振動方程的討論

2．1 彈性板

當(dāng)夾心層厚度H=0時，方程(7)退化為

當(dāng)粘彈性阻尼系數(shù)η=0，且夾心層和約束層的彈性模量和泊松比均一致時，方程(7)退化為

式(9)和(10)為經(jīng)典彈性薄圓板的橫向振動方程［13］．

當(dāng)粘彈性阻尼系數(shù)η=0，但夾心層和約束層彈性模量和泊松比不一致時，方程(7)退化為不同材料組成的夾層薄圓板振動方程

2．2 粘彈性板

當(dāng)約束層厚度h=0時，方程(7)退化為粘彈性薄圓板的橫向振動方程:

由上述分析可知，方程(7)是包含了彈性薄圓板(單層或夾層)和粘彈性薄圓板橫向振動的統(tǒng)一方程，具有通用性．

3 粘彈性夾層圓板振動特性

3．1 粘彈性夾層圓板固有振型

若方程(7)中q=0，即得粘彈性夾層圓板自由振動基本方程．采用分離變量求解，令

將式(13)代入方程(7)，可導(dǎo)出變量分離的微分方程

其中，ω為待求的常數(shù)．令

則(14a)可分解為

對方程(16)再次采用分離變量法，令

把式(17)代入方程(16)，得到微分方程

分離變量后得

其中m為待求的常數(shù)．式(19a)為二階常系數(shù)微分方程，其解為

式(19b)為Bessel(貝塞爾)方程，其解為

其中 Jm(αr)、Nm(αr)、Im(αr)、Km(αr)分別為實宗量的第一類及第二類貝塞爾函數(shù)、虛宗量的第一類及第二類貝塞爾函數(shù)．

于是，式(17)的通解為

對于完整的夾層圓板，在圓心(r=0)處W應(yīng)為有限值，但由于 Nm(αr)、Km(αr)在圓心時無窮大，所以必須有Cm=Dm=C'm=D'm=0．若夾層圓板的邊界條件以某軸對稱，則將θ=0坐標軸放在該軸上，必有以 θ=0軸對稱振型，所以可以取sinmθ項系數(shù)A'm=B'm=0．因此粘彈性夾層圓板固有振型表達式為

其中系數(shù)Am和Bm由圓板的邊界條件確定．

3．2 周邊固支粘彈性圓板的自然頻率

周邊固支夾層圓板的邊界條件為

將式(23)代入(24)得

式(25)為關(guān)于 Am、Bm的線性代數(shù)方程組，由于Am、Bm不恒等于零，則系數(shù)行列式為零，得頻率方程為

記頻率方程(26)的第n個正根為αmnR，則固支粘彈性夾層圓板的固有振型為

對每一個αmnR值，均可由式(15)確定 ωmn．每個ωmn對應(yīng)一個Tmn(t)方程，即式(14b)

其中，ζmn的表達式為

當(dāng)小阻尼情況，即＜1時，可得方程(28)解為

式(31a)、(31b)分別是固支粘彈性夾層圓板自由振動頻率和衰減系數(shù)的表達式．

3．3 周邊簡支粘彈性圓板的自然頻率

周邊簡支夾層圓板的邊界為

將式(23)和(6)代入式(32)得

式(33)為關(guān)于Am、Bm的線性代數(shù)方程組，由于Am、Bm不恒等于零，則系數(shù)行列式為零，得頻率方程為

為便于與頻率方程(26)的正根αmnR有所區(qū)分，將頻率方程(35)的第n個正根記為βmnR，則簡支粘彈性夾層圓板的固有振型為

對每一個βmnR值，同理可由式(15)先確定ωmn，再由式(31)求出簡支粘彈性夾層圓板頻率和衰減系數(shù)．

4 算例

4．1 理論解的有效性驗證

本算例中粘彈性夾層圓板的幾何尺寸和材料參數(shù)數(shù)值見表1．

表1 粘彈性夾層圓板的幾何尺寸和材料參數(shù)Table 1 Table 1 Geometry size and material parameters of the viscoelastic sandwich circular plate

表2、表3分別給出了固支和簡支粘彈性夾層圓板各階自然頻率及其對應(yīng)固有振型的理論計算結(jié)果，并與有限元(FEM)結(jié)果進行了比較．表中m為節(jié)徑數(shù)，n為節(jié)圓數(shù)．從表2和表3可見，理論解與有限元結(jié)果比較接近，表明本文計算方法有效．

表2 邊固支粘彈性夾層圓板自然頻率(Hz)Table 2 Natural frequency(Hz)of fixed sandwich circular plate

表3 周邊簡支粘彈性夾層圓板自然頻率Table 3 Natural frequency(Hz)of of simply supported sandwich circular plate

4．2 夾心層比率對頻率的影響

夾心層比率定義為夾心層厚度占夾層板總厚度的比值．圖2、圖3分別給出了半徑1．0 m、總厚度0．012 m固支和簡支粘彈性夾層圓板各階頻率隨夾心層比率的變化．算例中材料參數(shù)見表1．圖中m為節(jié)徑數(shù)，n為節(jié)圓數(shù)．從圖2和圖3可見，固支和簡支粘彈性夾層圓板各階頻率隨夾心層比率的變化趨勢相同，均表現(xiàn)出隨夾心層比率增大，先緩慢增大，到峰值后減小的趨勢;高階時表現(xiàn)更為明顯．

圖2 固支夾層板的夾心層比率對頻率的影響Fig．2 The effect of the core ratio on the frequency of fixed sandwich circular plate

圖3 簡支夾層板的夾心層比率對頻率的影響Fig．3 The effect of the core ratio on the frequency of simply supported sandwich circular plate

4．3 夾心層比率對衰減系數(shù)的影響

圖4、圖 5分別給出了半徑 1．0 m、總厚度0．012 m的粘彈性夾層板衰減系數(shù)隨夾心層比率的變化．算例中材料參數(shù)見表1．圖中m為節(jié)徑數(shù)，n為節(jié)圓數(shù)．從圖4和圖5可見，衰減系數(shù)均表現(xiàn)出隨夾心層比率增大，呈上升趨勢;高階時衰減系數(shù)趨勢表現(xiàn)更為明顯．

圖4 固支夾心層比率對衰減系數(shù)的影響Fig．4 The effect of the core ratio on the damping coefficient of fixed sandwich circular plate

圖5 簡支夾心層比率對衰減系數(shù)的影響Fig．5 The effect of the core ratio on the damping coefficient of simply supported sandwich circular plate

5 結(jié)論

根據(jù)經(jīng)典彈性薄板理論，建立了粘彈性夾層圓板振動控制方程，采用分離變量法求得粘彈性夾層圓板的自然頻率解析表達式，計算了周邊固支和簡支粘彈性夾層圓板的自然頻率，與有限元結(jié)果進行比較，驗證了本文方法的有效性．這一理論結(jié)果對以后研究粘彈性夾層圓板強迫振動的動力響應(yīng)具有重要意義，也可用于驗證其它方法數(shù)值解的正確性．同時，研究了粘彈性夾層圓板自然頻率及衰減系數(shù)隨夾心層比率的關(guān)系．得到如下結(jié)論:夾心層比率增大，結(jié)構(gòu)頻率先緩慢增大，到峰值后減小，高階時表現(xiàn)更為明顯;夾心層比率增大，結(jié)構(gòu)衰減系數(shù)不斷增大，高階時表現(xiàn)更為明顯．

本文推導(dǎo)出求解粘彈性夾層圓板自由振動理論解的方法可以推廣到求解彈性支承邊界、固支與簡支混合邊界等更多情況下的粘彈性夾層圓板自然頻率和振型．這時，只需更換為相應(yīng)的邊界條件．

1 劉學(xué)山，馮紫良，胥兵．粘彈性地基上彈性梁的自由振動分析．上海力學(xué)，1999，20(4):470～475(Liu X S，F(xiàn)eng Z L，Xu B．Free vibration analysis for elastic beam on viscoelastic foundation．Shanghai Journal of Mechanics，1999，20(4):470 ～475(in Chiniese))

2 黃建亮，陳樹輝．縱橫向耦合軸向運動梁的自由振動響應(yīng)研究．動力學(xué)與控制學(xué)報，2010，8(4):316～321(Huang J S，Chen S H．Study on vibration of an axially moving beam with coupled transverse and longitudinal motions．Journal of Dynamics and Control，2010，8(4):316～321(in Chiniese))

3 張強．矩形薄板四邊固支時的自由振動分析．鐵道建筑，2010，8:142 ～ 144(Zhang Q．Free vibration analysis for the fixed supported rectangular plate．Railway Engineering，2010，8:142 ～144(in Chiniese))

4 鐘陽，張永山．四邊固支彈性矩形薄板的自由振動．動力學(xué)與控制學(xué)報，2005，3(2):66～70(Zhong Y，Zhang Y S．Free vibration of rectangular plate with completed clamped supported．Journal of Dynamics and Control，2005，3(2):66 ～70(in Chiniese))

5 王盛春，鄧兆祥，沈衛(wèi)東等．四邊簡支條件下正交各向異性蜂窩夾層板的固有特性分析．振動與沖擊，2012，31(9):73～77(Wang S C，Deng Z X，Shen W D，Wang P，Cao Y Q．Connatural characteristics analysis of rectangular orthotropic honeycomb sandwich pannels with all edges simply supported．Journal of Vibration and Shock，2012，31(9):73～77(in Chiniese))

6 張系斌．粘彈性地基上矩形薄板的振動．工程力學(xué)，2000，(增刊):248～252(Zhang X B．Vibration of the rectangular thin plates on viscoelastic foundation．Engineering Mechanics，2000，(supplement):248 ～252(in Chiniese))

7 林文靜，陳樹輝，李森．圓形薄膜自由振動的理論解．振動與沖擊，2009，28(5):84～86(Lin W J，Chen S H，Li S．Analytical solution of the free vibration of circular membrane．Journal of Vibration and Shock，2009，28(5):84～86(in Chiniese))

8 解英艷，宋力，趙丹耀．圓形薄板的阻尼振動問題．沈陽工業(yè)學(xué)院學(xué)報，1995，14(1):81～86(Xie Y Y，Song L，Zhao D Y．Solutions to the damped vibration of circular thin plate on the elastic base．Journal of Shenyang Institute of Technology，1995，14(1):81～86(in Chiniese))

9 張系斌．粘彈性地基上圓形薄板的振動．工程力學(xué)，2001(增刊):805～808(Zhang X B．Vibration of the circular thin plates on viscoelastic foundation．Engineering Mechanics，2001(supplement):805 ～ 8 08(in Chiniese))

10 杜長城，李映輝．功能梯度薄壁圓柱殼的自由振動．動力學(xué)與控制學(xué)報，2010，8(3):219 ～223(Du C C，Li Y Y．Free vibration of functionally graded cylindrical thin shells．Journal of Dynamics and Control，2010，8(3):219～223(in Chiniese))

11 崔燦，李映輝．變截面鐵木辛柯梁振動特性快速計算方法．動力學(xué)與控制學(xué)報，2012，10(3):258～262(Cui C，Li Y H．A solution for vibration characteristic of Timoshenko beam with variable cross－section．Journal of Dynamics and Control，2012，10(3):258 ～ 2 62(in Chinese))

12 蔣寶坤，李映輝，李亮．旋轉(zhuǎn)粘彈性夾層梁非線性自由振動特性研究．動力學(xué)與控制學(xué)報，2013，11(3):241～245(Jiang B K，Li Y H，Li L．Vibration analysis of rotating viscoelastic sandwich beam．Journal of Dynamics and Control，2013，11(3):241 ～245(in Chinese))

13 徐芝綸．彈性力學(xué)．北京:高等教育出版社，2006(Xu Z L．Elastic mechanics．Beijing:Higher Education Press，2006(in Chinese))

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(11072204)，the Fundamental Research Funds for the Central Universities(SWJTU11ZT15)and the Key Program for Science and Technological Development Funds of China Academy of Engineering Physics(2010A0203007)

? Corresponding author E－mail:zhaoliaofei2005@yahoo．cn

ANALYTICAL SOLUTION OF THE FREE VIBRATION OF VISCOELASTIC SANDWICH CIRCULAR PLATE*

Liao Mingjian1，2?Li Yinghui1
(1．School of Mechanics and Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu610031，China)(2．Institute of Systems Engineering，China Academy of Engineering Physics，Mianyang621900，China)

Free vibration characteristics of viscoelastic sandwich circular plate is presented．Based on the basic assumption of elastic thin plate and Kelvin－Viogt constitutive equation，the vibration control equation of the viscoelastic circular plate is established．The analytical expression of natural frequency and modes of free vibration is derived by employing the method of separated variables．The natural frequency of fixed and simply supported sandwich circular plate are calculated respectively．The results are compared with finite element method．The influence of core ratio on natural frequency and damping coefficient is discussed．Conclusions are as follows:(1)The natural frequency increases at first，then decreases with the increase of core ratio．It is more obvious for high order frequency．(2)The damping coefficient always increases with the increase of core ratio．

viscoelastic sandwich circular plate， free vibration， Kelvin－Voigt， method of separated variables

31 July 2012，

29 August 2012．

10．6052/1672－6553－2013－040

2012－07－31 收到第 1 稿，2012－08－29 收到修改稿．

*國家自然科學(xué)基金(11072204)、中央高校業(yè)務(wù)費專項(SWJTU11ZT15)、中國工程物理研究院科學(xué)技術(shù)發(fā)展基金重點資助項目(2010A0203007)

E－mail:zhaoliaofei2005@yahoo．cn