李巖 袁惠群，2? 梁明軒 賀威

(1．東北大學機械工程與自動化學院，沈陽 1 10004)(2．東北大學理學院，沈陽 1 10004)(3．沈陽農(nóng)業(yè)大學高等職業(yè)技術(shù)學院，沈陽 1 10122)

三維實體轉(zhuǎn)子系統(tǒng)熱－結(jié)構(gòu)耦合響應分析*

李巖1袁惠群1，2?梁明軒1賀威3

(1．東北大學機械工程與自動化學院，沈陽 1 10004)(2．東北大學理學院，沈陽 1 10004)(3．沈陽農(nóng)業(yè)大學高等職業(yè)技術(shù)學院，沈陽 1 10122)

以某型航空發(fā)動機高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，基于不均勻分布穩(wěn)態(tài)溫度場，建立了某高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)三維實體單元有限元模型以及穩(wěn)態(tài)溫度場下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)熱－結(jié)構(gòu)耦合振動方程，利用熱－結(jié)構(gòu)－動力學耦合理論，采用間接耦合法，通過穩(wěn)態(tài)溫度場分析和靜力分析生成熱應力，然后進行預應力模態(tài)分析，最后利用模態(tài)疊加法進行不平衡量和熱彎曲耦合響應分析，實現(xiàn)熱－結(jié)構(gòu)－動力學耦合計算．通過穩(wěn)態(tài)溫度場對典型級盤穩(wěn)態(tài)響應影響的分析以及不平衡量與熱彎曲耦合穩(wěn)態(tài)響應分析，發(fā)現(xiàn)耦合響應對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各級盤的振動響應有較大影響．

三維轉(zhuǎn)子系統(tǒng)， 有限元法， 固有頻率， 穩(wěn)態(tài)溫度場， 熱彎曲耦合響應

引言

航空發(fā)動機在啟動、停車以及高速運轉(zhuǎn)的過程中溫度的變化非常明顯．由于溫度分布不均衡產(chǎn)生的熱應力，導致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生一定變形，使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度矩陣重新分布．轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的材料物性參數(shù)也會隨著溫度而變化，對轉(zhuǎn)子的振動特性也必將產(chǎn)生一定的影響［1］．目前，對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)熱振動的研究主要集中在均勻溫度場引起的熱膨脹［2］．晏水平等［3］人探討了彈性模量隨溫度的變化對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性的影響，采用軸系的溫度分布為常量的基本假設，忽略溫度對振動的影響．賀威等［4］人利用傳遞矩陣法，研究了某型航空發(fā)動機多盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)熱彎曲穩(wěn)態(tài)及瞬態(tài)響應，轉(zhuǎn)子熱彎曲量的確定并沒有考慮轉(zhuǎn)子溫度場情況．目前，國內(nèi)外對以真實溫度場為基礎，利用熱－結(jié)構(gòu)－動力學耦合理論分析三維實體轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性的研究還很少．朱向哲等人［5］雖然對穩(wěn)態(tài)溫度場對某汽輪機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率的影響進行了探討，但是其所建立的模型仍然是傳統(tǒng)的盤軸系統(tǒng)或者關(guān)于梁的熱振動問題，與實際結(jié)構(gòu)有很大差別．因此，有必要對由航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的實際結(jié)構(gòu)而建立的三維實體模型的熱振動特性進行深入的研究，分析穩(wěn)態(tài)溫度場對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性的影響以及不平衡量和熱彎耦合響應，以便找出影響其熱振動特性的敏感因素．

1 三維實體轉(zhuǎn)子系統(tǒng)熱－結(jié)構(gòu)耦合模型

航空發(fā)動機等實體結(jié)構(gòu)由于形體及溫度場較復雜，難以簡化為平面問題或軸對稱問題，必須按空間問題求解．為了保證必要的計算精度，必須采用密集的計算網(wǎng)格，這樣一來，節(jié)點數(shù)量將很多，方程組十分龐大．如果采用高次位移模式，單元中的應力是變化的，就可以用較少的單元、較少的自由度而得到要求的計算精度，因此，采用20結(jié)點等參數(shù)單元．

1．1 三維轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元動力學模型

1)位移模式．20節(jié)點等參數(shù)單元，每個節(jié)點有三個位移分量

式中，N為20節(jié)點等參元的形函數(shù)表達式為:

其中:ξi、ηi、ζi分別為節(jié)點的局部坐標．

總體坐標與局部坐標的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即Jacbi為:

逆變換的Jacbi為

其中:ξ;x…ζ;z為|J|的代數(shù)余子式除以|J|

每個單元共有60個節(jié)點位移分量，表示為向量

2)單元應變．在空間應力問題中，每個點具有6個應變分量

3)單元應力．單元應力可用節(jié)點位移表示為

其中，應力矩陣S=DB，彈性矩陣D為

其中:E為彈性模量;μ為泊松比．

4)單元剛度矩陣．由虛位移原理，可得到單元剛度矩陣:

5)三維轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元單元體動力學方程．為了滿足后續(xù)的響應與故障分析的研究需要，本文采用三維實體有限元分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性．

在離心力場中運動物體受慣性力、阻尼力作用，可以導出轉(zhuǎn)子有限單元體運動微分方程為:

其中:{F(t)}e為單元的激振力;［M］e為單元的質(zhì)量矩陣;［MG］e為單元哥氏力矩陣;［N］為單元形狀函數(shù)矩陣;{δ}e為單元節(jié)點位移向量，［K0］e為單元線剛度矩陣;［C］e為阻尼矩陣;［H］為轉(zhuǎn)軸方向的單位矢量構(gòu)成的矩陣;

式(14)是適用于轉(zhuǎn)子靜力和動力分析的有限元方程．

1．2 三維實體轉(zhuǎn)子系統(tǒng)熱-結(jié)構(gòu)耦合模型振動方程

對于穩(wěn)態(tài)加熱或冷卻的情況，在轉(zhuǎn)子表面的軸向和切向熱應力，主要是由于節(jié)點溫度的不均勻變化，轉(zhuǎn)子的不均勻膨脹受到約束限制而產(chǎn)生的熱應力．單元熱應力基本方程:

式中:E(t)為隨溫度變化的彈性模量，α為熱膨脹系數(shù)為不同工況轉(zhuǎn)，T0為初始環(huán)境溫度子溫度，其它符號同前．

根據(jù)D＇Alembert原理，溫度應力作用的轉(zhuǎn)子振動方程為:

式中，［M］、［MG］、［C］、［K0］分別是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、哥氏力矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;{U}、}、}分別是節(jié)點位移向量、速度向量和加速度向量;{P(t)}為不平衡荷載向量．

對于轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)來說，任意點在工作過程中產(chǎn)生的位移向量{U}可以看成兩部分組成:

式中:{δ}表示從原始形狀變形到離心力場平衡位置的位移，{δT}表示溫度應力引起的變形．靜力分析時則有

由于溫度載荷的存在，轉(zhuǎn)子受力產(chǎn)生變形，因此，導致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度矩陣發(fā)生變化，式(16)變?yōu)?/p>

本文利用Ansys軟件，采用間接耦合法，先進行穩(wěn)態(tài)溫度場分析，再進行靜力分析生成熱應力，然后通過設置預應力選項生成總剛度矩陣K'，進行模態(tài)分析，最后利用模態(tài)疊加法進行不平衡量和熱彎曲耦合響應分析，實現(xiàn)熱-結(jié)構(gòu)-動力學耦合計算．

2 三維實體轉(zhuǎn)子系統(tǒng)熱振動特性分析算例

圖1為某航空發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的高壓轉(zhuǎn)子，長度為1．05m．通過對實際高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的簡化處理，考慮到高壓轉(zhuǎn)子的溫度場較復雜，并非軸對稱，建立如圖所示的三維實體有限元模型，高壓轉(zhuǎn)子的兩端簡化為彈性支承．

圖1 高壓轉(zhuǎn)子有限元模型Fig．1 High － pressure rotor FEM model

2．1 穩(wěn)態(tài)溫度場對固有頻率的影響

2．1．1 彈性模量隨溫度變化時對固有頻率的影響表1為高壓轉(zhuǎn)子不同停車時刻，轉(zhuǎn)子的上下溫差變化，彈性模量隨溫度變化時轉(zhuǎn)子前5階固有頻率．可見，隨著上下溫差的增加、溫度升高，轉(zhuǎn)子的彈性模量降低，即轉(zhuǎn)子的剛度降低，各階固有頻率也隨之降低．通過圖2可以看得到，隨著徑向溫差的增大前兩階固有頻率變化幅度相對后三階變化幅度較小，而且隨著上下溫差的增大，變化幅度趨于穩(wěn)定．較高階的固有頻率變化幅度較大，而且其變化幅度有繼續(xù)增大的趨勢，第三階固有頻率的變化幅度最大．

圖2 彈性模量變化對固有頻率的影響的比較Fig．2 Comparative diagram of the impact on the natural frequency with the change of elasticity module

表1 表1彈性模量變化對固有頻率的影響Table 1 Effect of elasticity module on the natural frequency

2．1．2 彈性模量和熱應力耦合對固有頻率的影響

表2為高壓轉(zhuǎn)子不同停車時刻，隨轉(zhuǎn)子上下溫差變化、彈性模量、熱應力耦合變化時(簡稱耦合變化)的前5階固有頻率．可見，由于不均勻膨脹產(chǎn)生的熱應力導致了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度變化從而改變轉(zhuǎn)子的固有頻率，隨著上下溫差的增加各階固有頻率均降低．通過圖3可以看到，隨著上下溫差的增大前兩階固有頻率變化幅度相對較小，高階固有頻率的變化幅度較大，隨著上下溫差的增大變化幅度趨于穩(wěn)定，第四階固有頻率的變化幅度最大，減小了接近20%．顯然，彈性模量與熱應力耦合變化對固有頻率的影響要遠大于單純考慮彈性模量變化對固有頻率的影響．

圖3 耦合變化對固有頻率的影響Fig．3 Effect of coupling variety on the natural frequency

表2 耦合變化對固有頻率的影響Table 2 Effect of coupling variety on the natural frequency

2．2 不平衡量和熱彎曲耦合響應

2．2．1 熱彎曲響應

圖4～6為考慮轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速800rad/s，下邊緣溫度為200℃，上下溫差分別為10℃、20℃、30℃時，二級盤、九級盤、高壓渦輪二級盤考慮彈性模量隨溫度變化時的熱彎曲響應．由圖可見，由于溫度的增加，彈性模量降低，轉(zhuǎn)子變形增大，各階固有頻率對應的響應幅值均增加．由于各階固有頻率減小，導致共振區(qū)都相對前移;前三階模態(tài)對熱彎曲響應貢獻相對較大，尤其是九級盤的第三階固有頻率對應的響應幅值增加幅度較大，同樣驗證了前面的結(jié)論，即第三階固有頻率對彈性模量的變化較為敏感．

圖4 徑向溫差為10℃，轉(zhuǎn)子熱彎響應Fig．4 Thermal bending response of rotor when the radial temperature difference is 10℃

圖5 徑向溫差為20℃，轉(zhuǎn)子熱彎響應Fig．5 Thermal bending response of rotor when the radial temperature difference is 20℃

圖6 徑向溫差為30℃，轉(zhuǎn)子熱彎響應Fig．6 Thermal bending response of rotor when the radial temperature difference is 30℃

圖7 徑向溫差為10℃時，不平衡量與熱彎耦合響應Fig．7 Coupling response of unbalance and thermal bending when the radial temperature difference is 10℃

2．2．2 不平衡量和熱彎曲耦合響應

圖7～9為考慮轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速800rad/s，下邊緣溫度為200℃，九級盤存在不平衡量時，徑向溫差分別為10℃、20℃、30℃時，二級盤、九級盤、高壓渦輪二級盤不平衡量和熱彎曲耦合的穩(wěn)態(tài)不平衡響應的幅值譜圖．由圖可見，各級盤的三、四、五階固有頻率對耦合響應比較敏感．九級盤對三、四階固有頻率最為敏感，其響應幅值遠大于不平衡響應和熱彎曲響應，它們對耦合響應的貢獻要大于一、二階模態(tài)的貢獻．渦輪盤二級耦合響應對各階模態(tài)均較敏感，與不平衡響應和熱彎曲響應相比三、四階模態(tài)對耦合響應的貢獻增大．

圖8 徑向溫差為20℃時，轉(zhuǎn)子不平衡量與熱彎耦合響應Fig．8 Coupling response of unbalance and thermal bending when the radial temperature difference is 20℃

圖9 徑向溫差為30℃時，轉(zhuǎn)子不平衡量與熱彎耦合響應Fig．9 Coupling response of unbalance and thermal bending when the radial temperature difference is 30℃

3 結(jié)論

研究了某型航空發(fā)動機高壓轉(zhuǎn)子多種工況下的線性溫度分布對高壓轉(zhuǎn)子固有頻率和不平衡響應的影響，得出了一些具有理論和工程實踐指導意義的結(jié)論．

1)通過彈性模量變化對固有頻率的影響與彈性模量與熱應力耦合變化對固有頻率的影響的對比，表明彈性模量與熱應力耦合變化對固有頻率的影響要遠大于單純考慮彈性模量變化對固有頻率的影響．可見，在對航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動研究中，必須考慮彈性模量與熱應力耦合變化對固有頻率的影響．

2)通過不平衡量與熱彎曲耦合穩(wěn)態(tài)響應分析發(fā)現(xiàn)，耦合響應對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動響應有較大影響，且對高階模態(tài)響應較敏感，應盡量避免停車后短時間內(nèi)迅速啟動發(fā)動機．

1 鄭東亞，丁水汀，杜發(fā)榮等．微小型渦噴轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)熱工作穩(wěn)定性分析及試驗驗證．航空動力學報，2010，(6):1340～1345(Zheng D Y，Ding S T，Du F R．Analysis and experimental verification of structure－thermal running stability for micro turbojet engine rotor．Journal of Aerospace Power，2010，(6):1340 ～1345(in Chinese))

2 姚學詩，周傳榮．轉(zhuǎn)子的熱膨脹與橫向振動．應用力學學報，2003，20(3):118 ～12(Yao X S，Zhou C R．Thermal expansion and transverse vibration of rotor．Chinese Journal of Applied Mechanics，2003，20(3):118 ～ 12(in Chinese))

3 晏水平，黃樹紅．汽輪發(fā)電機組轉(zhuǎn)子溫度分布對其扭轉(zhuǎn)振動的影響．中國電機工程學報，2000，20(11):10～13(Yan S P，and Huang S H．Impact of temperature distribution on the torsional vibration of trubogenerator rotors．Proceedings of the CSEE，2000，20(11):10 ～ 13(in Chinese))

4 賀威，袁惠群．多盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)熱啟動過程中瞬態(tài)響應分析．機械制造，2011，49(3):17～19(He W，Yuan H Q．Analysis of transient response in process of thermal start of multi－disc rotor system ．Machinery，2011，49(3):17 ～19(in Chinese))

5 朱向哲，袁惠群，張連祥．汽輪機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)熱振動特性的研究．動力工程，2008，28(3):377 ～380(Zhu X Z，Yuan H Q，Zhang L X．Study on characteristics of steady thermal vibration of stream turbine’s rotor system．Power Engineering，2008，28(3):377 ～380(in Chinese))

6 朱向哲，袁惠群，賀威．穩(wěn)態(tài)熱度場對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的影響．振動與沖擊，2007，26(12):113～116(Zhu X Z，Yuan H Q，He W．Effect of steady－state thermal field on critical speed of rotor system．Journal of Vibration and Shock，2007，26(12):113～116(in Chinese))

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8 鐘一諤，何衍宗，王正等．轉(zhuǎn)子動力學．北京:清華大學出版社，1988(Zhong Y E，He Y Z，Wang Z．Rotor dynam－ic．Beijing:Tsinghua University Press．1988(in Chinese))

9 王士敏．轉(zhuǎn)子通過臨界轉(zhuǎn)速時碰摩熱效應對振動特性的影響．動力學與控制學報，2004，2(3):64～69(Wang S M．The effect of rub－impact thermal effects on vibration characteristics of a rotor passing through critical speed．Journal of Dynamics and Control，2004，2(3):64 ～ 6 9(in Chinese ))

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(51275081)and Shenyang Science and Technology Plan Projects(F10－205－1－35)

? Corresponding author E－mail:yuan_hq@163．com

ANALYSIS OF THERMAL-STRUCTURAL COUPLING RESPONSE OF 3D SOLID ROTOR SYSTEM*

Li Yan1Yuan Huiqun2?Liang Mingxuan1He Wei3
(1．College of Mechanical Engineering and Automation，Northeastern University，Shenyang110004，China)(2．College of Science，Northeastern University，Shenyang110004，China)(3．College of Higher Vocational Technical，Shenyang Agricultural University，Shenyang110122，China)

With the high－pressure rotor system of an aero－engine as the object of study，in the context of uneven radial distribution of steady－state temperature field，the paper established a FEM model of 3D solid elements of a high－pressure rotor system and vibration equation of thermal－structural coupling model of 3D solid rotor system in the steady－state temperature field．An analysis of the steady－state temperature field was carried out by indirect coupling method using thermal－structural－dynamic coupling theory．Then，A static analysis to generate thermal stress，and global stiffness matrix were performed by setting prestress option to make a modal analysis，F(xiàn)inally，the coupling response of unbalance and thermal bending by modal superposition method were implemented to realize thermal－structural－dynamic coupling computation．Based on the analysis of the effect of steady－state temperature field on steady－state response of typical stage discs and analysis of steady－state response of coupling of unbalance and thermal bending，it can be concluede that the coupling response has a big effect on vibration response of different－stage discs of the rotor system．

three－dimensional solid rotor system， finite element method， natural frequency， steady thermal field， thermal－structural coupling response

26 April 2013，

19 June 2013．

10．6052/1672－6553－2013－091

2013－04－26 收到第 1 稿，2013－06－19 收到修改稿．

*國家自然科學基金(51275081)資助項目，沈陽市科技計劃項目(F10－205－1－35)

E－mail:yuan_hq@163．com