任 帥 曹金鳳 黃 偉

(青島理工大學理學院，山東 青島 266520)

0 引言

混合邊界薄板在工程中被廣泛應用，例如在建筑工程、船舶工程、微電子等領(lǐng)域中大量應用的邊緣點焊鋼板就是一種典型的混合邊界薄板。由于薄板本身剛度相對較小，在激勵荷載作用下容易產(chǎn)生振動，導致結(jié)構(gòu)失效或者產(chǎn)生其他不利因素，混合邊界條件給相關(guān)研究增加了難度，很多問題無法得到解析解。對此，國外學者開展了許多研究工作。T.Ota 和Hamada[1]使用級數(shù)法研究了簡支固支結(jié)合薄板的固有頻率；Helmut.F等[2]研究了不同混合邊界條件下圓形薄板固有頻率的變化情況和低階模態(tài)的偏移情況；S.C. Fan和Y.K. Cheung[3]用有限條方法研究了混合邊界薄板振動。國內(nèi)對于混合邊界薄板的研究集中于靜力學問題[4-6]，在動力學方面，李廣基和何志平[7]使用加權(quán)殘值法解答了部分混合薄板的固有頻率。而關(guān)于混合邊界條件分布對于矩形薄板固有頻率的影響的研究較少。

本文使用有限元軟件Abaqus，對于不同邊界分布和邊界比例組成的簡支固支混合邊界條件的薄板的固有振動進行分析。為通過邊界分布改變薄板的固有頻率提供了參考。

1 基本方程

薄板的基本振動方程為：

(1)

其中：

其中，w為薄板上的點在t時刻的縱向位移；ρ為薄板的密度；h為薄板的厚度；p為薄板上點受到的激勵力;E為彈性模量;μ為泊松比。當p(x,y,t)=0，薄板上激勵力為0，這時薄板的振動是自由振動。于是薄板自由振動方程為：

(2)

簡支邊界條件如下：

(3)

固支邊界條件為：

(4)

對于一般簡單邊界條件的薄板，常常使用分離變量法將薄板的位移方程分解成振型函數(shù)和時間函數(shù)的乘積方式：w(x,y,t)=W(x,y)T(t)。將滿足邊界條件的振型函數(shù)和時間函數(shù)代入式(2)可得到薄板的自由振動的基本振型和與其相對應的固有頻率，而對于一些復雜的混合邊界條件，函數(shù)W(x,y)難以求得，本文使用有限元軟件Abaqus求解。

2 兩種混合邊界條件下的模態(tài)分析

圖1和圖2分別給出了薄板的兩種邊界條件：簡支與固支，A表示A型薄板邊上固支長度，B表示B型薄板上固支約束的長度，A,B兩種類型薄板四邊上約束一致。使用大型非線性有限元分析軟件Abaqus建立模型，薄板尺寸為800 mm×800 mm×1 mm，選擇單元類型為S4R，單元總數(shù)6 400，節(jié)點數(shù)6 561。薄板的材料屬性為彈性模量210 000 MPa，泊松比為0.27，密度為7 780 kg/m3。模擬固支長度A分別為0 mm(四邊簡支)，50 mm，100 mm，150 mm，200 mm，250 mm，300 mm，350 mm，400 mm(四邊固支)；B型薄板固支長度B為0 mm(四邊簡支)，100 mm，200 mm，300 mm，400 mm，500 mm，600 mm，700 mm，800 mm(四邊固支)條件下薄板固有振動。其固有頻率如表1，表2所示。

表1 A型薄板固有頻率表

Hz

表2 B型薄板固有頻率表 Hz

由表1，表2可以看出：隨著固支長度的增加，薄板的各階固有頻率都在增加，B型薄板隨著B的增加，各階固有頻率迅速增加，接近于四邊固支約束；A型薄板各階固有頻率隨著A增加較為平緩接近于線性增加。兩種邊界條件的薄板在固支長度相同時，B型較A型薄板的固有頻率在每一階上都偏大，這種情況在固支邊界長度較小時更為明顯，例如在A=100 mm，B=50 mm時固支長度總量在兩種薄板上長度一致,而A板的基頻是B板基頻的1.483倍，但高階頻率相差較小；第8階時，A板固有頻率是B板固有頻率1.017倍，這種現(xiàn)象隨著固支約束提高而下降。對于一條邊固支長度為700 mm時(A=700 mm，B=350 mm)，B板基頻是A板基頻的1.0312倍；第8階時，B板固有頻率是A板的1.008倍?？梢哉J為：隨著固支長度增加，約束分布對于薄板的固有頻率影響變小。

3 幾種混合邊界條件薄板固有頻率分析

以B型邊界條件薄板為基礎(chǔ)，研究了部分約束失效或改變時薄板的固有頻率變化。如圖3～圖6所示，C型薄板固支約束分布在三邊上；D型薄板的固支約束分布在兩個對邊上；E型薄板固支約束分布在兩個鄰邊上；F型薄板只在一邊上布置固支約束。四類薄板的固支約束都分布于邊的中間，除固支約束以外其余邊的邊界條件都是簡支約束。C，D，E，F(xiàn)分別為C型D型E型F型邊上固支約束的長度。薄板尺寸與材料屬性與第2章一致。使用Abaqus軟件分析四種薄板固有頻率，結(jié)果見表3～表6。

表3 C型薄板固有頻率表

C/mm第1階第2階第3階第4階第5階第6階第7階第8階07．754519．39519．39531．0338．82738．82750．45350．45310010．6321．45323．24631．59840．26845．23751．79351．89820011．45722．624．94433．20341．46147．46652．56653．13530011．99623．63626．35435．47943．17248．97653．94955．29840012．30424．35627．29637．64344．70150．11956．35958．52350012．44624．72927．7638．98845．47250．92158．53161．30560012．49524．86527．91739．5145．73151．24959．51662．49670012．50524．89427．94739．61845．78451．31359．73162．73480012．50624．89627．94939．62445．78751．31759．74462．747

表4 D型薄板固有頻率表

表5 E型薄板固有頻率表

表6 F型薄板固有頻率表

由表3～表6可見，幾種薄板的各階固有頻率隨著固支長度增加而迅速增加，其趨勢與B型薄板相近，迅速接近于全邊固支?；l呈現(xiàn)出fB>fC>fD>fE>fF。值得注意的是：D,E在其邊上的固支邊界長度相同時，其總的固支邊界長度是一致的，而D型邊界薄板的基頻大于E型，第二階fF>fE，第三階時fE>fF，其固有頻率大小關(guān)系交替變化。

在固支長度一定時，薄板前幾階固有頻率存在fB>fC>fD(fE)>fF>fA,而高階頻率差值較不明顯，除了B稍大于其他類型的薄板外，其他類型薄板固有頻率均相近，可以認為邊界條件分布對于高階固有頻率影響較小。

4 結(jié)語

1)對于混合邊界條件矩形薄板，其固有頻率可以通過調(diào)整邊界約束條件比例來改變。對于簡支/固支混合邊界條件的薄板，固支邊界占總的邊界長度的比例越大其固有頻率越高，反之固有頻率越低。

2)簡支/固支混合邊界條件薄板中，將固支邊界分布于板邊的中間要比固支邊界分布于板的角位置增加固有頻率的效率會更好，尤其在增加基頻上效果最好，但對于高階振動這種現(xiàn)象并不明顯，即對于高階振動，邊界條件的布置方式對其影響較小。通過調(diào)節(jié)邊界分布方式來調(diào)解薄板的基頻效果較好，對于調(diào)節(jié)高階固有頻率的效果較差。

3)對于簡支/固支混合邊界條件薄板，固支邊界在總的邊界長度中所占比例越大，分布方式對于薄板固有頻率的影響越小。

[1] T. OTA,M.HAMADA. Fundamental frequencies of simply supported but partially clamped squareplates[J].Bulletin of Japan Society of Mechanical Engineering，1963(6)：397-403.

[2] Bauer, Helmut,F. Werner Eidel.Approximate natural frequencies of circular plates with mixed boundary conditions [D].Universitaet der bundeswehr muenchenneubiberg,2004.

[3] S. C. FAN,Y. K. CHEUNG. Flexuralfree vibrations of rectangular plates with complex supported conditions[J].Journal of Sound and Vibration,1984(93)：81-94.

[4] 陳立志,付寶連.簡支與固定混合邊界條件矩形薄板的彎曲[J].東北重型機械學院學報,1993(1):67-80.

[5] 史寶軍,鹿曉陽,許煥然.一個簡明有效的四邊形雜交/混合薄板彎曲單元[J].工程力學,2000(2):102-110.

[6] 李建華,曲慶璋.兩對邊自由另兩邊自由與固定混合支承矩形板的彎曲[J].強度與環(huán)境,2001(1):32-37.

[7] 梁廣基,賀志平.混合邊界矩形薄板的自由振動[J].力學與實踐,1991(5):17-20.