楊曉東 邊青峰

(1．北京工業(yè)大學機電學院，北京 1 00124)(2．沈陽航空航天大學航空航天工程學部，沈陽 1 10136)

基于復模態(tài)方法的二維夾層壁板顫振分析*

楊曉東1，2?邊青峰2

(1．北京工業(yè)大學機電學院，北京 1 00124)(2．沈陽航空航天大學航空航天工程學部，沈陽 1 10136)

本文研究二維夾層壁板在一側受超音速氣動力的情況下的顫振現(xiàn)象．利用復模態(tài)方法和伽遼金方法分析顫振臨界馬赫數(shù)以及夾芯粘性阻尼對顫振的影響．結果發(fā)現(xiàn)考慮前四階模態(tài)時，由于一二階頻率重合而使振動能量積聚發(fā)生顫振．考慮中間層的粘彈性時，發(fā)現(xiàn)隨著粘性阻尼的增加，顫振臨界馬赫數(shù)和臨界顫振頻率均呈現(xiàn)先降低后升高的現(xiàn)象，其原因是粘彈性一方面降低系統(tǒng)固有頻率使得臨界馬赫數(shù)降低，另一方面又使能量耗散使得臨界馬赫數(shù)升高，在這兩種作用的影響下出現(xiàn)了上述復雜的現(xiàn)象．本文的研究結果有利于顫振抑制時的設計優(yōu)化．

夾層壁板， 顫振， 粘性阻尼， 復模態(tài)方法

引言

飛行器顫振是彈性結構在高速氣流中由于受到氣動力，彈性力和慣性力的耦合作用而發(fā)生的振幅不衰減的自激振動［1］，它是氣動彈性力學中最重要的問題之一，顫振的發(fā)生往往導致災難性的結構破壞．目前對振動問題的分析一般有伽遼金法和復模態(tài)法，文獻［2］和［3］均用這兩種方法研究了輸流管道的固有頻率，并對比了它們的特點．復合材料粘彈性夾層板由于它質量輕，剛度大，并具有很好的減振降噪性能，因而在實際工程中得到廣泛應用．1969年，Mead和Markus根據(jù)約束阻尼結構的橫向位移推導出其六階微分方程［4］．1984年，Miles首次將約束阻尼技術應用到波音747飛機艙室的減振降噪．鄧春年等基于虛功原理，提出了一種新的建立約束阻尼板結構動力學的有限元模型［5］．文獻［6］對約束阻尼懸臂梁的瞬態(tài)響應進行了實驗驗證．文獻［7］研究了夾層結構的頻率與損耗因子的計算方法．文獻［8－10］研究了阻尼對系統(tǒng)振動的影響．在夾層壁板的應用中，一側受到氣動力，文獻［11－12］在此基礎上進行了壁板的顫振分析．文獻［13］還考慮了熱效應對顫振的影響．

上述文獻分別從解析解、數(shù)值解、實驗解等各方面研究了阻尼夾層板的顫振問題．但對于夾層板粘彈性夾芯對顫振的影響還缺乏系統(tǒng)的分析．本文利用復模態(tài)方法研究帶有粘彈性材料夾芯的夾層壁板顫振問題．首先用伽遼金和復模態(tài)兩種方法研究了系統(tǒng)的顫振并對比了兩種方法，然后分析了粘彈性系數(shù)對系統(tǒng)振動能量及固有頻率以及臨界馬赫數(shù)的影響，發(fā)現(xiàn)夾芯材料的粘彈性系數(shù)對顫振的抑制作用存在雙重性，最后討論粘彈性夾芯對顫振的影響及物理成因．

1 運動微分方程

根據(jù)von Karman理論，建立夾層壁板物理模型如圖1所示，幾何參數(shù)及受力如圖2．

對于面板及夾芯板有如下基本假設:

1)夾層壁板服從小變形假設，且各層具有相

圖1 壁板示意圖Fig．1 Sketch map for wall panel

圖2 約束層阻尼板幾何變形及微元受力示意圖

Fig．2 Deformation and forces of finite element of the CLD panel

同的撓度;

2)各層之間沒有滑移，層間位移連續(xù);

3)不考慮基層和約束層的剪切變形;

4)對于粘彈性阻尼夾芯層，只考慮其橫向剪切變形;

5)由于夾層板在振動過程縱向位移的振幅比橫撓度的振幅小得多，忽略縱向位移所產(chǎn)生的慣性力．同時忽略轉動慣量的影響．

夾層板上下兩層為彈性板，中間為粘彈性阻尼板，上下兩層考慮彎矩，中間不考慮彎矩只考慮剪力．上中下板厚分別為 h1，h2，h3，密度為 ρ1，ρ2，ρ3，板長為L，設壁板的縱向形變?yōu)閣，上下面板橫向位移為u1，u3，中間面板橫向形變?yōu)閡，中間層剪切形變?yōu)棣茫鶕?jù)Mead和Markus推導的六階動力方程［4］，

考慮氣流為超音速音速，由1．6～5馬赫適用的一階超音速活塞理論

2 顫振分析

2．1 伽遼金方法

一般對于連續(xù)體的振動問題，伽遼金方法是有效的解決思路．我們首先用此種方法，設(4)式的解為

其中空間函數(shù)及時間函數(shù)分別為

則(4)式可化為

(7)式兩端前乘以Φ，并在［0，L］上積分，得到

上式兩端同時左乘，并把結果轉為一階常微方程組得到

由式(11)的特征根就可以得到離散化后的系統(tǒng)的前N階固有頻率．

2．2 復模態(tài)方法

復模態(tài)方法是求解特征值問題的另一有效數(shù)值方法．這種方法不受Galerkin方法截斷階數(shù)對精度的限制，但求解過程則較為繁瑣．令(4)式的形式解為

將形式解(13)帶入方程(4)，得特征方程為

利用在x=0和x=L處的邊界條件，

特征值可由下式?jīng)Q定

利用數(shù)值搜索的方法尋求λ=λ1+iλ2值使得(15)式的解滿足(17)式，即可算得特征值．

2．3 數(shù)值計算

以南洋阻尼材料廠生產(chǎn)的NYJ—IA－5—73阻尼材料為夾芯層，基層和約束層均為鋁合金，具體物理參數(shù)由表1給出．為研究粘彈性材料影響，設夾芯層粘彈性系數(shù)可變．利用伽遼金法和復模態(tài)法分別求解系統(tǒng)前四階模態(tài)并將結果重疊，可以得到系統(tǒng)前四階模態(tài)的能量及頻率隨著馬赫數(shù)的變化如圖3所示．

表1 板參數(shù)表Table 1 parameters table of the panel

圖3 特征值隨馬赫數(shù)變化圖Fig．3 Relationship of eigenvalues vs Mach number

圖3分別給出了特征頻率虛部和實部隨馬赫數(shù)的變化曲線，虛部則表示固有頻率的變化，而實部表征了能量的變化．隨著馬赫數(shù)的增加，系統(tǒng)的一二階頻率在Ma=2．705時重合，而此時表征能量變化的實部開始大于0，因此系統(tǒng)產(chǎn)生顫振．圖中，點線表示伽遼金方法結果，空心圓則表示復模態(tài)法結果，兩種方法的結果可以相互驗證．

3 粘彈性對顫振的影響

考慮壁板中間層為粘彈性材料，對粘彈性阻尼層本構關系取Kelvin模型，則其無量綱剪切模量g表述為如下算子

其中g'為實數(shù)，η為粘性系數(shù)．把(13)(14)及(18)代入(4)式可得粘彈性阻尼結構的特征方程為

圖4 特征值隨粘性阻尼的變化(Ma=2．1)Fig．4 Eigenvalues vs．viscous damping(Ma=2．1)

由于λ實部代表系統(tǒng)能量變化，虛部代表頻率，利用數(shù)值方法考察粘彈性系數(shù)對這兩部分的影響，考察顫振發(fā)生前馬赫數(shù)Ma=2．1時λ虛部實部隨馬赫數(shù)的變化圖，如圖4所示．在圖4～6中離散圓形符號表示計算結果，插值所得連線提示變化的趨勢．

由圖4中虛部隨粘性阻尼的變化，可知隨粘性阻尼的增加，固有頻率主要呈現(xiàn)先下降后上升的趨勢．固有頻率降低使得臨界馬赫數(shù)降低，使系統(tǒng)易于發(fā)生顫振，因此當阻尼較小時使固有頻率降低的影響將使顫振易于發(fā)生．由圖4的實部則可以看出，振動系統(tǒng)的能量積聚隨著粘彈性系數(shù)的增加呈現(xiàn)先上升后下降趨勢，這種當小阻尼時能量積聚的升高也使得系統(tǒng)易于發(fā)生顫振．綜上所述，粘性阻尼對固有頻率和能量的雙重影響就有可能導致粘性阻尼層的介入對顫振的抑制作用或好或壞．

由于圖4中的虛部與實部隨粘性阻尼變化的極值并不為同一阻尼值，因此我們需要分析粘性阻尼對顫振臨界馬赫數(shù)的影響，從而討論粘性阻尼層對顫振抑制的最終效果．

圖5給出了臨界馬赫數(shù)隨粘性阻尼的變化情況，很明顯當阻尼較小時，臨界馬赫數(shù)隨阻尼增加反而降低．當阻尼較大時，則臨界馬赫數(shù)隨阻尼的增加而增加．因此，當粘性阻尼較大時，粘性阻尼層對顫振有抑制作用，但當粘性阻尼較小時，粘性阻尼層的介入對顫振抑制不利．圖6為發(fā)生顫振時對應顫振頻率隨粘性阻尼的變化．

圖5 臨界馬赫數(shù)與粘性阻尼的關系Fig．5 Relationship of flutter Mach number and viscous damping

圖6 顫振時頻率與粘性阻尼的關系Fig．6 Relationship of flutter frequency and viscous damping

當粘性阻尼較小時，系統(tǒng)所發(fā)生的易于失穩(wěn)的現(xiàn)象在文獻中有所報道．比如在雙擺、壓桿等粘彈性連續(xù)體模型中都有類似的現(xiàn)象．本文有關粘系阻尼層對復合材料壁板顫振影響的研究尚屬首次．

4 結論

1)粘彈性對顫振現(xiàn)象的兩個因素產(chǎn)生影響，第一是能量，第二是固有頻率．其中吸收能量有助于延后顫振產(chǎn)生，降低其固有頻率則使顫振提前發(fā)生．

2)在粘性阻尼比較小時，其對系統(tǒng)頻率的降低比較明顯，從而使得臨界馬赫數(shù)有所降低;當粘性阻尼較大時，其對系統(tǒng)頻率的降低開始減慢而對能量的吸收開始成為影響系統(tǒng)特性的主要方面，從而臨界馬赫數(shù)又開始回升．

3)在航空航天工程應用中，粘彈性阻尼材料的一個重要要作用是減振．根據(jù)本文的研究，粘性阻尼層粘性系數(shù)對顫振的影響具有雙重性，因此在設計中需要提前預算顫振抑制效果．

1 J·R·賴特，J·E·庫珀，崔爾杰(譯)．飛機氣動彈性力學及載荷導論．上海:上海交通大學出版社，2010(Wright J R，Cooper J E．Introduction to Aircraft Aeroelasticity and Loads．Wiley － B lackwell．2007)

2 楊曉東，金基鐸．輸流管道流－固耦合振動的固有頻率分析．振動與沖擊，2008．27(3):80～82(Yang X D，Jin J D．Comparison of Galerkin method and complex mode method in natural frequency analysis of tube conveying fluid．Journal of Vibration and Shock，2008，27(3):80 ～ 8 2(in Chinese))

3 齊歡歡，許鑒．Galerkin模態(tài)截斷對計算懸臂輸液管道固有頻率的影響．振動與沖擊，2011，30(1):148～151(Qi H H，Xu J．Effect of Galerkin modal truncation on natural frequency analysis of a cantilevered pipe conveying fluid．Journal of Vibration and Shock，2011，30(1):148 ～151(in Chinese))

4 Mead D J，Markus S．The forced vibration of a three－layer，damped sandwich beam with arbitrary boundary conditions．Journal of Sound and Vibration，1969，10(2):163 ～175

5 鄧年春，鄒振祝，杜華軍，黃文虎．約束阻尼板的有限元動力分析．振動工程學報，2003，16(4):489～492(Deng N C，Zou Z Z，Du H J，Huang W H．A finite element dynamic analysis of constrained plates．Journal of Vibration Engineering，2003，16(4):489 ～492(in Chinese))

6 胡明勇，王安穩(wěn)，章向明．約束阻尼懸臂梁瞬態(tài)響應近似解析解與實驗分析．應用數(shù)學和力學，2010，31(11):1287～1296(Hu M Y，Wang A W，Zhang X M．Approximate analytical solutions and experimental analysis of transient response of constrained damping cantilever beam．Applied Mathematics and Mechanics，2010，31(11):1287 ～1296．(in Chinese))

7 任志剛，盧哲安，樓夢麟．復合夾層結構頻率及損耗因子的計算．地震工程與工程振動，2004，24(2):101～106(Ren Z G，Lu Z A，Lou M L．Calculation of frequency and loss factor of composite sandwich structures．Earthquake Engineering and Engineering Vibration，2004，4(2):101～106(in Chinese))

8 Gabriel A．Oyibo．Unified panel flutter theory with viscous damping effects．AIAA Journal，1983，21(5):767 ～773

9 Tang S J，Lumsdaine A．Analysis of constrained damping Layers， in cluding normal－strain effects．AIAA Journal，2008，46(12):2998 ～3011

10 Fei L，Mohan D．Vibration analysis of a multiple－layered viscoelastic structure using the biot damping model．AIAA Journal，2010，48(3):624～634

11 葉獻輝．壁板非線性氣動彈性顫振及穩(wěn)定性研究［博士學位論文］．四川:西南交通大學，2008(Ye X H．Study on nonlinear flutter and its stability of panel aeroelasticity system［PhD Thesis］．Sichuan:Southwest Jiaotong U－niversity．2008(in Chinese))

12 肖艷平，楊詡仁，葉獻輝．三維粘彈性壁板顫振分析．振動與沖擊，2011，30(1):82～86(Xiao Y P，Yang Y R，Ye X H．Flutter analysis for a three－dimensional viscoelastic panel．Journal of Vibration and Shock，2011，30(1):82～86(in Chinese))

13 李麗麗，趙永輝．超音速下熱壁板的顫振分析．動力學與控制學報，2012，10(1):67 ～70(Li L L，Zhao Y H．The flutter analysis of thermal panel under supersonic flow．Journal of Dynamics and Control，2012，10(1):67～70(in Chinese))

14 Langthjem M A，Sugiyama Y．Dynamic stability of columns subjected to follower loads:a survey．Journal of Sound and Vibration，2000，238:809 ～851

15 Bolotin V V，Zhinzher N I．Effects of damping on stability of elastic systems subjected to nonconservative forces．International Journal of Solids and Structures，1969，5:965 ～989

16 Herrmann G，Jong I C．On the destabilizing effect of damping in nonconservative systems．Journal of Applied Mechanics，1965，32:592 ～597

*This Project supported by the National Natural Science Foundation of China(11172010，10702045)

? Corresponding author E－mail:jxdyang@163．com

THE FLUTTER ANALYSIS OF TWO-DIMENSIONAL SANDWICH PANEL BASED ON COMPLEX MODAL METHOD*

Yang Xiaodong1，2?Bian Qingfeng1
(1．College of Aerospace Engineering，Shenyang Aerospace University，Shenyang110136，China)(2．College of Mechanical Engineering，Beijing University of Technology，Beijing100124，China)

The flutter of two－dimensional sandwich panel with supersonic aerodynamic loading on one side is studied．The flutter critical Mach number and the effect of viscous damping are studied by using the Galerkin method and the complex modal method．The results show that the flutter occurs when the first and the second mode natural frequency coalesce，where the vibration energy accumulation starts to be positive．Considering the viscoelasticity of the mid－layer，the results show that with the increase of viscous damping，the critical flutter Mach number and the corresponding critical flutter frequency of the system will decrease at first and then increase．It is concluded that the reason for this phenomenon is due to the dual effect of the viscous damping．The viscous damping can reduce the natural frequency to make the system less stable at one hand，and absorb energy which enhances the stability at the other hand．The system appears complex phenomenon as the result of dual effects of the viscous damping．The conclusions of this research will be meaningful in the design of composite panels in supersonic flow．

sandwich panel， flutter， viscous damping， complex modal method

15 July 2012，

1 August 2012．

10．6052/1672－6553－2013－049

2012－07－15 收到第 1 稿，2012－08－01 收到修改稿．

*國家自然科學基金資助項目(11172010，10702045)、遼寧省高等學校杰出青年成長計劃

E－mail:jxdyang@163．com