寇天嬌,額布日力吐

(內蒙古大學數(shù)學科學學院,內蒙古 呼和浩特010021)

1.引言

各向異性矩形板是土木工程、航空航天以及機械制造等各種現(xiàn)代工程中普遍應用的一種結構元件.由于各向異性矩形板的基本方程為高階多變量的偏微分方程,因此一般很難得到其精確的解析解[1].近年來,國內外學者不斷探索怎樣尋求各向異性矩形板方程的解析解,并得到了一些解析方法,如疊加方法[2]、復變函數(shù)法[3]、有限積分變換法[4]和傅立葉級數(shù)法[5]等.但是上述方法都屬于半逆解法或者基于半逆解法的方法,這類方法需要事先人為設定撓度等試驗函數(shù),而選取的函數(shù)無規(guī)律可循,不具有普適性.

直到二十世紀九十年代初,鐘萬勰教授巧妙的在彈性力學中引入了辛幾何方法[6?7],為彈性力學的發(fā)展畫上了點睛之筆.2010年李銳等學者[8]又在辛彈性力學方法的基礎上提出了辛疊加方法,這進一步拓寬了辛彈性力學方法求力學問題解析解的范圍.

辛疊加方法到目前已解決了一系列各向同性板彎曲[9]與振動[10]的實際問題,豐富了各向同性板問題的解析求解,然而各向異性板由于其自身的復雜性,致使辛疊加方法還未能廣泛應用到各向異性板的實際問題當中.文[9]研究了均勻荷載下一角點支撐對面兩邊固支的各向同性板彎曲問題,而本文應用辛疊加方法進一步研究了均勻荷載下一角點支撐對面兩邊固支的正交各向異性矩形薄板彎曲問題.首先,根據(jù)對邊簡支邊界條件下原方程所對應的Hamilton算子本征函數(shù)系的完備性,應用本征函數(shù)系的辛-Fourier展開得到對邊簡支問題所對應的Hamilton正則方程的通解,再利用疊加方法求出一角點支撐對面兩邊固支的正交各向異性矩形薄板彎曲問題的解析解.最后通過本文解析解計算的數(shù)值結果與已有文獻的數(shù)值結果進行比較,驗證了本文所得辛疊加解的正確性.

2.Hamilton正則方程

考慮正交各向異性矩形薄板的基本方程

3.本征值和本征函數(shù)系

Ⅰ本征值為重根的情形

Ⅲ辛正交性與完備性

4.辛疊加解

為了研究均勻荷載作用下一角點支撐對面兩邊固支的正交各向異性矩形薄板彎曲問題,我們考慮如下三個子問題[9]:

(a) 四邊簡支正交各向異性矩形薄板在均勻荷載下的彎曲問題,在x=0和x=a邊簡支,在y=0和y=b邊滿足條件

(b) 在x=0和x=a邊簡支,在y=0和y=b邊滿足條件

(c) 在y=0和y=b邊簡支,在x=0和x=a邊滿足條件

將上述三個子問題的解進行疊加后可得到均勻荷載作用下的一角點支撐對面兩邊固支的正交各向異性矩形薄板彎曲問題的辛疊加解.

Ⅰ本征值為重根情形下的辛疊加解

當H2?D11D22=0時,我們先來求解子問題(a),此時需要求解無窮維Hamilton正則方程(2.6),根據(jù)引理3,可設非齊次項

根據(jù)引理1,可得:

根據(jù)引理3,我們假設在邊界條件(3.9)下Hamilton正則方程(2.6)的解為

在邊y=0處,三個子問題的等效剪力之和應為零,即滿足Vy|y=0=0,計算得到

Ⅱ本征值為單根情形下的辛疊加解

類似于本征值為重根的情形,先求解子問題(a),即四邊簡支正交各向異性矩形薄板在均勻荷載下的彎曲問題.此時需設非齊次項

子問題(c)的通解為

在邊x=0處,三個子問題的等效剪力之和應為零,即滿足Vx|x=0=0,計算得到

在支撐點(0,0)處,三個子問題的撓度之和應為零,計算得到

因為等式(4.27)恒成立,所以該式結果可忽略不計.通過求解方程組(4.23)-(4.26),解得系數(shù)En、Fn、Gn和Hn(n=1,2,3,...),將這些系數(shù)分別代入解(4.20),(4.21)和(4.22),我們得到本征值為單根情形下一角點支撐對面兩邊固支的正交各向異性矩形薄板彎曲問題的辛疊加解如下

5.算例

這里我們分別計算了一角點支撐對面兩邊固支各向同性矩形薄板和正交各向異性矩形薄板一些點處的撓度和彎矩.為了豐富論文的計算數(shù)值結果,我們計算了b/a取不同值的一些結果，并將辛疊加解展開到前30項.

例1計算在均勻荷載下一角點支撐對面兩邊固支各向同性矩形薄板的撓度和彎矩,此時在正交各向異性矩形薄板方程(2.1)中的對應參數(shù)取為

其中泊松比υ=0.3.計算數(shù)值結果(精度取到10?8)與文[9]的數(shù)值結果進行了比較,具體結果列于表1.

表1 均勻荷載下一角點支撐對面兩邊固支的同性矩形薄板的撓度和彎矩

例2計算了一角點支撐對面兩邊固支的正交各向異性矩形薄板的撓度和彎矩,取材料屬性為

其中L和T分別表示纖維和橫向方向.此時彎曲剛度系數(shù)D11、D12、D22和D66分別取

D12=0.01D11,D22=0.04D11,D66=0.01995D11,

一些點處撓度和彎矩的計算結果(精度取到10?8)列于表2.

表2 均勻荷載下一角點支撐對面兩邊固支的正交各向異性矩形薄板的撓度和彎矩

6.結論

本文用辛疊加方法推導出了一角點支撐對面兩邊固支的正交各向異性矩形薄板彎曲問題的解析解.首先應用辛彈性力學方法得到了對邊簡支正交各向異性矩形薄板彎曲問題撓度形式的解,再利用疊加方法給出原問題的辛疊加解.雖然本文只計算了均勻荷載下一角點支撐對面兩邊固支的正交各向異性矩形薄板的撓度和彎矩值,但是應用本文給出的方法也可以研究任意荷載以及其他邊界條件下的正交各向異性矩形薄板的彎曲和振動問題.