吳曉 羅佑新 黃 翀 楊 立軍

(湖南文理學(xué)院，常德 4 15000)

用Timoshenko修正理論研究有梯度界面層雙材料梁的振動(dòng)特性*

吳曉?羅佑新 黃 翀 楊 立軍

(湖南文理學(xué)院，常德 4 15000)

采用Timoshenko梁修正理論研究了有梯度界面層雙材料梁的振動(dòng)問題，利用靜力方程確定了有梯度界面層雙材料梁的中性軸位置，在此基礎(chǔ)上應(yīng)用Timoshenko梁修正理論建立了有梯度界面層雙材料梁的振動(dòng)方程，求得其自振頻率表達(dá)式及其在簡諧荷載作用下強(qiáng)迫振動(dòng)的解析解．討論分析了梯度界面層高度等因素對有梯度界面層雙材料梁的振動(dòng)影響，并用有限元法驗(yàn)證了Timoshenko梁修正理論．通過實(shí)例計(jì)算，得到了梯度界面層高度等因素對有梯度界面層雙材料梁振動(dòng)特性有較大影響的結(jié)論．

Timoshenko梁， 梯度界面層， 中性軸， 振動(dòng)

引言

功能梯度材料是基于一種全新的材料設(shè)計(jì)概念合成的新型復(fù)合材料［1－11］，日本科學(xué)家于二十世紀(jì)八十年代末年提出了功能梯度材料的概念以來，在航空航天、材料、汽車、電子等領(lǐng)域得到了越來越廣泛的應(yīng)用．功能梯度材料根據(jù)具體的要求，選擇使用兩種不同性能的材料，通過連續(xù)平滑地改變兩種材料的組織和結(jié)構(gòu)，使其結(jié)合部位的界面消失，從而得到功能相應(yīng)于組織變化而變化的均質(zhì)材料，最終減小或消除結(jié)合部位的性能不匹配因素．現(xiàn)工程實(shí)際中又出現(xiàn)了以功能梯度材料為夾芯的有梯度界面層的夾芯板梁結(jié)構(gòu)，即在涂層和基層之間增加一層功能梯度材料粘結(jié)層以降低熱應(yīng)力和層間應(yīng)力、提高抗沖擊能力［12］．基于上述原因，本文研究了彈性模量沿梁高呈線性變化的梯度界面層各向同性雙材料梁的振動(dòng)問題，并討論分析了有關(guān)因素對有梯度界面層雙材料梁振動(dòng)特性的影響．

1 振動(dòng)微分方程

有梯度界面層雙材料梁的模型如圖1所示，上下層分別為不同的均質(zhì)材料，中間界面層為功能梯度材料．上層的彈性模量、密度分別為E1、ρ1，中間界面層的彈性模量、密度分別為 E2(z)、ρ2(z)，下層的彈性模量、密度分別為E3、ρ3．

圖1 有梯度界面層雙材料梁Fig．1 Bi－material cantilever beam with graded interface layer

假設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)建立在有梯度界面層雙材料梁的中性軸上，中間層功能梯度材料的彈性模量、剪切模量、密度取任意函數(shù)的麥克勞林級數(shù)展開項(xiàng)中的0次和1次項(xiàng)，即:

根據(jù)Timoshenko梁修正理論假設(shè)φ為梁截面彎曲轉(zhuǎn)角，y為梁的撓度，可知有梯度界面層雙材料梁的應(yīng)力表達(dá)式為:

有梯度界面層雙材料梁彎曲時(shí)橫截面內(nèi)力應(yīng)滿足下式

式中z0為梁中性軸與下層底邊之間的距離．

把式(1)、式(2)代入式(3)中可以得到

利用式(2)可得有梯度界面層雙材料梁的彎矩、剪力表達(dá)式為

式中，k為剪切因子，

對于圖1所示在橫向動(dòng)荷載作用下的有梯度界面層雙材料梁，參閱文獻(xiàn)［13－17］可知采用Timoshenko梁修正理論得到振動(dòng)微分方程為

把式(5)、式(6)代入式(7)中可以得到

把式(8)解耦后可得修正Timoshenko梁振動(dòng)方程為

2 有梯度界面層雙材料梁振動(dòng)解

2．1 自由振動(dòng)的解

令有梯度界面層雙材料梁的自由振動(dòng)位移及外載荷分別為

把式(10)代入式(9)中可以得到

由式(11)可以求得有梯度界面層雙材料梁振型函數(shù)為

以簡支梁為例，可知有梯度界面層雙材料梁的邊界條件為

利用式(12)、式(13)可以求得有梯度界面層雙材料梁的自振頻率為

所以，有梯度界面層雙材料梁的振動(dòng)位移為

2．2 強(qiáng)迫振動(dòng)的解

為了研究有梯度界面層雙材料梁的強(qiáng)迫振動(dòng)，可令式(9)解為:

假設(shè)式(11)在簡支梁的邊界條件下，對應(yīng)于ωi和ωj的兩個(gè)振型函數(shù)為 Yi(x)和 Yj(x)，把式(16)代入式(11)中，于是有

將式(17)乘以 Yj(x)、式(18)乘以 Yi(x)，然后把所得的兩個(gè)乘式相減，再沿梁全長積分，注意在積分式中代入鉸支座邊界條件，即得所需要的正交性方程式l

把式(16)及簡支梁振型函數(shù)代入式(9)中并應(yīng)用式(19)可以得到

假設(shè)分布荷載q(x，t)在時(shí)間上與空間上可分離，可令

把式(21)代入式(20)中積分可得

設(shè)功能梯度材料梁的初始條件為

由式(23)可以確定

若作用在梁上的外擾力為沿梁長為均勻分布的簡諧干擾力，利用式(22)可以求得

若在簡支梁x=l0處作用有一簡諧干擾力P0sinΩt，則有 q(x，t)=P0δ(x － l0)sinΩt，利用式(22)可以得到

3 算例分析及討論

為了分析有簡支有梯度界面層雙材料梁的動(dòng)力特性，取梁長

表1 簡支有梯度界面層雙材料梁固有頻率Table 1 Natural frequency of simply supported bi－material cantilever beam with graded interface layer

圖2 梁中點(diǎn)動(dòng)力響應(yīng)曲線(q0=1000 N/m)Fig．2 The dynamic response curve of the beam midpoint

圖3 梁中點(diǎn)動(dòng)力響應(yīng)曲線(P0=1000 N)Fig．3 The dynamic response curve of the beam midpoint

由表1可以知道:采用Timoshenko梁修正理論計(jì)算的有梯度界面層雙材料梁固有頻率與有限元法計(jì)算的有梯度界面層雙材料梁固有頻率非常接近，且隨著固有頻率階數(shù)的的增加，Timoshenko梁修正理論計(jì)算結(jié)果與有限元法計(jì)算結(jié)果的誤差也在增大，但是都沒超過工程所允許的誤差．這說明采用Timoshenko梁修正理論計(jì)算有梯度界面層雙材料梁的固有頻率還是比較合理的．

對表1進(jìn)行分析可以看出，隨著有梯度界面層雙材料梁中間梯度層的高度增加，有梯度界面層雙材料梁的固有頻率將減小;這說明中間梯度層的高度增加將使有梯度界面層雙材料梁的剛度降低．而且中間梯度層的高度變化對梁固有頻率增減的影響還是較大的，尤其是對有梯度界面層雙材料梁低階固有頻率的影響是非常明顯的．

對圖2、圖3還可知道，隨著有梯度界面層雙材料梁中間梯度層的高度增加，有梯度界面層雙材料梁在外激勵(lì)載荷作用下，梁中點(diǎn)動(dòng)力響應(yīng)曲線的振幅將增大．原因是中間梯度層的高度增加將使有梯度界面層雙材料梁的剛度降低，這樣就導(dǎo)致了梁中點(diǎn)動(dòng)力響應(yīng)曲線的振幅的增大．集中載荷外激勵(lì)作用在有梯度界面層雙材料梁中點(diǎn)時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)曲線振幅要大于均布載荷外激勵(lì)作用在有梯度界面層雙材料梁中點(diǎn)時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)曲線振幅．

4 結(jié)論

由以上分析可以得到以下結(jié)論:

1)采用Timoshenko梁修正理論計(jì)算梁的固有頻率是比較合理的．

2)隨著有梯度界面層雙材料梁中間梯度層的高度增加，有梯度界面層雙材料梁的固有頻率將減小，有梯度界面層雙材料梁在外激勵(lì)載荷作用下梁中點(diǎn)動(dòng)力響應(yīng)曲線的振幅將增大．

3)集中載荷外激勵(lì)作用在有梯度界面層雙材料梁中點(diǎn)時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)曲線振幅要大于均布載荷外激勵(lì)作用在有梯度界面層雙材料梁中點(diǎn)時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)曲線振幅．

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15 陳镕，萬春風(fēng)，薛松濤等．無約束修正Timoshenko梁的沖擊問題．力學(xué)學(xué)報(bào)，2006，38(2):262～268(Chen R，Zheng H T，Xue S T，et al．Impact response of an unrestrained modified Timoshenko beam．Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2006，38(2):262 ～268(in Chinese))

16 吳曉，羅佑新．用Timoshenko梁修正理論研究功能梯度材料梁的動(dòng)力響應(yīng)．振動(dòng)與沖擊，2011，30(10):245～248(Wu X，Luo Y X．Dynamic responses of a beam with functionally graded materials with Timoshenko beam correction theory．Journal of Vibration and Shock，2011，30(10):245～248(in Chinese))

17 李清祿，李世榮．功能梯度材料梁在后屈曲構(gòu)形附近的自由振動(dòng)．振動(dòng)與沖擊，2011，30(9):76 ～78，135(Li Q L，Li S R．Free vibration of FGM Euler beam with post－buckling configuration subjected to axial force．Journal of Vibration and Shock，2011，30(9):76 ～78，135(in Chinese))

*The project supported by the construct program of the key discipline in Hunan province(Mechanical Design and Theory)and the Natural Science Foundation of Hunan Education Committee(11A081)

? Corresponding author E－mail:wx2005220@163．com

STUDY ON VIBRATION CHARACTERISTIC OF BI-MATERIAL CANTILEVER BEAM WITH GRADED INTERFACE LAYER
BY TIMOSHENKO BEAM CORRECTIVE THEORY*

Wu Xiao?Luo Youxin Huang Chong Yang Lijun
(Hunan University of Arts and Science，Changde415000，China)

The vibration characteristic of the bi－material cantilever beam with graded interface layer was studied by Timoshenko beam corrective theory．The neutral axis site of the bi－ material cantilever beam with graded interface layer was determined by the static equilibrium equations and the vibration equations of bi－ material cantilever beam with graded interface layer were also established by Timoshenko beam corrective theory，the expression for natural frequency of it and the analytical solution for forced vibration of it under the action of harmonic load were obtained．The effect of neutral axis site to vibration characteristic of bi－material cantilever beam with graded interface layer was discussed．Analysis of examples indicates that the height of graded interface layer had more greatly influence on vibration characteristic of bi－ material cantilever beam with graded interface layer．

timoshenko beam， graded interface layer， neutral axis， vibration

26 June 2012，

27 December 2012．

10．6052/1672－6553－2013－043

2012－06－26 收到第 1 稿，2012－12－27 收到修改稿．

*湖南省“十二五”重點(diǎn)建設(shè)學(xué)科(機(jī)械設(shè)計(jì)及理論)、湖南省教育廳項(xiàng)目(11A081)

E－mail:wx2005220@163．com