甘亞南 石飛停

(鹽城工學(xué)院土木工程學(xué)院，鹽城 2 24051)

寬翼T形梁橋動力學(xué)理論與特性分析*

甘亞南?石飛停

(鹽城工學(xué)院土木工程學(xué)院，鹽城 2 24051)

考慮了剪滯翹曲應(yīng)力自平衡條件、剪切變形和剪力滯后效應(yīng)等因素的影響，本文提出了一種對寬翼薄壁T形梁動力學(xué)特性的分析方法．分析中為了準確反應(yīng)T形梁翼板的動位移變化，三個廣義動位移被引入，且以能量變分原理為基礎(chǔ)建立了T形梁動力反應(yīng)的控制微分方程和自然邊界條件，據(jù)此對T形梁的動力反應(yīng)特性進行了分析，揭示了T形梁橋動力反應(yīng)的規(guī)律．算例中，對比了考慮和不考慮剪滯翹曲應(yīng)力自平衡條件對T形梁動力反應(yīng)的影響，結(jié)果顯示考慮剪滯翹曲應(yīng)力自平衡條件的計算方法與有限元數(shù)值解吻合更好．

T形梁， 剪力滯后， 自平衡條件， 動力反應(yīng)， 能量變分原理

引言

隨著材料科學(xué)的發(fā)展，在橋梁工程中寬翼薄壁T形梁橋的應(yīng)用前景更加廣闊 ．但是在對稱彎曲狀態(tài)下，寬翼薄壁T形梁存在剪力滯后效應(yīng)現(xiàn)象 ，設(shè)計中如對其考慮不周，往往會在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生一些橫向、豎向和斜裂紋等病害．在對T形梁橋的力學(xué)分析中，由于國內(nèi)外學(xué)者的不懈努力該類結(jié)構(gòu)靜力分析的解析法日趨完善，但是考慮剪滯翹曲應(yīng)力自平衡條件、剪力滯后和剪切變形效應(yīng)等因素，T形梁橋動力反應(yīng)分析的解析法尚不充分．運營中，由于T形梁橋可能受到各種動荷載的作用，因而其動力學(xué)特性的研究更具理論和工程實際意義．但是，T形梁橋受剪力滯后效應(yīng)的影響，經(jīng)典強迫振動理論已不適用，因而動力學(xué)分析難度加大 ．本文以能量變分原理為基礎(chǔ)，運用直接解法對T形梁橋的動力反應(yīng)進行了分析，本文理論為揭示T形梁橋動力反應(yīng)規(guī)律奠定了一定的理論基礎(chǔ)．

1 控制微分方程和自然邊界條件

1．1 不計剪滯翹曲應(yīng)力自平衡條件影響

1．1．1 體系的動能和勢能

圖1力系作用下圖2所示的T形截面梁，在對稱彎曲狀態(tài)下，若結(jié)構(gòu)的跨度為L，截面上的豎向動撓度為w1(x，t)，軸向動位移u(x，y，z，t)滿足下式［3，10］:

T形梁穩(wěn)態(tài)振動時的各項勢能

T形截面梁的荷載勢能Vp為:

腹板和翼板的動應(yīng)變能Vy為［2，6］:

總勢能為:VA=Vp+Vy(5)

結(jié)構(gòu)總動能TA為［1，11］:

式中:x，z，y分別為通過截面形心的軸向、豎向和橫向坐標(biāo);θ1(x，t)為T形截面繞y軸動轉(zhuǎn)角;u1(x，t)為振動時剪力滯后效應(yīng)引起翼板的縱向動位移差函數(shù);I為全截面對中性軸的慣性矩;Is為翼緣板對中性軸的慣性矩;E，G分別為材料的楊氏彈性模量和剪切彈性模量;M1x(x，t)為翼板剪滯效應(yīng)產(chǎn)生的動彎矩;MxA(x，t)為梁段端產(chǎn)生豎向轉(zhuǎn)角θ1(x，t)的動彎矩;k為截面形狀系數(shù);A為T形梁截面面積;ρ為材料的質(zhì)量密度;q(x，t)為分布簡諧力．

圖1 坐標(biāo)及荷載系統(tǒng)Fig．1 Coordinate and load system

圖2 T形梁截面Fig．2 Cross section of T－beam

1．1．2 T形梁強迫振動微分方程及自然邊界條件

式(6)～(12)中，符號“．”和“'”分別表示對時間t和對坐標(biāo)x求偏導(dǎo)數(shù)．

1．1．3 T形梁強迫振動微分方程的求解

若T形梁的強迫振動頻率為ω0，即

由方程(8)得、的表達式，對方程(9)三次求導(dǎo)，將代入可得關(guān)于w1和θ1項的微分方程，將方程(7)代入，最后得新微分方程為:

對方程(13)分析可知，其特征方程解可為:

根據(jù)常微分方程組性質(zhì)和方程(14)可以假設(shè)ψ1(x)解的形式，將方程(14)和ψ1(x)的假設(shè)式代入方程(7)，根據(jù)恒等式原理求得ψ1(x)的常系數(shù)，ψ1(x)的解可表示為:

同樣，根據(jù)方程(15)和常微分方程組性質(zhì)可以假設(shè)U1(x)解的形式，將方程(15)和U1(x)的假設(shè)式代入方程(9)，根據(jù)恒等式原理求得U1(x)的常系數(shù)，那么U1(x)的解可表示為:

1．2 考慮剪滯翹曲應(yīng)力自平衡條件影響

1．2．1 體系的動能和勢能

同樣，圖1力系作用下圖2所示T形截面梁，在對稱彎曲狀態(tài)下，若結(jié)構(gòu)的跨度為L，截面上的動撓度為w2(x，t)，則剪滯效應(yīng)引起翼板的翹曲位移為 η(x，y，z，t)，且滿足下式［1，10］:

那么，由剪滯效應(yīng)產(chǎn)生的動正應(yīng)力和剪應(yīng)為:

式中:ws0為常量，且ws0由 ∫AσsxdA=0確定為ws0=(4h1tb)/(3A)．

式(19)滿足截面平衡條件 ∫AτsxdA=0，那么剪滯效應(yīng)產(chǎn)生的豎向動彎矩Msy可表示為:

總的豎向動彎矩及對應(yīng)的動正應(yīng)力分別為:

那么，垂直彎矩產(chǎn)生的動應(yīng)變能為:

鐵木辛柯剪切應(yīng)變能為:

結(jié)構(gòu)總動能為［1，11］:

T形梁穩(wěn)態(tài)振動時，考慮剪滯翹曲應(yīng)力自平衡條件，其各項勢能

T形截面梁的荷載勢能Vq為:

系統(tǒng)總勢能為:

式中:θz(x，t)為 T 形截面豎向動轉(zhuǎn)角;u2(x，t)為振動時剪力滯效應(yīng)引起翼板的縱向動位移差函數(shù);且Iy;Isy;ksy;Is的含義如上表示，其它符號意義與不計剪滯翹曲應(yīng)力自平衡條件時相同．

1．2．2 T形梁強迫振動微分方程及自然邊界條件

由哈密頓原理δ－VB)dt=0，可推導(dǎo)出T形梁動力反應(yīng)控制微分方程及自然邊界條件為［12］:

同樣，式(18)～(34)中，符號“．”和“'”分別表示對時間t和對坐標(biāo)x求偏導(dǎo)數(shù)．

1．2．3 T形梁強迫振動微分方程的求解

若T形梁強迫振動頻率為ω0，那么

由方程(31)得的表達式，對方程(30)三次求導(dǎo)，且將代入可得關(guān)于w2和θ2項的微分方程，將方程(29)代入，可得新微分方程為:

式中:T=－

對方程(35)分析可知，其特征方程解可為:

分析可知，方程(35)通解形式與方程(14)相同．且ψ2(x)與 ψ1(x)，U2(x)與U1(x)解的表示形式亦相同，但此時

2 T形梁動力反應(yīng)的簡支邊界條件

分析可知，兩種情況下T形梁的邊界條件相同，那么將W1(x)，W2(x);ψ1(x)，ψ2(x)和U1(x)，U2(x)統(tǒng)一以W(x)，ψ(x)，U(x)的形式表示，則:

1)簡支T形梁的位移和力學(xué)邊界條件

A、簡諧分布力

B、簡諧集中力

對于簡支T形梁，若跨間所受力為一簡諧集中力，且集中力Pk=P0sin(ω0t+φ)左右相鄰邊界距離為Lk1和Lk2．如圖3所示，則k點處還須引入下列連續(xù)邊界條件為:

圖3 算例中坐標(biāo)系的約定Fig．3 The fixed coordinate system in the calculation examples

將方程式W1(x)，W2(x);ψ1(x)，ψ2(x);U1(x)，U2(x)或其求導(dǎo)式代入邊界條件(36)～(37)，然后應(yīng)用MATLAB軟件和相應(yīng)剪滯系數(shù)公式便可得到T形梁翼板簡支邊界條件下動剪滯效應(yīng)的變化規(guī)律．

3 算例

對于T形截面梁，其材料和幾何參數(shù)為:ρ=2500 kg/m3;E=3．5 ×104MPa;G=1．5 ×104MPa;tw=0．15 m;t=0．11 m;b=2．85 m．且梁高為h=1 m，簡諧集中力幅值為P0=9800 N．則根據(jù)本文推導(dǎo)公式和其它方法可計算出T形梁的自振頻率及E、F點動應(yīng)力幅值．

在簡支T形梁自振頻率的求解過程中，令簡諧分布力q(x，t)=0，然后應(yīng)用MATLAB軟件和邊界條件(36)便可得到表1T形梁的自振頻率值．表1表明:

表1 簡支T形梁的固有頻率(單位:Hz)Table 1 Natural frequency of simply－supported T－beam(unit:Hz)

1)本文T形梁自振頻率計算值小于傳統(tǒng)剪滯理論計算值，而傳統(tǒng)剪滯理論計算值又小于鐵木辛柯梁理論值，故由能量最低原理可以判斷，在T形梁靜、動力學(xué)分析中，本文計算理論優(yōu)于傳統(tǒng)剪滯理論，而傳統(tǒng)剪滯理論又優(yōu)于鐵木辛柯梁理論;

2)本文自振特性分析為文獻［1］的靜力學(xué)分析提供了理論依據(jù)，且盡管三種理論自振頻率計算值相差很小，但動力反應(yīng)分析中本文計算理論有無實際意義尚需進一步的動力學(xué)分析加以驗證;

3)T形梁自振特性受跨寬比的影響，跨寬比小自平衡條件和剪滯效應(yīng)影響大，反之相反．

同樣，簡諧集中力作用下，在T形梁動應(yīng)力幅值的求解過程中，應(yīng)用MATLAB軟件和邊界條件(36)、(37)可得表2、表3和表4 T形梁的動應(yīng)力幅值為:

圖4 交點E、F為所求T形梁跨中動應(yīng)力幅值位置Fig．4 Dynamic stress amplitude of middle－span of the T－beam located at the crossing points E and F

表2 簡支T形梁E點的動應(yīng)力幅值(單位:104Pa)(簡諧集中力)Table 2 Dynamic stress amplitude of simply－supported T－beam located at the crossing point E(unit:104Pa)(Harmonic concentrated load)

表3 簡支T形梁F點的動應(yīng)力幅值(單位:104Pa)(簡諧集中力)Table 3 Dynamic stress amplitude of simply－supported T－beam located at the crossing points F(unit:104Pa)(Harmonic concentrated load)

表4 簡支T形梁E點的動應(yīng)力幅值(單位:104Pa)(簡諧集中力)Table 4 Dynamic stress amplitude of simply－supported T－beam located at the crossing point E(unit:104Pa)(Harmonic concentrated load)

圖5 簡支T形梁跨中E點動應(yīng)力幅值比較圖(L=10 m)(簡諧集中力)Fig．5 The Comparison of dynamic stress amplitude of middle－span of simply－supported T－beam located at the crossing points E(L=10 m)(Harmonic concentrated load)

4 結(jié)論

本文理論系統(tǒng)分析了薄壁寬翼T形梁橋的動力學(xué)特性，結(jié)果顯示出剪滯翹曲應(yīng)力自平衡條件影響下T形梁自振頻率計算值減小，并且自平衡條件對翼板正應(yīng)力幅值計算值的影響更大，與傳統(tǒng)剪滯理論計算值相比較，翼板與腹板相交處本文理論正應(yīng)力幅值計算值明顯增大，而遠離腹板處翼板的正應(yīng)力幅值計算值增幅較小．本文理論值與有限元數(shù)值解吻合較好，結(jié)果顯示出剪滯翹曲應(yīng)力自力平衡條件引入的必要性．

1 張元海，李喬．寬翼緣T梁剪滯效應(yīng)分析的改進方法．蘭州交通大學(xué)學(xué)報，2004，23(3):94～97(Zhang Y H，Li Q．A refined analysis method for shear lag effect of thinwalled T－Beams with wide flanges．Journal of Lanzhou Jiaotong University，2004，23(3):94 ～97(in Chinese))

2 Qi G S，Alexander C．Sordelis．Shear lag analysis of T，I and box beams．Structural Engineering，1990，116(5):1306～1318

3 Chang S T．Prestress influence on shear lag effect in continuous box girder bridge．Journal of Structural Engineering，ASCE，1992，118(11):3113 ～3121

4 吳亞平，賴遠明．考慮剪滯效應(yīng)的薄壁曲梁有限單元法．工程力學(xué)，2002，19(4):85～89(Wu Y P，Lai Y M．Finite element method considering shear lag effect for curved box beams．Engineering Mechanics，2002，19(4):85～89(in Chinese))

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7 康厚軍，趙躍宇，王連華．斜拉橋中拉索對橋面動力特性的影響．動力學(xué)與控制學(xué)報，2007，5(1):44～49(Kang H J，Zhao Y Y，Wang L H．Theoretical considerations for effects of cables on deck of cable－stayed bridges．Journal of Dynamics and Control，2007，5(1):44 ～49(in Chinese))

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9 丁虎，胡慶泉，陳立群．運動車輛梁模型的橫向振動頻率及模態(tài)．動力學(xué)與控制學(xué)報，2011，9(1):44～48(Ding H，Hu Q Q，Chen L Q．Natural frequencies and model function of transverse vibration of beam modal for moving vehicles．Journal of Dynamics and Control，2011，9(1):44～48(in Chinese))

10 甘亞南，周廣春．薄壁箱梁縱向剪滯翹曲函數(shù)精度選擇的研究．工程力學(xué)，2008，25(6):100～106(Gan Y N，Zhou G C．An approach for precision selection of longitudinal shear lag warping displacement function of thinwalled box girders．Engineering Mechanics，2008，25(6):100～106(in Chinese))

11 Clough R．結(jié)構(gòu)動力學(xué)．王光遠等譯．高等教育出版社，2006．11(Ray Clough．Dynamics of structures．Wang G uangyuan translation，and so on．Higher Education Press，2006．11(in Chinese))

12 胡海昌．彈性力學(xué)的變分原理及其應(yīng)用．北京:科學(xué)出版社，1981(Hu H C．Principle of variations and its applications in mechanics of elasticity．Beijing:Science Press，1981(in Chinese))

*This Project supported by the Natural Science Foundation of the Jiangsu Higher Education Institutions of China(13KJB560014)

? Corresponding author E－mail:gyn－12@163．com

ANALYSIS ON DYNAMIC THEORY AND CHARACTERISTICS OF THIN-WALLED T-BEAMS WITH WIDE FLANGES*

Gan Yanan?Shi Feiting
(School of Civil Engineering and Architecture，Yancheng Institute of Technology，Yancheng224051，China)

In consideration of shear deformation and shear lag effects，A new warping displacement mode of T－beams is chosen to meet the axial self－equilibrium condition for corresponding stress，this paper proposes an approach of analyzing the dynamic characteristics of thin－walled T－beams with wide flanges generally used in engineering．three generalized displacement functions are employed in analyzing dynamic response of the thin－walled T－beams by calculus of variations，the differential equations and the corresponding natural boundary conditions of the T－beams are induced based on the minimum potential principle，and the dynamic characteristics of thinwalled T－beams are discussed．The calculation examples compare the finite solid element solutions with the analytical solutions，and the analytical solutions in consideration of the axial self－equilibrium condition is still more identical with the finite solid element solutions，the formulas obtained in this study strengthen the theoretical foundation for further research of dynamic characteristics of the structures．

T－beam， shear lag effect， self－equilibrium condition， dynamic response， energy－variation principle

02 July 2012，

22 September 2012．

10．6052/1672－6553－2013－054

2012－07－02 收到第 1 稿，2012－09－22 收到修改稿．

*江蘇省高校自然科學(xué)研究(13KJB560014)項目

E－mail:gyn－12@163．com