周紅芳

摘 要：本文以圓錐曲線的概念教學為例，從提供豐富的感性材料，幫助學生形成概念；引導(dǎo)學生揭示事物的本質(zhì)，幫助學生掌握概念的內(nèi)涵；充分調(diào)動學生已有知識，幫助學生同化概念；強調(diào)概念間的聯(lián)系和區(qū)別，幫助學生把握概念的外延；充分利用例題和習題，幫助學生鞏固和深化概念五個方面探討了有效概念教學的注意事項，以期提高教學質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；概念教學；教學感悟

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2013）05-079-2

數(shù)學概念是數(shù)學知識的重要組成部分，是學習數(shù)學基礎(chǔ)理論、理解數(shù)學基本原理、掌握數(shù)學規(guī)律、培養(yǎng)學生能力的先決條件，也是發(fā)展學生智力的重要因素。數(shù)學概念的教學向來為中學數(shù)學教師所重視，數(shù)學概念的教學方法很多，其宗旨都是讓學生理解、掌握和運用概念，下面我就中學數(shù)學圓錐曲線的概念教學談些個人的認知。

一、提供豐富的感性材料，幫助學生形成概念

概念的形成是要有豐富的感性材料的，而學生學習數(shù)學概念的一個心理障礙就是覺得抽象。鑒于學生缺乏豐富的感性材料，教師的責任就是要為學生提供豐富的感性材料并引導(dǎo)學生去分析思考。感性材料可以是直接進行實驗，也可以是引用課本知識，還可以借助圖表模型、多媒體等現(xiàn)代化教學手段等，不一定要補充大量的內(nèi)容，只需要對教材做恰當?shù)奶幚砭托小W生的知識結(jié)構(gòu)，歸根到底是由學生通過自己的思維逐步建立起來的，但教師完全可以發(fā)揮教學中的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學生進行思維聯(lián)系，幫助學生形成有序的知識結(jié)構(gòu)，提高知識結(jié)構(gòu)的層次，培養(yǎng)學生比較、分析、綜合等能力。

例如，學習圓錐曲線的定義時，教師可以借助圓錐面這一模型，讓學生去自主探究，通過不同的截法得到三種不同的圓錐曲線。導(dǎo)入：若用一個平面去截一個圓錐面，當平面經(jīng)過圓錐面的頂點時，可得到兩條相交直線；當平面與圓錐面的軸垂直時，截線（平面與圓錐面的交線）是一個圓。當改變截面與圓錐面的軸的相對位置時，觀察截線的變化情況，并思考：（1）用平面截圓錐面還能得到哪些曲線？（2）若設(shè)圓錐面的母線與軸所成的角為θ，截面與軸所成的角為α.通過觀察去發(fā)現(xiàn)，當θ<α<π2，0≤α<θ，α=θ時，我們可以得到哪三種不同形狀的曲線？（3）這些曲線具有哪些幾何特征？在以上探究過程中，注重了知識的發(fā)生與形成過程，既能使學生經(jīng)歷概念的形成過程，更能使其從整體上認識三種圓錐曲線的內(nèi)在關(guān)系。這一過程是建立在學生的最近發(fā)展區(qū)上的形式化的過程，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學能力和數(shù)學素養(yǎng)。

美國著名教育家布盧姆在他的名著《教育目標分類學》中寫道：“把具體的知識與一般的抽象知識聯(lián)系起來學，在這種聯(lián)系中可以最有效地記憶或保持具體的知識。按照這種方式進行學習、記憶的人，就能比較容易地掌握概念所屬的那些具體知識，另一方面，概括的或抽象的知識是比較難學習的，除非把它們與恰當?shù)木唧w現(xiàn)象聯(lián)系起來，反過來說，如果把概念與它所包括的各種現(xiàn)象割裂開來，那么這種概念就既難學又難記?！辈急R姆在這里不僅提出了學習概念的最佳方法，也指出了保持記憶的最佳方法。把抽象的概念以鮮明的實驗事實展現(xiàn)給學生，既符合數(shù)學學科的特點，也有利于學生更深刻地理解概念。

二、引導(dǎo)學生揭示事物的本質(zhì)，幫助學生掌握概念的內(nèi)涵

所謂概念的內(nèi)涵，就是概念所反映的客觀事物的本質(zhì)。學生在數(shù)學學習中初步形成概念時，往往是朦朦朧朧的。有些概念教材上雖然給出了定義，但學生對定義的理解往往是片面的，即使把定義背得滾瓜爛熟，也并不能說明學生已經(jīng)掌握了概念，要使學生真正掌握概念，就必須揭示概念所反映的客觀事物的本質(zhì)。

例如，如在學習橢圓的定義時，學生可以用一段繩子畫橢圓，教師可以利用多媒體呈現(xiàn)滿足橢圓定義的動點的運動軌跡，并鼓勵學生在已有知識的基礎(chǔ)上去探求橢圓的定義。學生對未知領(lǐng)域的探索有天然的好奇心，思維的積極性被激發(fā)，紛紛根據(jù)前面的知識做出如下猜測：到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓。然后教師在多媒體演示中從兩個方面加以強調(diào)。首先將運動的點移動到橢圓平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需加限制條件：“在平面內(nèi)”。這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)<|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”。這樣就由學生在觀察和猜想中完整的得到了橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。整個過程中，學生的思維結(jié)果一一被肯定，獲得一種小小的成就感，從而更激起了主動探索的欲望。

眾所周知，教科書上對概念的敘述都是很精辟的，為了克服學生對基本概念死記硬背、不能靈活運用的弱點，教師在講概念時，著重分析概念中的關(guān)鍵字、詞，充分揭示概念的本質(zhì)特征，使學生確切理解所學的概念。經(jīng)常這樣訓(xùn)練學生，能提高學生對概念的準確理解，養(yǎng)成善于推敲、分析的習慣。

三、充分調(diào)動學生已有知識，幫助學生同化概念

當新概念形成的時候，人的大腦中要進行把新概念同已有知識相比較、相聯(lián)系的過程，為新概念在大腦里已有的知識結(jié)構(gòu)中尋找到合適位置時，新概念就被聯(lián)結(jié)拼合上去，成為大腦知識結(jié)構(gòu)的一部分，被消化吸收，這就是同化。中學生大腦里的知識結(jié)構(gòu)比較簡單，同化新概念的能力不強，這就要求教師努力調(diào)動學生已有的知識，調(diào)整學生頭腦里的認知結(jié)構(gòu)，幫助學生加強新概念與舊知識之間的聯(lián)系，同化新概念。教學中經(jīng)常采用比喻、類比等方法，就是調(diào)動學生已有知識的有效方法。

例如，在學習雙曲線定義時，讓學生聯(lián)系和類比橢圓的定義，會起到比較好的引導(dǎo)和啟發(fā)的作用。平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。那么平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡是什么？讓學生把事先準備好的一條拉鏈，打開一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點，分別固定在點F1，F(xiàn)2上，把筆尖放在點M處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖所經(jīng)過的點就畫出一條曲線，這條曲線就是雙曲線的一支。定義：平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距。師生共同探討以下問題：1.若常數(shù)要等于|F1F2|，則圖形是什么？2.若常數(shù)要大于|F1F2|，能畫出圖形嗎？3.定點F1，F(xiàn)2與動點M不在平面上，能否得到雙曲線？4.|MF1|與|MF2|哪個大？（當M在雙曲線右支上時，|MF1|>|MF2|；當點M在雙曲線左支上時，|MF1|<|MF2|）5.點M與定點F1，F(xiàn)2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|？通過探究，培養(yǎng)學生研究問題和解決問題的能力。

通過橢圓與雙曲線的聯(lián)系和類比，能調(diào)動學生已有的知識，使學生用熟悉的知識去聯(lián)系、類比不熟悉的知識，從已有知識中獲得對新知識的啟示，達到同化新知識的目的，同時也培養(yǎng)了學生的思維能力。事實上，新舊知識的聯(lián)結(jié)點總是有的，關(guān)鍵在于教師能否找到它，并利用它。充分調(diào)動學生的已有知識是教師的職責，也是一門藝術(shù)。

四、強調(diào)概念間的聯(lián)系和區(qū)別，幫助學生把握概念的外延

所謂概念的外延，就是指概念的適用對象、條件、范圍等。數(shù)學基本概念往往是成對的或成群的。它們之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，弄清概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，既有助于掌握概念的內(nèi)涵，更有助于把握概念的外延，澄清對概念的模糊認識，還有助于使概念聯(lián)成體系，擴展學生頭腦中的知識結(jié)構(gòu)。

例如，學習圓錐曲線的第二定義時，先讓學生把一根直尺固定在圖板上直線l位置，把一塊三角板的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣，再把一條細繩的一端固定在三角板的另一條直角邊的頂點A，取繩長等于點A到直角邊頂點C的長（即點A到直線l的距離），并且把繩子的另一端固定在圖板上的一點F，用鉛筆尖扣著繩子，使點A到筆尖的一段繩子緊靠著三角板，然后將三角板沿著直尺上下滑動，筆尖就在圖板上描出了一條曲線。

給出定義：平面內(nèi)到一個定點F的距離和到一條定直線l（F不在l上）的距離的比等于1的動點P的軌跡是拋物線。當這個比值是一個不等于1的常數(shù)時，動點P的軌跡又是什么曲線呢？通過師生共同探討，得到圓錐曲線可以統(tǒng)一定義為：平面內(nèi)到一個定點F和到一條定直線l（F不在l上）的距離的比等于常數(shù)e的點的軌跡。當01時，它表示雙曲線；當e=1時，它表示拋物線。其中e是圓錐曲線的離心率，定點F是圓錐曲線的焦點，定直線l是圓錐曲線的準線。

第二定義中要注意定點和定直線是相應(yīng)的焦點和準線，且“點點距為分子、點線距為分母”，其商即是離心率e。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應(yīng)準線距離間的關(guān)系。至此，通過層次教學，揭示了圓錐曲線統(tǒng)一定義的本質(zhì)，達到全面而深刻地理解概念的目的。概念是中學數(shù)學教學的難點之一，如果忽視概念的產(chǎn)生過程，過早地進行功利性運用，那么概念就會成為機械的表述，而學生薄弱的抽象思維能力又加劇了這一現(xiàn)象。所以教師在講解概念時，應(yīng)該循序漸進、由淺入深、由表及里，使學生對概念的理解既全面又深刻。

現(xiàn)代教育理論認為，大腦中的知識結(jié)構(gòu)在很大程度上決定人的認識結(jié)構(gòu)，決定著人的認識能力。知識的結(jié)構(gòu)層次愈高，人的認識能力愈強。學生的知識結(jié)構(gòu)，歸根到底是由學生通過自己的思維逐步建立起來的，但教師完全可以發(fā)揮教學中的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學生進行思維聯(lián)系，幫助學生形成有序的知識結(jié)構(gòu)，提高知識結(jié)構(gòu)的層次，培養(yǎng)學生比較、分析、綜合等能力。

五、充分利用例題和習題，幫助學生鞏固和深化概念

對中學生來說，許多概念的建立是不可能一下子完成的，學生對它的理解和掌握也需要有一個過程。因此，已經(jīng)形成的概念還需要不斷地鞏固和深化，而充分利用練習和習題，是鞏固和深化的好方法，這種方法既靈活，又不多占用課堂教學時間，還能提高學生的思維能力。練習和習題是數(shù)學學習過程中必然要有的，這里所講的充分利用練習和習題，主要是要注意增強學生運用練習和習題鞏固概念的自覺性。在每學習一個新概念之后，固然需要有一定量的練習和習題，但更要注意在以后學習的不同階段，安排適當?shù)木毩暫土曨}，運用以后所學到的知識對以前所學的概念進行鞏固和深化。

例題.如果橢圓x225+y216=1上一點P到左焦點的距離等于7，那么P點到右準線的距離是

簡析：由橢圓的第一定義可知P點到右焦點的距離等于3，設(shè)P點到右準線的距離是d，再由橢圓的第二定義可知3d=e，所以d=5。此題充分利用雙曲線第一定義和第二定義將問題迎刃而解。

總之，一個概念往往要從多個方面去認識它，要提高數(shù)學概念的教學質(zhì)量，必須在教學過程中，根據(jù)學生學習數(shù)學概念的特點，不斷改進教學方法，總結(jié)和探討數(shù)學概念的教學規(guī)律，使數(shù)學概念的教學質(zhì)量得到進一步提高。練習或習題能提供從多方面去認識概念的機會，能引起對概念的深入思考，通過分析可使學生對概念的認識達到較高的層次。