湯安寧

【摘要】 合情推理與演繹推理是相輔相成的關系，兩者既對立，又統(tǒng)一，是辯證的統(tǒng)一體.

在數(shù)學教學中，學生親身經(jīng)歷用合情推理發(fā)現(xiàn)結論、用演繹推理證明結論的完整推理過程，在這個過程中，學生感悟數(shù)學的基本思想，積累數(shù)學的活動經(jīng)驗，這對于提升他們的數(shù)學素養(yǎng)是極為有益的.

【關鍵詞】 數(shù)學推理；合情推理；演繹推理

一、合情推理與演繹推理的關系

在數(shù)學中，從推理的結果來區(qū)分，有論證推理和合情推理. 論證推理通常叫證明或演繹推理，演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等），按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程，所得結論是可靠的. 然而，由合情推理所得的結論是不能最終肯定的，只能叫猜想或假說. 合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結論（包括經(jīng)驗和實踐的結果），以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結果的推理過程.自從希臘的哲學之父泰勒斯把演繹方法引入數(shù)學以后，演繹證明就構成了數(shù)學的靈魂，深入的演繹推理能夠挖掘出前提中蘊藏得很深的結論，它使數(shù)學的理論形成了嚴密的體系，為數(shù)學乃至科學的發(fā)展起了至關重要的作用.但演繹推理從本質上講，不能為我們提供新的知識，彭加勒說：“邏輯學與發(fā)現(xiàn)、發(fā)明沒有關系.”這句話雖然說得有些過分，但卻突出地指出了演繹作用的局限性.至于合情推理，它的特點是使人富于聯(lián)想、創(chuàng)造.但由于合情推理得出的結論往往超出前提控制范圍，前提就無力保證結論為真，因此，合情推理只能是或然性的推理，它的正確性需用演繹方法加以證明.一般地說，嚴格的數(shù)學理論是建立在演繹推理之上的，但數(shù)學的結論及相應的證明方法則又是靠合情推理去發(fā)現(xiàn)的.因此，演繹推理與合情推理是相輔相成的關系，兩者既對立，又統(tǒng)一，是辯證的統(tǒng)一體.

二、運用合情推理與演繹推理進行教學設計的案例

在“等腰三角形性質”的教學中，筆者運用合情推理與演繹推理讓學生先猜想，再證明，教學設計如下：

1. 運用合情推理，讓學生動手操作發(fā)現(xiàn)猜想結論

本節(jié)課一開始，教師請全體同學拿出準備好的等腰三角形紙片（上節(jié)課已布置），并動手將等腰三角形對折（如圖），要求每名學生在操作過程中細心觀察，或用三角板、量角器進行測量，猜想圖形中的線段、角等關系，并將發(fā)現(xiàn)的結論寫出來.

由于等腰三角形的紙片是學生自己制作的，其思想感情、學習興趣都比較濃厚.于是，經(jīng)學生的獨立探索后，老師請同學自由發(fā)言，在此基礎上，再讓學生歸納得到：

（1）∠B = ∠C.

（2）BD = DC（AD是折痕）.

（3）∠BAD = ∠CAD.

（4）∠ADB = ∠ADC = 90°.

（5）△ADB ≌ △ADC.

（6）△ABC是軸對稱圖形.

2. 運用演繹推理， 讓學生對猜想的結論進行證明后再討論

結論是學生自己發(fā)現(xiàn)的，猜想結論的證明也就成了學生自發(fā)的需要.于是，教師趁熱打鐵，要求同學對猜想結論： ∠B = ∠C進行證明.這個過程讓學生獨立完成或同學間討論完成，教師僅對個別差生輔導，待大部分同學證明好之后，教師指定一名同學到講臺上對全體同學講述并板書證明過程（其證明思路是：畫底邊BC的中線AD， 證△ADB≌△ADC，得∠B=∠C），接著教師指出，以上證明過程實際上已證明了全部的猜想結論，同時又提出以下問題讓學生討論.

問題1：你是怎樣想到作底邊中線AD的？

學生思考后討論式發(fā)言，認為：①由折痕想到的.②要證角相等，先想到證三角形全等.添上中線AD，就有了兩個三角形全等.

問題2：還有另外作輔助線的方法嗎？

學生討論后，有兩名同學舉手發(fā)言指出：還可作∠BAC的角平分線或者作底邊BC上的高，這時教師當即給予肯定，并請他們講述思路，使他們享受到發(fā)現(xiàn)者的喜悅.

問題3：從以上證明過程中我們可以得到哪些“副產(chǎn)品”.

引導學生抓住中線AD的三重性，讓學生討論后得到：等腰三角形的頂角角平分線、底邊的中線、底邊上的高互相重合.

三、對數(shù)學教學的啟示

在數(shù)學課堂教學中，怎樣培養(yǎng)學生的推理能力？筆者認為：

1. 營造一個寬松的、良好的可供學生猜想、證明的空間

教師可以經(jīng)常地引導學生“從最簡單的開始！”——以此作為座右銘，為歸納、猜想提供一個適當?shù)某霭l(fā)點和立足點，讓學生主動、積極地去猜想結論，然后讓學生自己去證明由猜想得到的結論.

2. 把教學過程設計為“再創(chuàng)造”的過程

在證明一個數(shù)學定理之前，先引導學生猜想這個定理的內(nèi)容，在完全作出詳細證明之前，先引導學生猜測證明的思路，努力探索出符合培養(yǎng)“猜想、證明” 推理能力的教學模式.

3. 在解題活動中，要引導學生見沒有答案（或結論）時，可先猜測一下答案（或結論）

猜側答數(shù)的形式，答數(shù)的范圍；猜測中間結論；猜測解題方向，以形成思路；對某思路的能解性作出估計等，在此基礎上完成數(shù)學問題的解題過程，同時要培養(yǎng)學生在演繹試推中提倡推中有猜，猜后再推.培養(yǎng)學生良好的解題習慣.

【參考文獻】

[1]史寧中.教育與數(shù)學教育.長春：東北師范大學出版社，2006.