李德安

摘 要：高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)應(yīng)是有針對(duì)性的復(fù)習(xí)，而不應(yīng)被形形色色的教輔資料所左右，為此筆者組織了全班學(xué)生自己出題、編題；高三數(shù)學(xué)課堂的解題教學(xué)，應(yīng)以學(xué)生為中心，從學(xué)生的思路中生成解法，而不應(yīng)是教師一個(gè)人的解題天下，本文就是一篇以學(xué)生為解題主體的課堂實(shí)錄.

關(guān)鍵詞：高三數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；課堂實(shí)錄

[?] 課例背景

在新課程背景下，為了更好地調(diào)動(dòng)全體學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提升高三復(fù)習(xí)的有效性與針對(duì)性，開(kāi)展好學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)及提高學(xué)生的探究實(shí)踐能力，在完成高三一輪復(fù)習(xí)前，筆者給任教的曲靖一中2013屆1班的全體學(xué)生布置了一個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)：全班54名學(xué)生自由組合成11個(gè)學(xué)習(xí)小組，每組5名學(xué)生（其中一個(gè)組有4個(gè)人），各組推舉出小組長(zhǎng)，按照高中數(shù)學(xué)的章節(jié)知識(shí)，將高中數(shù)學(xué)分成集合與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、三角函數(shù)、平面向量、數(shù)列……共11個(gè)單元，每個(gè)學(xué)習(xí)小組負(fù)責(zé)一個(gè)單元的復(fù)習(xí)工作，收集5-6道具有代表性的題目，最后匯集在一起，成為本班二輪復(fù)習(xí)的專用資料，收集試題的時(shí)間約一個(gè)月.接下來(lái)在課間、自習(xí)等時(shí)間各組在小組長(zhǎng)帶領(lǐng)下，認(rèn)真做題、研題、選題、編題，于2013年1月20日各單元試題匯集出爐，然后筆者復(fù)印給學(xué)生人手一份（不含答案）. 進(jìn)入3月份，到了二輪復(fù)習(xí)時(shí)，以此資料為復(fù)習(xí)資料.

[?] 課例過(guò)程

在三角函數(shù)單元中，第3題題目如下：解不等式+>0.

教師：本節(jié)課我們一起研究《三角函數(shù)》單元中第3題的解法. 唉，在三角函數(shù)單元中，怎么會(huì)出現(xiàn)一道解不等式的題目呢？

眾生：應(yīng)該通過(guò)三角代換，轉(zhuǎn)化到三角函數(shù)來(lái)解答.

教師：不錯(cuò)的想法，如何進(jìn)行三角代換呢？

教師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真檢查他的解法，有沒(méi)有什么漏洞呢？

學(xué)生6：對(duì)于不等式x+1>x2兩邊同時(shí)平方時(shí)，還要保證x+1>0，解出該不等式的解集，再與上述過(guò)程解出的x>-取交集，才是最后不等式的解集.

教師：說(shuō)得太對(duì)了，學(xué)生5雖然也考慮到要使不等式x+1>x2成立，必須有x+1>0，從而可以同時(shí)平方，但不加上限制條件x+1>0，就不能保證x+1是正數(shù)了，平方后的不等式與原不等式就不是同解不等式了，所以在解不等式時(shí)一定要保證同解變形，本題雖然最后結(jié)果是對(duì)的，但卻存在漏洞.

本節(jié)課學(xué)生從三角代換、解不等式的角度給出了這道題目的解法. 在解的過(guò)程中，有的地方還不夠嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)密，好在我們的學(xué)生可以共同地加以完善. 在高三二輪復(fù)習(xí)中，我們要進(jìn)一步規(guī)范自己的學(xué)習(xí)習(xí)慣，這不僅是復(fù)習(xí)中的要求，更是我們整個(gè)人生中的要求. 時(shí)間很快，本節(jié)課即將結(jié)束，但對(duì)于問(wèn)題的探究還沒(méi)有結(jié)束，課下學(xué)生在這節(jié)課的基礎(chǔ)上，繼續(xù)思考還可以從其他方面解決該問(wèn)題嗎？

第二天上課，筆者繼續(xù)追問(wèn)“這道題目經(jīng)過(guò)探究，還有其他解法嗎？”

學(xué)生7：對(duì)于上節(jié)課生5談到的通過(guò)分類(lèi)討論解不等式，其實(shí)還可以變形到不同的形式解不等式，不等式變形到x>x2-1時(shí)，也可以如下解答：

這時(shí)，學(xué)生8有些激動(dòng)，手早已舉得高高的.

學(xué)生8：對(duì)于學(xué)生7變形到第2、第3種情況時(shí)，我們還可以從形的角度看出解集.

令y1=，y2=x-，函數(shù)y1圖象是雙曲線y-x2=1（y1>0）的上支，函數(shù)y2是奇函數(shù)，且在（-∞，0），（0，+∞）都是增函數(shù). 當(dāng)x=±1時(shí)，y2=0，它們的圖象如圖1所示.

大家熱烈地鼓掌，可掌聲后，很多學(xué)生還有疑問(wèn)：若當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y2的圖象并不在y1圖象的下方的話，就不對(duì)了.

學(xué)生8（瞇笑著說(shuō)）：我們?cè)诮夥匠蘺1=y2時(shí)，只有兩個(gè)解x1與x2，再?zèng)]有其他解了，說(shuō)明當(dāng)x>0時(shí)y2與y1不會(huì)有交點(diǎn)，又當(dāng)00，所以當(dāng)x>0時(shí)，y2的圖象一定在y1圖象的下方.

學(xué)生們的掌聲更熱烈了，筆者也很激動(dòng).

教師：解法巧，解釋妙，真是巧妙??！

又有五、六名學(xué)生舉手示意，還可以從漸近線的角度進(jìn)行解釋，雙曲線y-x2=1的漸近線方程是y=±x，當(dāng)x>0時(shí)，y1>x，而y2=x-0時(shí)，y1與y2的圖象分居在直線y=x的兩側(cè)，當(dāng)x→+∞時(shí)，y2=x-→y=x，說(shuō)明y=x是函數(shù)y2圖象的一條漸近線，同時(shí)，y=x也是函數(shù)y1圖象的一條漸近線，所以，直線y=x是函數(shù)y1與y2的“分漸近線”（前幾節(jié)課剛剛講過(guò)2012福建高考中的一條有關(guān)分漸近線的題目），筆者驚喜地發(fā)現(xiàn)，又有一名學(xué)生手舉得高高的.

學(xué)生9：其實(shí)，解釋x>0時(shí)，函數(shù)y1的圖象在函數(shù)y2的圖象上方，太簡(jiǎn)單了. 當(dāng)x>0時(shí)，>x-?-x> -，不等式左邊為正，右邊為負(fù)，所以顯然有-x>-，從而>x-.

眾生嘆氣，有著一種說(shuō)不出的感覺(jué)：大家都沉浸在用了妙招解釋疑點(diǎn)的喜悅中時(shí)，卻被學(xué)生9用了如此顯而易見(jiàn)的道理解釋得淋漓盡致……

教師：這就是數(shù)學(xué)的魅力呀！好的見(jiàn)解的背后還有更高、更妙、更絕的見(jiàn)解，所以我們要一直努力，不能僅僅停留在自己掌握的做法上，那么還有其他解法嗎？（這時(shí)，又有兩名學(xué)生舉手，讓筆者有些出乎意料）

學(xué)生10：+>0?+>0?-2+1>0.

令=t，則t-2t2+1>0，解得- -.

普生11：我的做法與生10的做法本質(zhì)上是一樣的.令t=，得x2=，從而不等式可化為t2-2t2+1>0，下同學(xué)生10.

教室里又一次響起了熱烈的掌聲.

教師：學(xué)生10通過(guò)變形，將視為整體來(lái)解不等式，生11直接通過(guò)換元的思想，令t=，減少了變形過(guò)程中的思維量，直接得到關(guān)于t的不等式. 最后，兩位同學(xué)都化到了t-2t2+1>0，而這與學(xué)生1、學(xué)生2、學(xué)生3通過(guò)三角代換后得到的形式是一致的，正所謂“條條大路通羅馬”，我們從不同的起點(diǎn)，來(lái)到了同一個(gè)地點(diǎn). 本節(jié)課又是這么快的就要結(jié)束了，但我們的同學(xué)帶給我們的方法，促使我們思維的發(fā)展還沒(méi)有結(jié)束，我們都應(yīng)明確一個(gè)道理：你有一個(gè)蘋(píng)果，我有一個(gè)蘋(píng)果，交換后，每一個(gè)人還是各有一個(gè)蘋(píng)果；你有一種思想，我有一種思想，交換后，每一個(gè)人都至少有兩種思想. 下課！

[?] 課例自評(píng)

從教育心理學(xué)的角度來(lái)評(píng)價(jià)一堂課的話，關(guān)鍵是要看學(xué)生的深層學(xué)習(xí)——“體證學(xué)習(xí)”， 體證學(xué)習(xí)要關(guān)注兩方面，一方面要讓學(xué)生看到教師的體證學(xué)習(xí)，另一方面是學(xué)生要感受體證學(xué)習(xí). 對(duì)于一個(gè)問(wèn)題，尤其是比較難的問(wèn)題的解答，教師應(yīng)該盡量站在學(xué)生的起點(diǎn)，在學(xué)生面前再現(xiàn)教師想問(wèn)題、解決問(wèn)題詳細(xì)的解題過(guò)程，甚至應(yīng)該包括教師當(dāng)初誤入歧途的過(guò)程. 教師并不一定要在學(xué)生面前展現(xiàn)完美，因?yàn)閷W(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，并不是一氣呵成的，而是思索中前進(jìn)，失敗中進(jìn)步. 因此，課堂上教師將他的體證學(xué)習(xí)與學(xué)生分享是至關(guān)重要的.現(xiàn)在很多課堂，課上確實(shí)很精彩，課堂銜接自然，沒(méi)有什么廢話，整節(jié)課一氣呵成，甚至都有點(diǎn)“自動(dòng)化”了！或者，課堂上很多教師都在拼命地講題，課下又讓學(xué)生拼命地做題，完全陷入題海戰(zhàn)術(shù)中，與新課程理念是格格不入的，使學(xué)生掉入了畸形的發(fā)展中，這樣的課很難保證學(xué)生的體證學(xué)習(xí)，很多時(shí)候是一種表成學(xué)習(xí)，或者說(shuō)看似高效而后勁不足的教學(xué). 學(xué)生的體證學(xué)習(xí)是需要時(shí)間作保證的，這里說(shuō)的時(shí)間是指學(xué)生自己獨(dú)立思考的時(shí)間. 課堂教學(xué)某種程度上可以說(shuō)是共鳴的教學(xué)，學(xué)生應(yīng)該在教師的引導(dǎo)下，聽(tīng)其話，領(lǐng)其意，在意的基礎(chǔ)上達(dá)到一點(diǎn)共鳴，或者學(xué)生在意的基礎(chǔ)上又產(chǎn)生了新意，這樣的學(xué)習(xí)是更有意義的學(xué)習(xí). 課堂上，教師不應(yīng)該占據(jù)學(xué)生的“生意”時(shí)間，牽著學(xué)生的鼻子走，那樣只能導(dǎo)致教師累、學(xué)生廢. 本節(jié)課的整個(gè)過(guò)程，力求學(xué)生的體證學(xué)習(xí)，知識(shí)的自然生成.

2001年修訂的布魯姆教育目標(biāo)分類(lèi)學(xué)，從認(rèn)知過(guò)程角度把認(rèn)知領(lǐng)域的學(xué)習(xí)由低到高分為記憶、理解、運(yùn)用、分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)新六個(gè)層次. 反觀當(dāng)前的課堂教學(xué)，學(xué)生的學(xué)習(xí)則主要局限于記憶、理解、運(yùn)用三個(gè)層次，學(xué)習(xí)過(guò)程被大大窄化. 事實(shí)上，在學(xué)校的課堂教學(xué)情境下，課堂目標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)的強(qiáng)制性、教材內(nèi)容的相對(duì)穩(wěn)定性、教學(xué)評(píng)估指標(biāo)的客觀性，往往使“準(zhǔn)確無(wú)誤地掌握課程內(nèi)容”成為師生的共同目標(biāo)，“引入新知、促進(jìn)理解、練習(xí)鞏固”成為課堂教學(xué)的主要環(huán)節(jié)，記憶和分析成為學(xué)生學(xué)習(xí)的主要過(guò)程，而創(chuàng)新的機(jī)會(huì)變得少見(jiàn). 本節(jié)課試圖不要將學(xué)習(xí)過(guò)程窄化，給足學(xué)生的體證學(xué)習(xí)時(shí)間，實(shí)踐證明效果也頗好. 我們應(yīng)還課堂給學(xué)生，讓學(xué)生大膽地交流（本節(jié)課中，涉及詳細(xì)解法的，都是由學(xué)生在黑板上詳細(xì)板演的），看到他們的閃光點(diǎn)，同時(shí)也捕捉到不足及時(shí)彌補(bǔ). 教是為了不教，是為了更好地培養(yǎng)學(xué)生探究創(chuàng)新的能力. 我們教師有義務(wù)塑造好學(xué)生的品格，培養(yǎng)他們合作交流、勇于探索的精神，而不僅僅只是為了高考的那一個(gè)分?jǐn)?shù)！