張裕剛

摘 要： 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題教學(xué)，反思解題所用到的知識和方法，以及和其他知識的聯(lián)系等對提高解題能力非常重要，通過一題多解和多題一解對學(xué)生的思維能力進行訓(xùn)練和拓展，是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的重要方法.

關(guān)鍵詞： 解題教學(xué) 一題多解 多題一解

學(xué)好數(shù)學(xué)的重要途徑是解題，題海戰(zhàn)術(shù)固然不對，但離開解題要想學(xué)好數(shù)學(xué)也是萬萬不能的.著名數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中將數(shù)學(xué)解題過程劃分為四個階段：弄清問題—擬定計劃—實現(xiàn)計劃—回顧，這個解題過程中的回顧就是解題反思.解題反思是對整個解題活動的反思，包含內(nèi)容很廣，如作者的命題意圖是什么，這道題涉及那些知識點、技能、方法、數(shù)學(xué)思想，這些知識方法對自己而言是否是攔路虎，這道題還有沒有其他解法，解法和結(jié)論是否具有普遍性，等等.有效的解題反思能幫助學(xué)生梳理知識和方法，提高學(xué)生解題能力，減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負擔(dān)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.本文擬從“一題多解”與“多題一解”的角度談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生解題反思，將解題推向深入，努力讓學(xué)生達到“做一題，通一類，會一片”的高層次境界.

一、一題多解，培養(yǎng)發(fā)散思維能力

吉爾福特提出：“發(fā)散思維是一種記憶的廣泛搜索.”發(fā)散思維是指思維主體為完成任務(wù)或?qū)崿F(xiàn)目標，充分發(fā)揮人的想象力，突破原來的知識圈，沿著不同方向，從不同角度思考，不墨守成規(guī)，不拘于傳統(tǒng)方法，沒有固定范圍的局限，由一點向四面八方想開去，由已知探索未知的思維形式，是對同一問題探究不同的甚至是奇異答案的思維方法.

許多數(shù)學(xué)題重在考查學(xué)生思維的全面性、深刻性和靈活性，有多種解法.教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考，最大限度調(diào)動學(xué)生思維的積極性，盡可能觸及學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，適當點撥引導(dǎo)，讓學(xué)生探索新的解題途徑，將思維活動引向深入，獲得成功體驗.

例題1：如圖1，有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，問加工成的正方形零件的邊長是多少？

從以上證法中，根據(jù)所想用知識的需要進行構(gòu)造是幾何證明中添加輔助線的常見思維動因，如何添加輔助線，與我們解題時的思維切入角度有很大關(guān)系.

依據(jù)圖形背景，聯(lián)想所學(xué)定理進行構(gòu)造也是添加輔助線常見思維動因，平時養(yǎng)成多角度思考的習(xí)慣，就能在許多看似平凡的地方發(fā)現(xiàn)很多不平凡的東西，讓我們受益無窮.

二、多題一解，感悟知識聯(lián)系

許多數(shù)學(xué)題看似不同，但它們的內(nèi)在本質(zhì)或者說解題的思路、方法是一致的.在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生對這類題目分析、比較，尋求通法、通解，讓他們抓住問題本質(zhì)，感悟知識間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生求同存異的思維能力，形成數(shù)學(xué)思想方法.

例題4：如圖10，分別以△ABC的邊AB、AC為一邊向外作正方形AEDB和正方形ACFG，連接CE、BG，求證：BG=CE，BG⊥CE.

分析：證△ABG≌△AEC易得.

讓正方形ACFG繞點A逆時針進行旋轉(zhuǎn)，其余條件不變，畫出幾何圖形，猜想以上結(jié)論是否成立？請說明理由.（用幾何畫板演示）

三、一題多解與多題一解實解題教學(xué)的注意事項

1.一題多解教學(xué)注意事項

首先要選好題，針對學(xué)生實際，選擇具有典型性和代表性的題目，不宜太復(fù)雜，但也不能過于簡單.過于復(fù)雜既挫傷學(xué)生研究學(xué)習(xí)的積極性，又不利于學(xué)生掌握方法，培養(yǎng)思維能力，過于簡單學(xué)生沒有興趣，也達不到培養(yǎng)思維的目的.其次，在一題多解教學(xué)中，既要注意方法的多樣性又要注意通法通解，把握好思維的開拓和知識方法的落實，如果一味追求多解法的新、奇、巧和深、廣、透，就會造成學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決活動的失度和失控，損失一題多解的解題過程對培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)秀思維品質(zhì)的應(yīng)有效能.另外，學(xué)生自我感悟很重要，老師要引導(dǎo)、點撥，在學(xué)生思維受阻將學(xué)生思維引向深入，突破思維上的一個個關(guān)節(jié)點，老師千萬不能將一題多解變成自己的個人表演.

2.多題一解教學(xué)注意事項

多題一解教學(xué)中，選題時要注意題目與題目之間的關(guān)聯(lián)性，要做到在形式上不同，與方法實質(zhì)上的相同相統(tǒng)一.題目的呈現(xiàn)由淺入深，通過對簡單題目的訓(xùn)練得到方法，再解決其他題目，感悟總結(jié)題目之間內(nèi)在的和本質(zhì)的聯(lián)系.在這個訓(xùn)練過程之中，特別注意選題之間的關(guān)聯(lián)性.多題一解是建立在“相同要素說”基礎(chǔ)上的，這就要求各個題目之間要有相同的要素，而且是在實質(zhì)上的相同.若是在形式上也相同，那么各個題目間就缺少區(qū)分度，這種訓(xùn)練不能達到由此及彼的效果；若是在實質(zhì)上相去甚遠，則訓(xùn)練也就毫無意義.

老師點撥歸納時，對幾個問題實質(zhì)的描述上要做到簡潔一般.多題一解中的一般解法是作為一個通式，甚至一個規(guī)律出現(xiàn)的，對它的描述必然是簡約的、抽象的，這樣才能抓住各個題目之間解法的普遍性.

結(jié)語

課堂教學(xué)要體現(xiàn)“以學(xué)生發(fā)展為本”的教學(xué)理念，要求教師必須創(chuàng)造性地使用教材，創(chuàng)造性地設(shè)計學(xué)生活動.通過一題多解開闊學(xué)生思路、發(fā)散學(xué)生思維，讓學(xué)生學(xué)會多角度分析和解決問題；通過多題一解，對相關(guān)知識進行有效的拓展和遷移，拓展學(xué)生的思維深度，分析事物時學(xué)會由表及里，抓住事物的本質(zhì)，找出事物間的內(nèi)在聯(lián)系.

在教育教學(xué)工作中，教師要多注重挖掘解題過程對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，做到解答題目和訓(xùn)練思維能力兩者兼顧.本文只是從一題多解和多題一解兩個角度進行了闡述，還有很多解題過程可促進學(xué)生的思維能力的發(fā)展，這就需要廣大一線教師和科研工作者進行更深入的研究和探討.