徐偉東

摘 要：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中把提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，提高數(shù)學(xué)地表達(dá)和交流的能力作為課程目標(biāo)之一，同時(shí)要求學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)應(yīng)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程、重視學(xué)生情感、態(tài)度、價(jià)值觀的變化. 數(shù)學(xué)作文順應(yīng)了這一改革的潮流，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外對(duì)數(shù)學(xué)作文的研究有不少，但在高中開(kāi)展數(shù)學(xué)作文寫(xiě)作的國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究比較少，許多教師都承認(rèn)數(shù)學(xué)寫(xiě)作在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，但較少真正實(shí)施. 一個(gè)重要的原因是尚未有一套成熟的可執(zhí)行方案，迫切需要進(jìn)行系統(tǒng)的理論分析及實(shí)踐方法的指導(dǎo). 因此，在高中開(kāi)展數(shù)學(xué)作文寫(xiě)作已成為一個(gè)重要的研究課題.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)寫(xiě)作；數(shù)學(xué)活動(dòng)；反思

在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，“寫(xiě)作學(xué)習(xí)”（Writing—to—learn）是在一定的知識(shí)儲(chǔ)備下，對(duì)已有的數(shù)學(xué)信息分析、比較、內(nèi)化、綜合，從而產(chǎn)生想法和感受，并用文字表達(dá)出來(lái)的學(xué)習(xí)過(guò)程. 由于寫(xiě)作學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的一種學(xué)習(xí)方式，因此一些杰出的心理學(xué)家和教育學(xué)家，如維果茨基、布魯納等認(rèn)為寫(xiě)作與其他交流方式一樣有助于學(xué)習(xí). 在數(shù)學(xué)教育研究上，寫(xiě)作學(xué)習(xí)已經(jīng)用來(lái)作為探測(cè)不同學(xué)生數(shù)學(xué)理解差異的工具. 許多學(xué)者對(duì)此做過(guò)深入研究，取得了大量的研究成果.

數(shù)學(xué)寫(xiě)作作為師生之間的一種新的交流工具，被一些數(shù)學(xué)教師零星地使用，但從實(shí)際情況看，低年級(jí)使用的較多，高年級(jí)使用的較少；實(shí)踐操作的較多，理論提升的較少，對(duì)于如何開(kāi)展數(shù)學(xué)寫(xiě)作教學(xué)缺乏系統(tǒng)的研究. 本文在已有研究的基礎(chǔ)上，從四個(gè)方面談?wù)剶?shù)學(xué)寫(xiě)作教學(xué)的意義和作用，旨在拋磚引玉.

[?] 強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)

1. 寫(xiě)對(duì)重要名詞的個(gè)人定義；2. 寫(xiě)對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解；3. 寫(xiě)對(duì)某節(jié)課的小結(jié)；4. 針對(duì)作業(yè)或測(cè)驗(yàn)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行更正；5. 提供例題并證明；6. 討論某個(gè)數(shù)學(xué)法則及其重要性.

如學(xué)習(xí)了二項(xiàng)式定理以后，學(xué)生寫(xiě)了一篇關(guān)于二項(xiàng)式定理的數(shù)學(xué)寫(xiě)作，現(xiàn)摘錄其中一個(gè)學(xué)生的作品：

學(xué)習(xí)了二項(xiàng)式定理后，以前一些難解的，抑或是無(wú)從下手的題，也就迎刃而解了，其中我印象最深的是下面幾類(lèi)題型：

例1 求解（x2+3x+2）5展開(kāi)式中x的系數(shù).

解：（x2+3x+2）5=（x+1）5（x+2）5，所以含有x的項(xiàng)有Cx·C25+C·Cx，故x的系數(shù)為240.

例2 1.056精確到0.01的近似值.

解：1.056=（1+0.05）6≈1+C·0.05+C·0.052≈1.34.

這類(lèi)題目本來(lái)是很難用筆和紙研究出來(lái)的問(wèn)題，而放入二項(xiàng)式內(nèi)容求解，問(wèn)題則變得異常的簡(jiǎn)單快捷，真可以和計(jì)算器的估讀能力有的一拼了.

例3 設(shè)a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，則a的值是多少？

解：512012+a=（52-1）2012+a=C·522012-C·522011+…-C·52+1+a，因?yàn)?2能被13整除，所以只需1+a能被13整除即可.因?yàn)閍∈Z，且0≤a≤13，所以a=12時(shí)，1+a能被13整除，故a的值為12.

瞧，原來(lái)的一個(gè)天文數(shù)字現(xiàn)在在二項(xiàng)式定理的解題之下，也就變得那么神奇了.

在得出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理以及二項(xiàng)式定理時(shí)，我們始終是從一些簡(jiǎn)單的具體事例出發(fā)，從中獲得解決一般性問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，得出解決一般問(wèn)題的思路，這也是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及學(xué)習(xí)其他學(xué)科時(shí)可借鑒的優(yōu)秀方法.

[?] 增進(jìn)師生的對(duì)話交流

1. 給教師寫(xiě)便條詢問(wèn)問(wèn)題；2. 列出課堂弄明白或未弄明白的概念；3. 寫(xiě)關(guān)于今天課堂表現(xiàn)的日記；4. 對(duì)某個(gè)特定的題目或課程內(nèi)容記錄想法；5. 準(zhǔn)備分組完成某個(gè)任務(wù).

如筆者曾要求學(xué)生給筆者寫(xiě)一封信，想說(shuō)什么就說(shuō)什么，現(xiàn)摘錄其中一個(gè)學(xué)生的內(nèi)容：

曾聽(tīng)一位奧數(shù)老師說(shuō)過(guò)這么一句話：學(xué)數(shù)學(xué)，就猶如魚(yú)與網(wǎng)、會(huì)解一道題，就猶如捕捉到了一條魚(yú)，掌握了一種解題方法，就猶如擁有了一張網(wǎng). 所以，“學(xué)數(shù)學(xué)”與“學(xué)好數(shù)學(xué)”的區(qū)別就在與你是擁有了一條魚(yú)，還是擁有了一張網(wǎng).

從小到大我就怕數(shù)學(xué)，覺(jué)得動(dòng)腦筋的東西都會(huì)很難，可能也是自己懶的原因吧. 不管是小學(xué)還是初中，我的數(shù)學(xué)都是從好到壞，慢慢的對(duì)數(shù)學(xué)也有一種厭倦感，開(kāi)始對(duì)自己的數(shù)學(xué)自暴自棄，可是在高中，而且還是文科班，老師反復(fù)強(qiáng)調(diào)“得數(shù)學(xué)者得天下”. 在課堂上認(rèn)真學(xué)了，開(kāi)始的我可能是被動(dòng)的，但是現(xiàn)在我的想法慢慢改變了，只要你自己想學(xué)就會(huì)學(xué)好. 雖然現(xiàn)在我的數(shù)學(xué)成績(jī)依舊不是很好，但努力了總是還有希望的.

學(xué)數(shù)學(xué)沒(méi)有什么特別的技巧，數(shù)學(xué)是一門(mén)純粹的學(xué)科，學(xué)好數(shù)學(xué)不一定要有高智商，但要踏踏實(shí)實(shí)地打好每個(gè)基礎(chǔ) ，這也是我所學(xué)到的.

數(shù)學(xué)，就像一座高峰，直插云霄，剛剛開(kāi)始攀登時(shí)，感覺(jué)很輕松，但我們爬得越高，山峰就變得越陡，讓人感到恐懼，這時(shí)候，只有真正喜愛(ài)數(shù)學(xué)的人才會(huì)有勇氣繼續(xù)攀登下去，所以，站在數(shù)學(xué)的高峰上的人，都是發(fā)自內(nèi)心喜歡數(shù)學(xué)的，站在峰腳的人是望不到峰頂?shù)?

看了這篇作文，筆者良久不能平靜，總在想做了這么多年的教師，此時(shí)此刻才感覺(jué)到自己是最幸福的，筆者沒(méi)有理由不教好他們，選擇教師筆者無(wú)怨無(wú)悔.

[?] 發(fā)展學(xué)生自我監(jiān)督和反思行為

1. 描述使一個(gè)問(wèn)題或難或易的原因；2. 解釋為什么這個(gè)答案是合理的；3. 找出你學(xué)習(xí)中可能遇到的問(wèn)題，并給以解答；4. 分析某個(gè)人的工作質(zhì)量；5. 思考同一個(gè)問(wèn)題的不同解法；6. 討論某類(lèi)問(wèn)題之間的相同點(diǎn)與不同點(diǎn).

如學(xué)習(xí)了二項(xiàng)式定理以后，有學(xué)生得到如下關(guān)于這類(lèi)題型的總結(jié)：

有關(guān)二項(xiàng)式定理的解題，主要運(yùn)用四種方法：

（1）常規(guī)問(wèn)題通項(xiàng)分析法；（2）系數(shù)和差賦值法；（3）近似問(wèn)題截項(xiàng)法；（4）整除（或余數(shù)）問(wèn)題展開(kāi)法.

主要有四種題型：

（1）通項(xiàng)運(yùn)用型；（2）系數(shù)配對(duì)型；（3）系數(shù)和差型；（4）綜合應(yīng)用型.

[?] 抒發(fā)學(xué)生的情感流露

1. 寫(xiě)關(guān)于數(shù)學(xué)的自我體驗(yàn)；2. 寫(xiě)數(shù)學(xué)在今后社會(huì)所起的作用；3. 講述數(shù)學(xué)改變某個(gè)人生活的故事；4. 寫(xiě)什么可以幫助理解概念和什么阻礙數(shù)學(xué)理解；5. 記錄自己在完成某項(xiàng)作業(yè)后的感受.

如某次考試后，筆者讓學(xué)生寫(xiě)一篇對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的感受，現(xiàn)摘錄其中三個(gè)學(xué)生的作業(yè)：

學(xué)生一：人生就像對(duì)勾函數(shù)，潮起潮落，不同的是在這個(gè)人生旅途中只有一個(gè)低谷，不論你如何對(duì)待它. 但過(guò)程我們可以選擇，因?yàn)槟阕畛醯膽B(tài)度就決定了你的未來(lái)：付出是正數(shù)，回報(bào)是正數(shù)；付出的是負(fù)數(shù)，回報(bào)的也是負(fù)數(shù).

學(xué)生二：《對(duì)勾的悲哀》

小時(shí)候，隔著銀河的距離，我們彼此相望，不能相見(jiàn)，那時(shí)，我在這頭，它在那頭.

長(zhǎng)大后，有了自由的向往，我們懷揣夢(mèng)想，離家遠(yuǎn)行，那一刻，我向左走，它向右走.

而現(xiàn)在，為了各自的生活，我們奔波忙碌，逐漸淡忘，那一秒，我們永不相見(jiàn).

不怪我們，只怪老天讓我們以對(duì)的身份存在，背對(duì)著對(duì)方越走越遠(yuǎn).

學(xué)生三： 數(shù)列求和真麻煩，

心急吃不了熱豆腐，

先審題，細(xì)琢磨，

深入其中找特征，

等差、等比直接求，

混合可用分組求，

等差倒數(shù)裂項(xiàng)求，

根式無(wú)理有理求，

最難要數(shù)等差乘等比，

錯(cuò)位相減把和求，

求和方法有多樣，

關(guān)鍵還是靈活用.

從這些作文之中，我們可以窺探這些學(xué)生的厭學(xué)程度和無(wú)奈的心情，由此可以對(duì)其正確地引導(dǎo)，鼓勵(lì)他們走近數(shù)學(xué)，進(jìn)而不再害怕數(shù)學(xué).

[?] 促進(jìn)學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)

1. 寫(xiě)下問(wèn)題和解題過(guò)程；2. 寫(xiě)怎樣求解一道題目；3. 寫(xiě)關(guān)于不同解法的比較和對(duì)照；4. 描述用某種技巧來(lái)解某類(lèi)問(wèn)題；5. 準(zhǔn)備一些常規(guī)報(bào)告.

如學(xué)習(xí)了二項(xiàng)式定理后，有些學(xué)生得到了關(guān)于楊輝三角例外的一些性質(zhì)：

學(xué)生一：根據(jù)楊輝三角的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)：

C=C+C=（C）2+（C）2，

C=C+2C+C=（C）2+（C）2+（C）2，

C=C+3C+3C+C=（C）2+（C）2+（C）2+（C）2，

C=C+4C+6C+4C+C=（C）2+（C）2+（C）2+（C）2+（C）2，

由上等式猜想：C=（C）2+（C）2+（C）2+…+（C）2.

證明：有2n個(gè)人，從中選出n個(gè)人，則可以有C種選擇方案.

若將人平均分成2組，A組n人，B組n人，

方案一：從A組中選出0人，B組中選出n人，有CC種；

方案二：從A組中選出1人，B組中選出n-1人，有CC種；

方案三：從A組中選出2人，B組中選出n-2人，有CC種；

以此類(lèi)推，共有CC+CC+CC+…+CC種.

因?yàn)镃=C，C=C，C=C，…以此類(lèi)推，所以CC+CC+CC+…+CC=（C）2+（C）2+（C）2+…+（C）2，即C=（C）2+（C）2+（C）2+…+（C）2，所以猜想成立.

進(jìn)一步推廣：C=CC+CC+CC+…+CC（m

證明同上.

學(xué)生二：由楊輝三角可知，第3斜列前n個(gè)數(shù)之和等于第4斜列的第n個(gè)數(shù)；第4斜列前n個(gè)數(shù)之和等于第5斜列的第n個(gè)數(shù)；由此猜想：第m斜列前k個(gè)數(shù)之和等于第m+1斜列的第k個(gè)數(shù)，即C+C+C+…+C=C.

證明：C+C+C+…+C=C+C+C+…+C=C+C+…+C=C，所以猜想成立.

學(xué)生三：如果把楊輝三角中的每一項(xiàng)的C改為，就可以得到以下的規(guī)律，+=. 這就是著名的萊布尼茨三角形. 此三角形有以下規(guī)律：

1. 上下兩行的最前面兩數(shù)的乘積為其中第二行的第二項(xiàng)（除第一行）；

2. 下面兩數(shù)之和為肩上的數(shù).

證明：左邊=+=+====，所以等式得證.

通過(guò)學(xué)生作文中列舉的若干結(jié)論，可見(jiàn)學(xué)生已進(jìn)行了大量的思考、歸納和收集，想必運(yùn)用二項(xiàng)式定理求解相關(guān)問(wèn)題的方法已熟練掌握.

教師通過(guò)閱讀學(xué)生的數(shù)學(xué)作文，可以了解學(xué)生的“學(xué)情”，為自己及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略提供有效的依據(jù)；教師通過(guò)展示學(xué)生的數(shù)學(xué)作文，促進(jìn)師生之間、學(xué)生之間的交流，同時(shí)也讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)數(shù)學(xué)的成就感，從而使學(xué)生更加喜歡學(xué)數(shù)學(xué). 數(shù)學(xué)寫(xiě)作促進(jìn)了學(xué)生的反思，而反思拓寬了學(xué)生的思路，提高了解題能力，深化了對(duì)知識(shí)的理解，進(jìn)而完善了學(xué)生數(shù)學(xué)思維.

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中要有高度的情感投入，要有明確的目標(biāo)追求，不斷地反思和檢視自我，能清晰地認(rèn)識(shí)到自己要完成的學(xué)習(xí)任務(wù)，積極地尋找解決問(wèn)題的途徑，而數(shù)學(xué)寫(xiě)作能使學(xué)生通過(guò)內(nèi)存動(dòng)力的支持去達(dá)到目標(biāo)，這樣的學(xué)習(xí)是非常有效的.