莊治新

摘要：數(shù)學(xué)直觀是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要策略，是以數(shù)學(xué)直觀符號(hào)為基本構(gòu)成要素、以信息加工過程的直觀性為形態(tài)的認(rèn)知方式。借助圖式可以使抽象知識(shí)具體化、使復(fù)雜知識(shí)簡(jiǎn)潔化、使單一知識(shí)多元化、使特殊知識(shí)一般化，從而有助于探索解決問題的思路，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著非常重要的作用。

關(guān)鍵詞：圖式表征；深層建構(gòu)；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2013）03-0067-05

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版》修訂時(shí)把幾何直觀作為義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的核心內(nèi)容之一，提出在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要初步形成幾何直觀，強(qiáng)調(diào)幾何直觀在學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念、解決數(shù)學(xué)問題過程中的地位和作用。借助幾何直觀不僅可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有利于學(xué)生探尋正確的解題思路，而且可以幫助學(xué)生溝通數(shù)學(xué)問題之間的聯(lián)系，增進(jìn)數(shù)學(xué)理解，形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)。利用數(shù)學(xué)圖式表征數(shù)學(xué)事實(shí)，描述和分析數(shù)學(xué)問題是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用、最有效的方式之一。[1]

腦科學(xué)家的研究表明，學(xué)習(xí)是建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的過程。在人的一生當(dāng)中，每個(gè)人都通過具體的經(jīng)驗(yàn)、表征或者符號(hào)學(xué)習(xí)以及抽象學(xué)習(xí)在腦的皮層上建立了令人難以置信的大量神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來儲(chǔ)存信息。很多最牢固的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)都是通過實(shí)際的經(jīng)驗(yàn)建立起來的。根據(jù)信息加工的觀點(diǎn)，當(dāng)有機(jī)體對(duì)外界信息進(jìn)行加工（輸入、編碼、轉(zhuǎn)換、存儲(chǔ)和提取等）時(shí)，這些信息是以表征的形式在頭腦中出現(xiàn)的。

數(shù)學(xué)圖式是以直觀符號(hào)為基本構(gòu)成要素，以信息加工過程的直觀性為形態(tài)的認(rèn)知方式。[2]圖式表征作為一種重要的科學(xué)方法和學(xué)習(xí)工具，可以幫助學(xué)生理解和掌握一些抽象的概念和理論。皮亞杰認(rèn)為，所有的生物包括人在與周圍環(huán)境的作用中都有適應(yīng)和建構(gòu)的傾向。當(dāng)已有圖式不能解決面臨的問題情境時(shí)，個(gè)體會(huì)很自然地試圖通過各種方式來調(diào)整這種不平衡。建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)不是由老師把知識(shí)簡(jiǎn)單地傳遞給學(xué)生，而是學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)的過程，這種建構(gòu)是無法由他人來代替的。筆者認(rèn)為，圖式表征是幫助學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)的重要手段之一，應(yīng)始終伴隨兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，在培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深層建構(gòu)。

一、巧用圖式，表征數(shù)學(xué)事實(shí)，使抽象知識(shí)具體化

圖式是提示數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系的有力工具。[3]美國當(dāng)代教育心理學(xué)家威特羅克提出的生成學(xué)習(xí)觀認(rèn)為：學(xué)習(xí)者頭腦中的知識(shí)絕不是純粹客觀事物的摹本，也不是簡(jiǎn)單地由教師、教材“傳遞移入”的，而是主動(dòng)建構(gòu)它對(duì)信息的解釋，并從中作出推論。康德也指出，圖式是“潛藏在人類心靈深處”的一種技巧，是一種個(gè)體印記的經(jīng)驗(yàn)化的教程。學(xué)習(xí)者不是被動(dòng)地接收信息，而是主動(dòng)參與到信息領(lǐng)悟過程中，努力建構(gòu)有意義的理解，通過將信息納入圖式中，它既能夠帶來同化性學(xué)習(xí)，即圖式適配，也能夠?qū)е马槕?yīng)性學(xué)習(xí)，即建立新圖式。[4]

數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的直觀是對(duì)概念、證明的直接把握”。[5]在數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于受學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維水平的限制，經(jīng)常會(huì)遇到一些很難用語言解釋清楚的概念或性質(zhì)，這時(shí)圖形直觀往往會(huì)成為有效的表達(dá)工具。[6]通過圖式，把抽象問題具體化，不僅直觀形象，有利于思考，而且信息量大，概括性強(qiáng)，為學(xué)生創(chuàng)造自主思考的機(jī)會(huì)，促使學(xué)生通過自主探索和合作交流，發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)，獲得對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解。

1.圖式能幫助我們深刻理解數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)

所謂數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式，而數(shù)學(xué)知識(shí)的性質(zhì)則是指從數(shù)學(xué)概念直接推導(dǎo)得出的運(yùn)算法則或者運(yùn)算公式等延伸的知識(shí)，具有高度的概括性和抽象性。圖式是表達(dá)數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)的獨(dú)特方式，它把數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)形象化、數(shù)量化，能幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)的概念和性質(zhì)。正如我國著名數(shù)學(xué)家張廣厚認(rèn)為：“抽象思維如果脫離直觀，一般是很有限度的，同樣，在抽象中如果看不出直觀，一般說明還沒有把握問題的實(shí)質(zhì)?！比缙矫鎴D形周長的概念為：封閉的平面圖形邊界的總長叫做這個(gè)圖形的周長。什么叫封閉的平面圖形？什么叫邊界的總長？這對(duì)學(xué)生來說十分抽象，而利用圖式則能很具體地表達(dá)這兩層意思：

通過圖1中圖式①和圖式②了解何為不封閉的平面圖形何為封閉圖形，通過圖式③認(rèn)識(shí)圖形的周長并不是圖形中所有線段的總長，圖式④的四條加粗的線段才是邊界的總長，也就是這個(gè)封閉圖形的周長，學(xué)生通過對(duì)圖式的觀察比較，明晰周長的概念。在小數(shù)的認(rèn)識(shí)中，假若1個(gè)正方形表示1元，怎樣表示0.7元？圖2中圖式⑤就很具體地表征了小數(shù)的具體意義：將1元平均分成10份，每份是0.1元，7份就是0.7元。同樣，在三年級(jí)初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，圖式對(duì)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)大小的比較也起到不可估量的作用，如圖式⑥。

沒有圖形就沒有思考，理性的思考過程以直觀的圖式表示出來，使之形象化、視覺化，建立起人對(duì)自身體驗(yàn)與外物體驗(yàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)的理解。

2.圖式亦能幫助我們明晰算理和算法

所謂算理，是指計(jì)算的理論依據(jù)，通俗地講就是計(jì)算的道理，一般由數(shù)學(xué)概念、定律、性質(zhì)等構(gòu)成，用來說明計(jì)算過程的合理性和科學(xué)性，而計(jì)算方法是計(jì)算的基本程序或方法，是處理指導(dǎo)下的一些人為規(guī)定，用來說明計(jì)算過程中的規(guī)則和邏輯順序。圖式在算理的理解和算法的構(gòu)建過程中，起到支撐性的作用。[7]斯蒂恩認(rèn)為：“如果一個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖像，那么就整體地把握了問題?！?/p>

毫無疑問，時(shí)間條的呈現(xiàn)是對(duì)抽象數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行的編碼和表征，通過圖形感知支持抽象思維，相對(duì)于文字表述更為形象、簡(jiǎn)潔、清晰，幫助學(xué)生直觀地理解時(shí)間的計(jì)算方法。此類圖式，是學(xué)生展開數(shù)學(xué)想象的重要材料，為學(xué)生創(chuàng)造了自主思考的機(jī)會(huì)，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，獲得對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解。[8]

3.圖式還能幫助我們有效建立數(shù)感

數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟，包括對(duì)數(shù)的意義、數(shù)量的多少、數(shù)之間的關(guān)聯(lián)等的直覺，在一定程度上是思維的產(chǎn)物。而數(shù)的概念本身是抽象的，學(xué)生理解和掌握數(shù)的概念要經(jīng)歷一個(gè)過程，圖式的呈現(xiàn)則能幫助學(xué)生在深刻把握數(shù)的概念的同時(shí)，逐步提高對(duì)數(shù)的感悟水平。腦科學(xué)研究表明，我們的大腦在理解很大的數(shù)字的時(shí)候，會(huì)出現(xiàn)一些困難，因?yàn)槲覀儧]有什么經(jīng)驗(yàn)與它們聯(lián)系起來，而圖式則提供了視覺與言語文字雙重編碼的機(jī)會(huì)，有利于學(xué)生把握關(guān)系中重要的方面，領(lǐng)會(huì)、辨析、總結(jié)和綜合復(fù)雜的觀點(diǎn)，為思維過程提供支架。[9]在四年級(jí)《認(rèn)識(shí)整萬數(shù)》教學(xué)中，如何幫助學(xué)生感悟一萬有多少？

圖5

通過圖5這5個(gè)圖式的動(dòng)態(tài)疊加，使數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)更豐富、生動(dòng)，學(xué)生在深刻體會(huì)大的數(shù)目意義、感受大數(shù)目存在的同時(shí)，更拓展了學(xué)生的空間感，幫助學(xué)生有效建立了數(shù)感，為學(xué)習(xí)更大數(shù)目的“十萬”、“百萬”、“千萬”、“億”等作了有效的支撐。這是對(duì)語言文字最形象生動(dòng)、迅捷識(shí)別的可視化表征，使學(xué)生的心理內(nèi)部思維、想象過程外顯可見，促進(jìn)對(duì)知識(shí)的深層建構(gòu)。

二、利用圖式，描述數(shù)學(xué)問題，使復(fù)雜知識(shí)簡(jiǎn)潔化

腦科學(xué)研究指出，一張圖片相當(dāng)于至少10000個(gè)單詞的價(jià)值。當(dāng)靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)成為每個(gè)學(xué)習(xí)個(gè)體的知識(shí)時(shí)，圖式能幫助我們濃縮冗長的數(shù)學(xué)概念語言，而留下簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語言。[10]借助示意圖或線段圖表征問題情景的成分和結(jié)構(gòu)，以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)性的理解，進(jìn)而為解題者提供一些未經(jīng)解釋或形式轉(zhuǎn)換就可以被察覺與使用的信息，以約束認(rèn)知活動(dòng)的范圍，促進(jìn)問題的解決。[11]

心理學(xué)家魯梅特認(rèn)為，圖式就像戲劇，因?yàn)閳D式具有能與環(huán)境的不同方面相聯(lián)系的變量。[12]正如愛因斯坦所說，他所有的想法都是以或多或少的清晰的圖像呈現(xiàn)的，而且很難將自己的觀點(diǎn)寫成文字。其實(shí)，將思考轉(zhuǎn)換成圖像的能力常被看作是對(duì)其真正理解與否的判斷標(biāo)準(zhǔn)。

有些比較復(fù)雜的純文字?jǐn)?shù)學(xué)問題，對(duì)學(xué)生來說比較難以理解，在教學(xué)中，應(yīng)該讓學(xué)生體會(huì)到正確畫圖、用畫圖分析和描述問題的好處。如，“為了慶祝元旦，同學(xué)們做了一些花。紅花的朵數(shù)比黃花多30朵，黃花的朵數(shù)比紫花少80朵，紫花的朵數(shù)正好是紅花的2倍。三種花各有多少朵？”在解決這個(gè)問題的時(shí)候，可以利用圖6的圖式，幫助學(xué)生直觀地理解三種花的具體關(guān)系，從而理清思路，找出解決問題的方法：

借助圖式描述數(shù)學(xué)問題，能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)問題情境信息及其關(guān)系的理解，幫助學(xué)生從整體上把握問題，提示問題的轉(zhuǎn)化方法，從而獲得正確的解題思路。[13]正如波利亞所說：圖形不僅是幾何題目的對(duì)象，而且對(duì)與幾何一開始沒有什么關(guān)系的題目，圖形也是一種重要幫手。學(xué)生用圖式描述數(shù)學(xué)事實(shí)的過程，是對(duì)靜態(tài)數(shù)學(xué)知識(shí)的個(gè)性化理解，是動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)圖式的建構(gòu)過程。從某種意義上說，利用圖式描述數(shù)學(xué)問題，對(duì)啟迪學(xué)生解題策略，促進(jìn)深層建構(gòu)的作用是顯而易見的。

三、借助圖式，探索解決問題，使單一知識(shí)多元化

英國學(xué)者東尼·博贊（Tony Buzan）指出：思維導(dǎo)圖能同時(shí)啟動(dòng)左、右腦，使人的想象力和創(chuàng)造力與有關(guān)的關(guān)鍵知識(shí)邏輯地綜合起來。[14]將原本枯燥的一長串難以理解的信息變成容易記憶、有高度組織性的圖式，使學(xué)生不僅能清晰地體會(huì)到尋找解題突破口的過程，而且可以一目了然地理解解題思想方法的挖掘、使用過程等，使單一的數(shù)學(xué)知識(shí)多元化地表達(dá)，從而使學(xué)生可以真正由會(huì)解一道題轉(zhuǎn)變?yōu)闀?huì)解一類題。

愛因斯坦曾說：“結(jié)論幾乎總是以完成的形式出現(xiàn)在讀者面前，讀者體會(huì)不到探索和發(fā)現(xiàn)的喜悅，感覺不到思想形成的生動(dòng)過程。”而數(shù)學(xué)知識(shí)在形成的過程中經(jīng)過了眾多數(shù)學(xué)家的研究推定和符號(hào)建構(gòu)，這些知識(shí)都必須經(jīng)過學(xué)生個(gè)體的內(nèi)在的認(rèn)知理解和主動(dòng)建構(gòu)，才能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的有效理解。[15]誠如喬納森所說：“當(dāng)學(xué)生嘗試用圖式方法來表征事物時(shí)，其思維往往處于最佳狀態(tài)?！?/p>

如：“一塊菜地，長15米，寬12米。如果在這塊菜地上種青菜，平均每平方米收青菜16千克。這塊地共收青菜幾千克？如果在這塊地上種桃樹，每棵桃樹占3平方米，這塊地可以種桃樹多少棵？”如何理解“每平方米青菜收16千克”和“每棵桃樹占地3平方米”？啟發(fā)學(xué)生通過自主活動(dòng)，畫出如圖8相應(yīng)圖式：

通過圖式，題目中的數(shù)量關(guān)系就一下子變得簡(jiǎn)單明了，解決問題的思路也躍然紙上。運(yùn)用示意圖也可以遷移到“1千克黃豆可以做4千克豆腐”或“每4千克鮮魚可以曬1千克魚干”等問題，觸類旁通，舉一反三，從某一題“頓發(fā)的靈感”上升歸納為解一類題的思維方法。

在這里，圖式推動(dòng)了學(xué)生的信息加工，通過對(duì)新信息進(jìn)行形象化精制，使之與其它信息（已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)）相聯(lián)系，一方面在現(xiàn)實(shí)生活元素和學(xué)生原有知識(shí)結(jié)構(gòu)之間架起一座橋梁，另一方面又幫助學(xué)生用已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)去同化、順應(yīng)新信息，使學(xué)生能更好地學(xué)會(huì)知識(shí)并活用遷移。[16]

四、繪制圖式，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，使特殊知識(shí)一般化

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，具有很強(qiáng)的抽象性和高度的結(jié)構(gòu)化。新課程重視數(shù)學(xué)模型的建立，指出數(shù)學(xué)教學(xué)“應(yīng)從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并加以解釋與運(yùn)用的過程”，從具體到抽象，從特殊到一般，逐步提示數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，并用數(shù)學(xué)化的形式表示規(guī)律，從而把思維和推理提高到一個(gè)更高的層次。

心理學(xué)研究表明，學(xué)生感知越豐富，建立的表象越清晰，就越能發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，獲得知識(shí)。數(shù)學(xué)圖式就如同一根絲線，將數(shù)學(xué)知識(shí)或串聯(lián)成鏈，或編織成網(wǎng)，通過各種準(zhǔn)確的、精致的、自動(dòng)化的形式，溝通知識(shí)間的聯(lián)系，突出數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性，彰顯重、難點(diǎn)，梳理邏輯順序。數(shù)學(xué)圖式是學(xué)生最容易利用的數(shù)學(xué)形象，它架起了具體與抽象之間的橋梁，有利于學(xué)生系統(tǒng)掌握知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生更有成效地展開數(shù)學(xué)思考，發(fā)現(xiàn)并提示規(guī)律，思維逐步轉(zhuǎn)向更高級(jí)、更抽象的層面。

如：“在一條長200米的道路一側(cè)種樹，每?jī)煽脴渲g相距5米，若兩側(cè)都要種，那么一共要種多少棵樹？”解決這類題目，應(yīng)該根據(jù)圖9的圖式，找出蘊(yùn)含的規(guī)律：1個(gè)5米種2棵，2個(gè)5米種3棵，3個(gè)5米種4棵……從而得出有幾個(gè)5米，就要種幾加1棵樹。

通過對(duì)圖式的觀察分析，引導(dǎo)學(xué)生畫一畫，比一比，找出其中的規(guī)律。又如：“擺1個(gè)□要4根小棒，擺2個(gè)要7根小棒，擺9個(gè)要（ ）根小棒，有52根小棒，能擺出（ ）個(gè)?！币嗫筛鶕?jù)圖10，找出規(guī)律：正方形的個(gè)數(shù)×3+1=小棒的根數(shù)、（小棒根數(shù)-1）÷3=正方形的個(gè)數(shù)，從而使學(xué)生形成解決此類問題的圖式系統(tǒng)。

在此類數(shù)學(xué)問題中，數(shù)學(xué)圖式始終引領(lǐng)并啟迪著學(xué)生的思維，促使學(xué)生展開思考，并逐步發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)。這一過程中，重要的不是規(guī)律本身，而是學(xué)生在參與的過程中，獲得的借助圖式直觀展開數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗(yàn)，以及對(duì)探索簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)規(guī)律一般過程的體驗(yàn)與感悟。

一節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)在知識(shí)體系和學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的地位和作用各有不同。數(shù)學(xué)圖式往往都是圍繞教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)而生成的。對(duì)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)而言，教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)往往就是概念的本質(zhì)內(nèi)涵。數(shù)學(xué)圖式是以準(zhǔn)確把握教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)為前提的，是基于學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的。

善用圖式表征，能生動(dòng)形象地描述數(shù)學(xué)問題，直觀地反映分析問題的思路，能幫助學(xué)生較好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，為學(xué)生創(chuàng)造主動(dòng)思考的機(jī)會(huì)，使其經(jīng)歷數(shù)學(xué)探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過程。在化數(shù)為形的過程中，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深層建構(gòu)。

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責(zé)任編輯：石萍