周余峰

摘 要：新課程在高中教學(xué)實(shí)施多年，其教學(xué)理念的核心思想深入教師的心中，新課程所提出的“數(shù)學(xué)要注重實(shí)際應(yīng)用”的教育理論、“數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)要積極主動(dòng)建構(gòu)”的教育思想，是新課程教育思想的重要部分和核心內(nèi)容，對(duì)教師今天的數(shù)學(xué)教學(xué)研究仍有重要的指導(dǎo)意義. 本文結(jié)合筆者近期親身經(jīng)歷的一次公開(kāi)課，結(jié)合新課程理念下的教學(xué)觀談?wù)勗跀?shù)學(xué)概念教學(xué)中進(jìn)行建構(gòu)活動(dòng)和概念課教學(xué)的一些思考.

關(guān)鍵詞：新課程；教學(xué)觀；數(shù)學(xué)歸納法；主動(dòng)建構(gòu)；概念教學(xué)

前言引入

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項(xiàng)基本要求，但是不能只限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展也表明，全盤(pán)形式化是不可能的，因此，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài).” 標(biāo)準(zhǔn)的用意很明確：淡化（對(duì)高中生而言）不等同于否定，只是對(duì)不同年齡階段的學(xué)生需要用不同程度的形式化來(lái)教學(xué). 形式化和非形式化一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的兩大產(chǎn)物，其特點(diǎn)主要圍繞下面幾點(diǎn)進(jìn)行區(qū)分：

[角 度＼&形 式 化＼&非 形 式 化＼&推理過(guò)程＼&極為重視，推理嚴(yán)密＼&不太重視，注重感性認(rèn)知＼&數(shù)學(xué)結(jié)果＼&要求以抽象的數(shù)學(xué)結(jié)果記憶＼&注重了解，往往運(yùn)用特殊法記憶＼&適合群體＼&高中以上學(xué)生＼&小學(xué)生、初中生＼&]

結(jié)合當(dāng)今的高中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)看，筆者認(rèn)為：高中數(shù)學(xué)中的“形式化的結(jié)果”依舊比較常見(jiàn)（諸如函數(shù)的概念、平面向量的基本定理等），而“非形式化的數(shù)學(xué)”往往能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的表象理解、記憶（如數(shù)形結(jié)合以形輔數(shù)、窮舉法解排列組合等），但這樣卻無(wú)法指導(dǎo)學(xué)生到達(dá)數(shù)學(xué)概念的彼岸——窺視規(guī)律和本質(zhì). 基于這樣的原因，筆者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)需要在介于形式化和非形式化之間進(jìn)行.

案例分析

課題——蘇教版選修2-2《數(shù)學(xué)歸納法》第一課時(shí).

1. 目標(biāo)解析

本環(huán)節(jié)希望達(dá)成學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法類(lèi)比生成的目標(biāo)，具體來(lái)說(shuō)就是：

（1）在教師的引導(dǎo)下學(xué)生體驗(yàn)、思考，自主生成和品悟出原生態(tài)的數(shù)學(xué)歸納法基本思想；

（2）借助實(shí)例的辨析、對(duì)比，對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行深加工，進(jìn)一步使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法原理，更明確數(shù)學(xué)歸納法的核心思想.

2. 問(wèn)題預(yù)診

從學(xué)生的理解角度出發(fā)，可能出現(xiàn)的兩方面問(wèn)題：

（1）對(duì)“數(shù)學(xué)歸納法”本質(zhì)特征的理解有疑問(wèn)：究竟是歸納推理還是演繹論證？本章合情推理一節(jié)的歸納推理，與現(xiàn)在的“數(shù)學(xué)歸納法”從名稱(chēng)上不免讓學(xué)生產(chǎn)生這個(gè)疑惑. 此時(shí)，需讓學(xué)生了解，雖然數(shù)學(xué)歸納法的思維模式是觀察——?dú)w納——猜想——證明，但數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)特征是用有限的步驟論證無(wú)限結(jié)論，學(xué)習(xí)的重心不是猜，而是證.

（2）數(shù)學(xué)歸納法的核心思想中，第二步的歸納假設(shè)常常會(huì)使學(xué)生感到疑惑不解：要證明某個(gè)命題正確，怎么可以假設(shè)這個(gè)命題正確呢？命題p（k）與命題p（n）有何關(guān)系？假設(shè)命題p（k）正確在證明過(guò)程中起什么作用？

要讓學(xué)生理解這些問(wèn)題，就需要讓學(xué)生體會(huì)：數(shù)學(xué)歸納法要證明的命題p（n）是一個(gè)命題序列，其中p（k）與p（k+1）是該命題序列中的兩個(gè)連續(xù)命題. 為了證明這個(gè)命題序列整體的正確性，我們首先得證明p（1）為真，k是一個(gè)變動(dòng)的量，假設(shè)命題p（k）為真是遞推證明的條件，由p（k）為真推出p（k+1）為真，后繼命題的證明得以循環(huán)，因此，歸納假設(shè)是條件，歸納遞推才是核心.

3. 條件分析

（1）學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備：學(xué)生已學(xué)的歸納推理，與演繹推理的“三段論”是學(xué)生理解推理思想和證明方法的重要基礎(chǔ). 教學(xué)時(shí)應(yīng)注意類(lèi)比，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).

（2）教學(xué)素材的準(zhǔn)備：教學(xué)環(huán)節(jié)中引入了視頻、游戲等素材來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行積極的思考，以確保教學(xué)過(guò)程中能真正實(shí)現(xiàn)以學(xué)生為主體的水到渠成的概念生成.

（3）教學(xué)理念的準(zhǔn)備：波利亞曾指出“學(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”，常規(guī)教學(xué)中，往往教師對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的原理形成過(guò)程的教學(xué)不夠重視，急于向?qū)W生展示一種思維模式和套路，結(jié)果學(xué)生陷入題海，生搬硬套，只知步驟而不知本質(zhì)，學(xué)習(xí)起來(lái)，枯燥乏味. 本次微課設(shè)計(jì)將留給學(xué)生充分的時(shí)間探究、體驗(yàn)、反思、整合，使學(xué)生品味其中真諦，令數(shù)學(xué)歸納法扎根在學(xué)生心中. 當(dāng)然，教學(xué)理念的形成非一朝一夕之功，故蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)“教師用一輩子備一節(jié)課”，一輩子，一節(jié)課，這是一種追求，是一種信仰！

4. 教學(xué)過(guò)程

本次教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)的依據(jù)是：人類(lèi)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)具有“漸進(jìn)性”，個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)要在不斷的重復(fù)之中細(xì)化、深化，以致內(nèi)化. 因此，整體設(shè)計(jì)思路是圍繞數(shù)學(xué)歸納法的核心思想，在不同媒介的不斷重演中，由淺入深將問(wèn)題串拋給學(xué)生，層層推進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解，以期達(dá)到螺旋上升的教學(xué)效果.

具體環(huán)節(jié)如下：

（1）情境激活，拋磚引玉. 借助一段汽車(chē)的創(chuàng)意廣告視頻（內(nèi)容是汽車(chē)的各關(guān)鍵零件在合理排列的連鎖反應(yīng)下最終啟動(dòng)了一輛整車(chē)），激發(fā)學(xué)生思考：廣告成功大概需要拍多少次？為什么要不斷嘗試？不難想象這個(gè)廣告的拍攝難度，事實(shí)上達(dá)到了605次之多，問(wèn)題2的可能回答（每個(gè)環(huán)節(jié)的銜接不易，有銜接才有連鎖反應(yīng)，初始環(huán)節(jié)力量控制需得當(dāng)）初步形成數(shù)學(xué)歸納法的原生態(tài)理解，問(wèn)題3是引導(dǎo)學(xué)生理解廣告的目的是以復(fù)雜、震撼的效果激發(fā)購(gòu)買(mǎi)欲，而數(shù)學(xué)則是追求簡(jiǎn)單美的，以此引出多米諾骨牌這個(gè)簡(jiǎn)化模型. （利用非形式化手段，感受數(shù)學(xué)歸納法在生活中的模型）

（2）簡(jiǎn)化模型，類(lèi)比抽象. 分組進(jìn)行多米諾骨牌游戲.

問(wèn)1：多米諾骨牌與汽車(chē)廣告呈現(xiàn)的連鎖反應(yīng)有何異同？

目的：使學(xué)生初步留下多米諾骨牌是“等距遞推”的印象.

問(wèn)2：如何用程序語(yǔ)言描述多米諾骨牌倒下的條件？

目的：借助必修3程序框圖，進(jìn)一步使學(xué)生意識(shí)到遞推關(guān)系的可重復(fù)性，也無(wú)形中化解了學(xué)生對(duì)歸納假設(shè)的可能的疑惑，自然而然地使學(xué)生理解了假設(shè)命題“p（k）為真”是遞推證明的條件，是遞推的接力棒. 無(wú)限結(jié)論的證明巧妙地被濃縮了，同時(shí)也體現(xiàn)了新課程螺旋上升的要求.

問(wèn)3：能否類(lèi)比歸納一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明步驟？

目的：順?biāo)浦垡龑?dǎo)學(xué)生自主思考，類(lèi)比抽象出數(shù)學(xué)歸納法的原理雛形.

問(wèn)4：步驟2的作用是什么？

目的：希望學(xué)生通過(guò)類(lèi)比程序框圖的循環(huán)體，體悟步驟2的歸納遞推作用.

分組游戲結(jié)束后，由各組代表發(fā)言總結(jié)游戲的寓意，最后師生共同提煉總結(jié)數(shù)學(xué)歸納法原理，至此，完成了 “原理的生成”部分的教學(xué). （利用形式化手段，將數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行模型抽象，小結(jié)略）

教學(xué)反思

《數(shù)學(xué)歸納法》是高中數(shù)學(xué)非常形式化的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，學(xué)生很難理解其本質(zhì). 原因很簡(jiǎn)單：為什么可以假設(shè)命題p（k）為真？這個(gè)問(wèn)題困擾著學(xué)生對(duì)其概念的形成. 因此筆者是按這樣的設(shè)計(jì)滲透新課程的教學(xué)理念：

（1）以學(xué)生研究多米諾骨牌為基點(diǎn)，著力研究為什么第k+1張會(huì)倒下？（感性認(rèn)知）

（2）借助多米諾骨牌，能將問(wèn)題抽象成一個(gè)什么樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題？（從非形式化到形式化）

（3）數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)是以小組合作討論的模式進(jìn)行，經(jīng)過(guò)提煉而成，著力體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念教學(xué)返璞歸真，注重學(xué)生主動(dòng)建構(gòu). （新課程理念教學(xué)觀的體現(xiàn)）

總之，新課程教學(xué)理念下的教學(xué)觀注重“以生為本”和強(qiáng)調(diào)“知識(shí)形成”，給教師的教學(xué)帶來(lái)了全新的理念，使教學(xué)方式得到一股清風(fēng)式的改變.

（1）當(dāng)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要傳遞知識(shí)，更要關(guān)注學(xué)生情感、態(tài)度、價(jià)值觀等等，“主動(dòng)建構(gòu)”的教育理念就是在改變過(guò)去過(guò)于注重形式化的知識(shí)傾向，關(guān)注學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)能力的培養(yǎng)和學(xué)習(xí)能力的獲得，也讓學(xué)生體會(huì)到從生活中去找尋知識(shí)形成的美！

（2）與時(shí)俱進(jìn)的數(shù)學(xué)教師，不僅要能“傳道、授業(yè)、解惑”，更要能指導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.筆者們教學(xué)的最終目的是不教，是要讓高中生通過(guò)自己的知識(shí)去解決將來(lái)遇到的未知領(lǐng)域，“主動(dòng)建構(gòu)”教育理論很好地給出了一個(gè)方向，即遇到未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已掌握的知識(shí)來(lái)處理. 學(xué)習(xí)就是不斷地進(jìn)行這樣的重復(fù)，漸漸培養(yǎng)起來(lái)的學(xué)習(xí)能力將會(huì)受益終身.

（3）倡導(dǎo)“主動(dòng)建構(gòu)”理論教學(xué)，把學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程變成分析和解決問(wèn)題的過(guò)程，就需要教師將教材內(nèi)容問(wèn)題化和生活化. 教師要多引導(dǎo)學(xué)生走出課堂，走向社會(huì)與生活. 新課程改革不應(yīng)只是局限于課堂教學(xué)方法的改變，還應(yīng)注重學(xué)生應(yīng)用實(shí)踐能力的培養(yǎng).