夏佳星

摘 要：函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)一塊非常重要的知識(shí)，在高考中函數(shù)的內(nèi)容也占了很大的比重. 函數(shù)的定義域是函數(shù)三要素之關(guān)鍵，也是我們研究函數(shù)問題的出發(fā)點(diǎn)，它在解決與函數(shù)有關(guān)的一些題目中起著十分重要的作用. 本文通過幾個(gè)具體的實(shí)例來說明平時(shí)研究函數(shù)問題應(yīng)注意函數(shù)的定義域.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；定義域；避免錯(cuò)誤

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)一塊非常重要的知識(shí)，在高考中函數(shù)的內(nèi)容也占了很大的比重. 函數(shù)既是高考的重點(diǎn)又是高考的熱點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn). 函數(shù)的定義域是函數(shù)三要素之關(guān)鍵，往往在解題中被學(xué)生所忽視. 下面舉例說明學(xué)生在解題中比較典型的錯(cuò)誤，供大家參考.

求函數(shù)的值域問題中應(yīng)注意函數(shù)的定義域

例1 求函數(shù)f（x）=x2-2x-4在x∈[-3，2]上的值域.

錯(cuò)解：由f（x）=x2-2x-4=（x-1）2-5≥ -5得f（x）的值域?yàn)閇-5，+∞）.

錯(cuò)誤原因：此題是高中學(xué)生尤其是高一學(xué)生常犯的一個(gè)錯(cuò)誤，由于受初中相關(guān)知識(shí)的影響，學(xué)生理所當(dāng)然地認(rèn)為開口向上的二次函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最小值，而根本沒有考慮自變量x即函數(shù)定義域?qū)瘮?shù)值域的影響.

正解：因?yàn)閒（x）=（x-1）2-5在x∈[-3，1）上單調(diào)遞減，在x∈（1，2]上單調(diào)遞增，且f（-3）=11， f（1）=-5， f（2）=-4. 所以f（x）的值域?yàn)閇-5，11].

這個(gè)例題雖然簡(jiǎn)單，但對(duì)高一學(xué)生初學(xué)函數(shù)值域時(shí)卻相當(dāng)容易出錯(cuò). 本例說明，在函數(shù)定義域受限制時(shí)，若能注意定義域的取值范圍對(duì)函數(shù)值域的影響，并在解題過程中加以應(yīng)用，將會(huì)減少不必要的錯(cuò)誤.

求函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題中應(yīng)注意函數(shù)的定義域

例2 求函數(shù)f（x）=log（x2-2x-3）的單調(diào)遞增區(qū)間.

錯(cuò)解：此函數(shù)由f（x）=logu，u=x2-2x-3復(fù)合而得，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1）.

錯(cuò)誤原因：未注意到此復(fù)合函數(shù)的定義域.

正解：由真數(shù)x2-2x-3>0可解得x∈（-∞，-1）∪（3，+∞），所以正確答案為（-∞，-1）.

例3 若函數(shù)f（x）=log（x2-ax-3）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

錯(cuò)解：由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可得a滿足≥-1，即a≥-2.

錯(cuò)誤原因：未注意到此復(fù)合函數(shù)的定義域.

正解：同樣，做此題時(shí)應(yīng)注意函數(shù)的定義域，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可得a滿足≥-1，即a≥-2；同時(shí)f（x）必須在（-∞，-1）上有意義，所以當(dāng)x=-1時(shí)，x2-ax-3≥0，故a≥2. 綜上得a≥2.

這兩道例題有一定的典型性，尤其是例3這道題，學(xué)生非常容易忘記考慮定義域這一限制條件，教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)多關(guān)注，讓學(xué)生養(yǎng)成全面思考問題的習(xí)慣. 同時(shí)，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，做到觸類旁通.

在基本不等式應(yīng)用中應(yīng)注意函數(shù)的定義域

例4 求函數(shù)f（x）=x+在x∈[4，8]上的最小值.

錯(cuò)解：因?yàn)閤∈[4，8]，所以由基本不等式得f（x）=x+≥2=4，故f（x）min=4.

錯(cuò)誤原因：上述解法未關(guān)注基本不等式取等號(hào)的條件：當(dāng)且僅當(dāng)x=即x=2時(shí)取等號(hào). 而由題意知2?[4，8]，所以此題不能用基本不等式來做.

正解：因?yàn)閒 ′（x）=1-=，且x∈[4，8]，所以f ′（x）>0，所以f（x）在x∈[4，8]上單調(diào)遞增，故f（x）min=f（4）=5.

基本不等式適用的條件是本題的關(guān)鍵，很多學(xué)生平時(shí)往往只看到形似，而沒有注意到問題的本質(zhì)，以至于解決問題時(shí)也是一知半解，張冠李戴.

在方程根的分布問題中應(yīng)注意函數(shù)的定義域

例5 已知關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程x2+ax+3=0有兩個(gè)大于零的相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

錯(cuò)解：由判別式Δ=a2-12>0，得a>2或a<-2.

錯(cuò)誤原因：上述結(jié)論只能說明此方程有兩相異實(shí)根，而不能保證兩根均大于零，關(guān)鍵問題還是在于沒有關(guān)注函數(shù)f（x）=x2+ax+3的定義域.

正解：記f（x）=x2+ax+3，則由題意有f（0）>0，

高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，尤其是這種有限制條件的根的分布問題，其本質(zhì)實(shí)際上是函數(shù)的定義域在改變. 如果在平時(shí)的教學(xué)中強(qiáng)調(diào)學(xué)生抓住這個(gè)本質(zhì)，那么很多問題都將迎刃而解.

如果說上述幾種錯(cuò)誤只是對(duì)于初學(xué)函數(shù)者容易出錯(cuò)，那么下面幾種錯(cuò)誤即使對(duì)于高三學(xué)生來說也是出錯(cuò)頻率比較高的類型，在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)該引起足夠的重視.

在數(shù)列問題中應(yīng)注意函數(shù)的定義域

例6 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-tn+2，t∈R，若此數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

錯(cuò)解：記f（n）=n2-tn+2，因?yàn)閚≥1，所以只需對(duì)稱軸n=≤1即可，解得t≤2.

錯(cuò)誤原因：上述錯(cuò)誤解法只關(guān)注到n≥1，而沒有關(guān)注到還有一個(gè)條件n∈N*. 事實(shí)上，此函數(shù)圖象不是連續(xù)的，而是由一些孤立的點(diǎn)構(gòu)成的.

正解：因?yàn)閚≥1，n∈N*，所以只要對(duì)稱軸n=<即可，解得t<3.

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它的特殊性主要表現(xiàn)在其定義域?yàn)檎麛?shù)集，因此解決數(shù)列問題時(shí)要時(shí)刻關(guān)注這一特殊性.

內(nèi)單調(diào)遞減. 又S（x）=a為一條水平的動(dòng)直線，故無論a取何值都無法做到圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以不存在這樣的實(shí)數(shù)a.

對(duì)于法一和法二得到的結(jié)論學(xué)生都非常認(rèn)同，而對(duì)于法三得到的結(jié)論學(xué)生花了很長(zhǎng)時(shí)間也找不出錯(cuò)在什么地方. 這時(shí)筆者重點(diǎn)讓學(xué)生觀察法二與法三，讓他們相互討論，找找不同之處. 終于，大約過了三分鐘，有一個(gè)學(xué)生站起來回答說：法三的函數(shù)T（x）=在區(qū)間

上不連續(xù)，因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí)它沒有意義，而法二不存在這樣的問題. 哦，原來是定義域發(fā)生了改變，導(dǎo)致問題不等價(jià)了.“都是定義域惹的禍”，學(xué)生說出了發(fā)自內(nèi)心的感慨！的確，T（x）=只能說是在

上單調(diào)遞減，在（2，e）上也單調(diào)遞減. 這樣數(shù)形結(jié)合可得1

以上例子說明，凡是跟函數(shù)有關(guān)的問題，我們都應(yīng)該以函數(shù)的定義域作為研究問題的出發(fā)點(diǎn)，我們每變換一個(gè)角度去思考問題，都應(yīng)該考慮問題的等價(jià)性，即定義域是否發(fā)生了改變. 古人云：“失之毫厘，謬以千里.” 任何一個(gè)細(xì)節(jié)的改變都有可能改變整個(gè)問題的局勢(shì). 如果我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)實(shí)際中，多跟我們的學(xué)生強(qiáng)調(diào)定義域的重要性，讓他們時(shí)刻提高警惕，我想“都是定義域惹的禍”這樣的感嘆將會(huì)變少，我們的學(xué)生也可以從中提高質(zhì)疑辨析的能力，從而為整個(gè)高中數(shù)學(xué)乃至人生的學(xué)習(xí)帶來寶貴的財(cái)富.