劉明

摘 要：負遷移會阻礙新的知識技能的形成，學(xué)生學(xué)習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)的難點、錯誤和問題，不少是因為負遷移的規(guī)律引起的. 初中時學(xué)習(xí)的“圓的切線”概念，由于負遷移的作用，會對后來學(xué)習(xí)一般曲線切線的概念產(chǎn)生消極影響，本文通過具體的例子，分析學(xué)生在概念理解中出現(xiàn)的各種錯誤原因，幫助學(xué)生正確理解切線概念，形成正確的知識結(jié)構(gòu).

關(guān)鍵詞：切線；概念；理解；切線求法

心理學(xué)上有個概念叫做“負遷移”，它是指過去形成的知識技能對學(xué)習(xí)新的知識技能起消極影響，阻礙新的知識技能的形成. 學(xué)生學(xué)習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)的難點、錯誤和問題，不少是因為負遷移的規(guī)律引起的，如許多學(xué)生在學(xué)習(xí)“曲線切線”這一概念時，會受到初中所學(xué)的“圓的切線”的概念的影響，導(dǎo)致對曲線切線的理解存在偏差，這就是負遷移對學(xué)習(xí)的影響. 本文旨在幫助學(xué)生更好地理解切線的概念，正確求解曲線的切線方程.

問題產(chǎn)生——這不是切線

在課堂上講解（蘇教版高中《數(shù)學(xué)》選修1-1）P62練習(xí)第二題第（3）題時，

題目：在下列三個圖中（這里僅選取出錯的第（3）題圖）（如圖1），直線l為曲線在點P處的切線，分別求l的斜率：

有學(xué)生發(fā)出這樣的疑問：

學(xué)生：直線l好像不是曲線的切線？

教師：為什么？

學(xué)生：因為它和曲線有兩個交點，在直線兩旁都有圖形.

這位學(xué)生的觀點得到許多學(xué)生的贊同，這也引發(fā)筆者的思考：學(xué)生們?yōu)槭裁磿羞@樣的認識？這不是對切線的定義沒有完全理解嗎？要解決這個問題，看來還要從根本上解決.

教師：為什么有這樣的想法？

學(xué)生：初中學(xué)過：直線和圓相切?有唯一公共點，所以切線和曲線應(yīng)該只有唯一交點，而這里出現(xiàn)了兩個，所以不是切線.

溯本求源——什么是曲線的切線

要想準確理解曲線切線的含義，先搞清楚它是如何定義的.

1. 初中課本上切線的定義

切線這一概念是在九年級“圓”中第一次學(xué)習(xí)，蘇科版義務(wù)教育課程標準實驗教科書《數(shù)學(xué)》九年級下冊是這樣給出圓的切線：直線與圓有唯一公共點時，叫做直線與圓相切. 點叫做切點，直線叫做圓的切線.

在初中把圓的切線定義為“與圓只有一個交點的直線”，這個說法在初中階段是適當?shù)?，由于教材中沒有加以說明，也由于大多數(shù)初中數(shù)學(xué)教師或囿于《課程標準》的要求，或囿于自身的業(yè)務(wù)水平，沒有做過多的解釋，從而導(dǎo)致學(xué)生認為切線和曲線就只有一個交點，不少學(xué)生把“圓與直線的相切”推廣到了“一般曲線與直線的相切”，這就是負遷移對后續(xù)學(xué)習(xí)的影響.

2. 高中課本上切線的定義

高等數(shù)學(xué)中定義曲線的切線（包括空間曲線）是曲線割線的極限位置的直線，在蘇教版普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學(xué)》選修1-1（選修2-2）給出了嚴格的定義：如圖2，設(shè)Q為曲線上不同于P的一點，這時，直線PQ稱為曲線的割線，隨著點Q沿曲線C向點P運動，割線PQ在點P附近越來越逼近曲線C，當點Q無限靠近點P時，直線PQ最終就成為在點P處的最逼近曲線的直線l，這條直線l稱為曲線在點P處的切線.

3. 切線含義的理解

我們是先通過直線與圓的相切關(guān)系，然后隨著研究曲線的形狀的變化，引進割線的極限狀態(tài)來定義曲線的切線. 因此，對曲線的切線，我們可以這樣理解：

（1）采用以直代曲，無限逼近的極限思想，曲線C在P點處的切線是割線PQ的極限位置；

（2）在某切點P處的切線，只與曲線在該點的小領(lǐng)域內(nèi)的形態(tài)有關(guān)，反映的是曲線的局部特征，因此，不能強調(diào)與曲線只有一個交點；

（3）圖形不一定都在直線的同側(cè)（書上的圖形畫得有點特殊，也導(dǎo)致學(xué)生的理解錯誤）；

（4）曲線的切線定義是圓的切線的定義的推廣，圓的切線只是曲線的切線的一個特例. 一般曲線切線的所有結(jié)論，對圓的切線都適用，但圓的切線結(jié)論對一般曲線的切線并不成立.

評析：此題切線與曲線有唯一交點，但同時，y軸（或平行于y軸的直線）也與曲線只有一個交點，但它顯然不是曲線的切線，所以說直線與曲線有唯一交點不一定是切線（要是切線的話，必須該點為切點）. 這個例子可以說明初中有關(guān)圓的切線的定義不能向一般曲線推廣.

2. 曲線的切線與曲線可能有許多個交點

例2 求余弦函數(shù)y=cosx在點A（0，1）處的切線.

評析：畫出圖象，我們可以發(fā)現(xiàn)，它和曲線有無數(shù)個交點，且都為切點. 可見，曲線的切線與曲線的交點不一定是一個、二個，還可以有無數(shù)個. 因此，只看曲線和直線的交點個數(shù)是無法判斷直線與曲線相切的，但是，我們可以說，曲線的切線存在時，在該點處的某個鄰域內(nèi)，切線只與曲線有一個交點.

3. 曲線的圖象不一定位于切線的同側(cè)

通過圖象我們可以看出曲線并不是在切線的一側(cè)，而是在兩側(cè).

4. 可導(dǎo)性與切線的關(guān)系

一般來說，曲線在某點處可導(dǎo)則曲線在某點處一定有切線，切線斜率也存在. 但反之，在某點的導(dǎo)數(shù)不存在，則過該點的切線可能存在，也可能不存在.

例4 求y=在x=0處的切線.

可知，在x=0處導(dǎo)數(shù)是不存在的，曲線的切線也不存在，因為，曲線切線是割線的極限位置的直線，而y=在x=0處定義域不是對稱的，在小于0的部分函數(shù)沒有定義，在高等數(shù)學(xué)中，有單側(cè)極限和導(dǎo)數(shù)的定義，但對于切線來講總是雙側(cè)極限.

[?] 求曲線的切線方程

求切線方程時，要注意是“在”還是“過”，若是“在某點處”，則該點為切點；若是“過某點處”，則該點未必是切點，先設(shè)切點，求出切線方程的通解，再代入點的坐標即可. 在高考試卷中，求切線方程，一般在第（1）問出現(xiàn)，難度也不大，如下面的例題.

例5 （2009全國卷）曲線y=在點P（1，1）處的切線方程為________.

分析：在點P處，則點P是切點. 易由點斜式求得切線方程為x+y-2=0.

例6 已知曲線y=x3+，則過點P（2，4）的切線方程是________.

分析：易驗證，點P在該曲線上，但點P不一定是切點，所以，設(shè)切點，用通法求.

解：設(shè)切點坐標為（x0，y0），由導(dǎo)數(shù)定義可得，則k=x，所以切線方程為y-y0= x（x-x0），因切線過點（2，4），則有4-y0= x（2-x0），又因為y0=x+，解得x0=2或-1，切線斜率是1或4，故所求切線方程