樊建麗

摘要：本文簡要介紹了《勾股定理》的課堂教學過程，分析了教師是如何引導學生進行《勾股定理》的學習的，希望能給廣大數(shù)學教師帶來一定的啟示和幫助。

關鍵詞：數(shù)學教學；《勾股定理》；課堂教學實錄；教師；學生

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2013）09-0109

教學內(nèi)容：浙教版《義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》八年級上冊第二章第六節(jié)第一課時。

一、教學目標

1. 經(jīng)歷動手操作、實驗觀察、歸納猜想、驗證等探索勾股定理的過程，培養(yǎng)學生探索能力，發(fā)展學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法；2. 在探索勾股定理的教學中，堅持育人為本、德育為先，促進學生的全面發(fā)展；3. 通過探究勾股定理的正確性及數(shù)學史的介紹，讓學生感受勾股定理的輝煌成果。

二、教學重點與難點分析

1. 重點：體驗勾股定理的探索過程。2. 難點：用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關系，因既具嚴密性，又具直觀性，對于八年級學生的認知特點與已有知識基礎學生較難理解。

三、學情分析

八年級的學生已經(jīng)具備一定的觀察、猜測、歸納、推理和找規(guī)律的能力，但將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用于任意一個直角三角形三邊數(shù)量關系時，因測量的誤差，產(chǎn)生思維沖突，學生不知所措。雖然學生在七下已接觸過用幾何圖形的截、割、拼、補來證明乘法公式，但因其既具嚴密性，又具直觀性，學生較難想到用面積法證明代數(shù)式之間的恒等關系。

四、教學準備

學生：每一合作小組課前制作四個全等的直角三角形（非等腰直角三角形）硬紙片。

教師：制作多媒體課件和準備邊長1厘米的方格紙（全班每人一張）

師：這是一幅其他星球的圖片，人類一直想要弄清楚其他星球上是否存在著“外星人”，并試圖與“他們”取得聯(lián)系，那么我們怎樣才能與“外星人”接觸呢？

生：發(fā)送一些信息。

師：我國數(shù)學家華羅庚曾建議發(fā)射“勾股定理”

圖為與“外星人”聯(lián)系的信號。華羅庚為什么會想到用“勾股定理”的圖作為一種“語言”與“外星人”聯(lián)系呢？學了這節(jié)課就能明白其中的道理了，先讓我們一起來觀察“勾股定理”圖是由哪些圖形組成的。

生：三個正方形與一個直角三角形組成。

師：從這圖中還能發(fā)現(xiàn)什么嗎？

生：三個正方形的邊長分別與這個直角三角形的邊長相等。以兩直角邊長為正方形的格子數(shù)之和恰好等于以斜邊長為正方形的格子數(shù)。

師：很好，你非常善于觀察，剛才發(fā)射勾股定理的圖是不在同一張方格紙中研究的?，F(xiàn)我們將借助同一張方格紙來探究正方形C的面積是否為25cm2。

師：拿出學習單，圖中是在邊長為1厘米的方格紙上， 以直角

三角形的三邊長分別向外作正方形，如右圖所示，試探索正方形C面積是否為25cm2（每組至少講出兩種方法并與其他組的同學交流）。

（學生討論劇烈，三分鐘后）

師：請借助實物投影儀展示你組內(nèi)的方法。

生1：法一，測量出正方形C的邊長為5cm，面積為25cm2；法二，以正方形的一個頂點為圓心、以正方形的邊長為半徑畫弧，弧恰好經(jīng)過某一格點且與這一頂點距離恰好為5cm。

師：很棒，通過測量與作圖是發(fā)現(xiàn)問題的很好手段，還有其他方法嗎？

生2：如圖二，將正方形C分割為四個全等的直角三角形和一個小正方形， SC=4×■×3×4+1=25。

生3：如圖3，在正方形C外補四個全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面積減去四個直角三角形的面積， SC=72-4×■×3×4=25。

師：剛才兩位同學用了割與補的方法，這是求面積的常用方法。

生4：如圖3，正方形C中除去中間5個小正方形外，將周圍部分適當拼接可成為正方形，如圖3中兩塊紅色（或兩塊綠色）部分可拼成一個小正方形，按此拼法，SC=2×4+5=13。

師：這組同學真得很善于思考，用截與拼的方法將周圍部分適當拼接可拼成一個正方形以便求出面積。

師：請你們整理一下思路，在求正方形C的面積時用了哪些方法。

生齊：測量、割、補、截拼數(shù)的方法。

師：通過剛才的研究我們發(fā)現(xiàn)圖中三個正方形A，B，C的面積（生：SA+SB=SC）

師：還能發(fā)現(xiàn)什么？

生：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

師：是否所有的直角三角形三邊都具有這種數(shù)量關系呢？我們該如何研究呢？

生：我們可以通過畫很多直角三角形，然后測量出三邊長后，猜測出三邊關系。

師：猜測的確是發(fā)現(xiàn)真理的很好途徑。華羅庚先生曾指出：“形少數(shù)時難入微”，我們先從最簡單的三組整數(shù)邊長來尋找直角三角形的三邊數(shù)量關系，拿出學習單，借助方格紙畫好滿足條件的三個直角三角形并將表格補充完整。

師：符合剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

生：符合。

師：很好，剛才我們是通過特殊的三個例子符合剛才發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，我們都知道這種特殊的例子不具有代表性，因此，我們要任意畫一個直角三角形去通過測量看是否符合我們剛才所得到的結(jié)論。

生：兩直角邊的平方和與斜邊的平方近似相等。

師：誰能說說其中的道理嗎？

生：因為測量存在誤差。

師：是的，我們僅憑實驗得出的結(jié)論不一定可靠。

師：那你知道怎樣得出的結(jié)論一定是正確的。

生：通過推理得到的結(jié)論一定是正確的。

師：你這種嚴謹?shù)膶W習態(tài)度值得我們學習。下面我們通過什么方式來推斷此結(jié)論是否正確。

（學生陷入思考，師引導學生）

師：請大家回想，平方差公式是如何驗證的。

生：通過拼圖來驗證結(jié)論是否正確。

師：拿出課前準備好的四個全等的直角三角形（設直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c），怎樣拼，能驗證a2+b2=c2。

生：若能拼一個含有以斜邊c為邊的正方形，就能得到c2。

師：請將拼好的正方形貼到黑板上，有不同拼法的小組也到黑板上展示，同時，教師將拼成的圖形畫在黑板上，并請兩位同學寫出推理過程，其他同學在草稿紙上寫出推理過程。

師：像這種用推理的方法判斷直角三角形三邊數(shù)量關系為正確的命題為定理，古人稱這一為定理為勾股定理。

師：請大家整理一下思路，我們怎樣研究一個命題是否是正確的。

生：先由特殊的三組數(shù)，通過畫圖、測量得到猜想，再借助拼圖，通過同一圖形面積的兩種不同求法進行推理驗證得到。

師：“先猜、后證”就是大多數(shù)科學家的發(fā)現(xiàn)之道。

師：請你結(jié)合圖形語言、文字語言、寫出直角三角形三邊數(shù)量關系的符號語言。

生：∵∠C=90°，∴a2+b2=c2或AC2+BC2=AB2。

師：是不是直角三角形的三邊是否也具有這種關系呢？在方格紙上畫一個銳角或鈍角三角形測量三邊是否具有這三種關系？

生：只有直角三角形的三邊長才具備這種數(shù)量關系。

師：研究直角三角形三邊的數(shù)量關系是我國早在三千多年前，周朝數(shù)學家商高就已提出，請看數(shù)學書第38頁，一起讀。

師：教師在課前也找了些關于勾股定理的數(shù)學史，請看幻燈片。

師：你知道現(xiàn)在數(shù)學界為什么把它稱為勾股定理了吧？

生：因為我國發(fā)現(xiàn)最早。

師：現(xiàn)在你明白華羅庚為什么會想到用“勾股定理”的圖作為一種“語言”與“外星人”聯(lián)系的道理了吧？其實，剛才在驗證勾股定理時，你們拼的圖就是三國時期吳國的數(shù)學家趙爽創(chuàng)制的“勾股圓方圖”又稱“弦圖”?；脽羝鍪荆?/p>

師：你們也當了一回小小的數(shù)學家。

師：現(xiàn)在我們停下來想一想我們整個課的過程，我們怎樣得出這個結(jié)論的？我們通過畫圖、測量猜測出規(guī)律，再通過拼圖、觀察、抽象（圖形）、推理概括（勾股定理）。實際上這也是科學家、數(shù)學家，在發(fā)現(xiàn)某一個定理或者是真理的時候進行的步驟。所以，大家的思維和數(shù)學家的思維還是蠻一致的。因此，筆者相信在不久的將來我們的學生里邊一定會有某位數(shù)學家或科學家的。

（作者單位：浙江省衢州市書院中學 324000）