頓繼安

（北京教育學(xué)院 數(shù)學(xué)系，北京 100044）

1 問(wèn)題的提出

美國(guó)學(xué)者舒爾曼（Shulman）1986年提出 PCK（Pedagogical Content Knowledge）理論，這一理論認(rèn)為學(xué)科教師僅具有學(xué)科知識(shí)和教學(xué)知識(shí)是不夠的，必須能夠?qū)W(xué)科知識(shí)與教學(xué)知識(shí)整合，也就是擁有特定內(nèi)容，學(xué)生是怎么思維的，該怎么教的知識(shí).PCK理論的提出源于傳統(tǒng)教師教育中學(xué)科知識(shí)與教學(xué)知識(shí)處于相互割裂狀態(tài)的情形，因此，一經(jīng)提出就得到了教師教育研究者的高度關(guān)注，以PCK理論為基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)教育研究者提出數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（MPCK），既關(guān)于某一特定的數(shù)學(xué)內(nèi)容該如何進(jìn)行表述、呈現(xiàn)和解釋，以使學(xué)生更容易接受和理解的知識(shí).PCK理論強(qiáng)調(diào)教師能夠“用學(xué)生能理解的方法來(lái)表述學(xué)科內(nèi)容的知識(shí)”，這對(duì)于教師占絕對(duì)控制地位的課堂有效性的提高至關(guān)重要.

然而，中國(guó)世紀(jì)之交啟動(dòng)的課程改革提出“以學(xué)生為主體”，“轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)方式”的要求，中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂更強(qiáng)調(diào)給學(xué)生思考、探究的機(jī)會(huì)，提倡教師的教要盡可能以學(xué)生在思考與探究中表現(xiàn)出的智慧與困難作為教學(xué)資源，實(shí)現(xiàn)教師的教與學(xué)生的學(xué)的有機(jī)融合.在這樣的背景下，中國(guó)中小學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐中遇到的突出問(wèn)題就是教師的預(yù)設(shè)與課堂的生成的矛盾，而這一矛盾的產(chǎn)生經(jīng)常帶來(lái)數(shù)學(xué)課堂中教與學(xué)“擦肩而過(guò)”現(xiàn)象的出現(xiàn).像教師給了學(xué)生思考與探索的時(shí)間，但是當(dāng)學(xué)生的探索與教師的預(yù)設(shè)不一致時(shí)，學(xué)生探索的方法和成果的潛在價(jià)值得不到珍視，學(xué)生的困難與問(wèn)題也得不到分析和解決，此時(shí)教師教的活動(dòng)并沒能有效地服務(wù)于學(xué)生學(xué)的活動(dòng)，這里稱這一現(xiàn)象為教與學(xué)“擦肩而過(guò)”的現(xiàn)象.

研究表明，如果用PCK理論解釋教與學(xué)“擦肩而過(guò)”的現(xiàn)象就是教師缺乏“關(guān)于特定內(nèi)容的教學(xué)知識(shí)”，但是，這種解釋將問(wèn)題歸因于表面，不利于解決教師專業(yè)發(fā)展中的根本問(wèn)題.

2 兩個(gè)案例

下面的兩個(gè)案例分別來(lái)自五年級(jí)教師和九年級(jí)教師，是研究者根據(jù)自身親歷的兩位老師的備課、上課和教師的課后研討過(guò)程所獲得的資料加以組織形成的.

案例1：最小公倍數(shù)（五年級(jí)）

授課教師背景：A老師，北京市中心城區(qū)某小學(xué)高級(jí)教師，區(qū)級(jí)骨干教師，教齡17年.

受A老師所在學(xué)校的邀請(qǐng)，研究者參與了A老師“最小公倍數(shù)”一課的研討活動(dòng)，經(jīng)歷了備課、上課、課后研討的完整過(guò)程.

備課時(shí)，研究者建議，最小公倍數(shù)的定義是計(jì)算最小公倍數(shù)的基礎(chǔ)，因此，定義得出后，不妨給學(xué)生一個(gè)探究的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生先利用最小公倍數(shù)的定義求出兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，然后教師組織同學(xué)一起總結(jié)規(guī)律，找到更加便捷的求最小公倍數(shù)的方法——因數(shù)分解法.

A老師接受了建議，決定嘗試一下.

上課時(shí)，在得到最小公倍數(shù)的概念后，A老師首先請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立解決幾個(gè)求最小公倍數(shù)的題目：（1）[1, 7]；（2）[5, 6]；（3）[9, 15]；（4）[2, 8]；（5）[4, 9]；（6）[8, 12].

大約5分鐘后，A老師組織同學(xué)進(jìn)行交流.

師：你們認(rèn)為哪些題目最好算？

生（齊答）：第1題和第4題最好算.

師：怎么好算了？

生1：因?yàn)榈?題中的1和7、第4題中的2和8有倍數(shù)關(guān)系，最小公倍數(shù)就是其中的大數(shù).

師：我們發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)有倍數(shù)關(guān)系的數(shù)的最小公倍數(shù)就是其中的大數(shù)，非常好.那么，比這兩個(gè)稍好算一些的呢？

生2：[5, 6]這兩個(gè)數(shù)是相鄰的，相鄰的數(shù)相乘就是最小公倍數(shù).

生3：不僅是[5, 6]，[4, 9]=36，我認(rèn)為如果兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，那么最小公倍數(shù)就是兩個(gè)數(shù)相乘.

師：我們又找到了一個(gè)規(guī)律，很好.[9, 15]這個(gè)題目你們是怎么算的？

生4：我用的是列舉法，先列出9的倍數(shù)：9、18、36、45，發(fā)現(xiàn)45也是15的倍數(shù)，最小公倍數(shù)就是各自的倍數(shù)，所以9和15的最小公倍數(shù)就是45.

生 5（主動(dòng)舉手）：老師，我慢慢發(fā)現(xiàn)，這種題也有簡(jiǎn)便方法，就是用最小公因數(shù)乘以大數(shù)：3×15=45……

師（打斷生5）：最小公因數(shù)？9和15的最小公因數(shù)是3嗎？

生5：哦，是用不是1的那個(gè)最小公因數(shù).我驗(yàn)證了，[8, 12]這個(gè)題目也行，它們（不是1的）的最小公因數(shù)是2，用2×12=24.

此時(shí)其他同學(xué)沒有反應(yīng)，A老師評(píng)論道：哦，你的發(fā)現(xiàn)挺好，但是對(duì)所有數(shù)都能用嗎？下課你再研究研究.下面我們一起來(lái)看怎么求這種情況下的兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù).

接下來(lái)，A老師向同學(xué)介紹了求最小公倍數(shù)的因數(shù)分解法.

下課后，研究者（記為D）對(duì)A老師進(jìn)行了訪談：

D：你感覺怎么樣？

A：開始感覺挺好的，沒想到學(xué)生說(shuō)得這么好，但生 5說(shuō)出她的方法后就有點(diǎn)亂了.

D：你怎么看生5的方法？

A：我也不知道她的方法對(duì)不對(duì)，不知道該怎么辦了！

D：我們來(lái)分析一下生5的方法.首先，她的發(fā)現(xiàn)適用范圍有限，比如，對(duì)于6、12就不適用；但是既然適用于[9,15]、[8, 12]，就一定有其道理，你看，對(duì)于[9, 15]=3×15，15顯然是題目給的，那3從哪里來(lái)的？從9中出來(lái)的，可是9中有兩個(gè)3（9=3×3），為什么只給了最小公倍數(shù)1個(gè)？另一個(gè)哪里去了？“藏”在15中了.這樣，生6的發(fā)現(xiàn)是不是就有一般意義了：任意兩個(gè)數(shù)求最小公倍數(shù)，一個(gè)數(shù)做因數(shù)，另一個(gè)數(shù)中比這個(gè)數(shù)“多”出來(lái)的因數(shù)也是最小公倍數(shù)的因數(shù)，這不就是因式分解求最小公倍數(shù)的原理嗎？

A：哦！原來(lái)是這樣，以前上課從沒遇到過(guò)這種情況，就不知道怎么處理了.

案例2：圓周角定理（九年級(jí)）

授課教師背景：B老師，北京市某郊區(qū)中學(xué)一級(jí)教師，校級(jí)骨干教師，教齡7年.

“圓周角定理”是指：一條弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，如圖1所示∠BOC＝2∠BAC.

圖1 圓周角定理

備課時(shí)，B老師通過(guò)問(wèn)卷進(jìn)行了學(xué)生調(diào)研，在回答“在與圓相關(guān)的計(jì)算和證明中常常需要添加輔助線，對(duì)于添加輔助線你有什么經(jīng)驗(yàn)”的問(wèn)題時(shí)，全班26名學(xué)生，有18名同學(xué)提到了“添加半徑”.B老師分析道：學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)是添加半徑、構(gòu)造等腰三角形，但是這個(gè)定理的證明要添加直徑（引自B老師的教學(xué)設(shè)計(jì)）.

添加直徑是教科書上的證明方法：

按照?qǐng)A周角與圓心的關(guān)系分為3種情況（如圖1所示）.

在圖1（a）中，∠BOC是等腰三角形AOC的頂角的外角，所以：∠BOC=2∠BAC.

圖1（b）和圖1（c）中，通過(guò)添加直徑AD轉(zhuǎn)化為圖1（a）的情況即可.

課堂教學(xué)中，圖1（a）和圖1（b）的情況比較順利，但是面對(duì)圖 1（c）所示情況，學(xué)生普遍遇到了困難，不能完成添加直徑轉(zhuǎn)化為第一種情況的工作.此時(shí)，B老師做了引導(dǎo)，分析了圖1（c）和圖1（a）的關(guān)系，并連接了直徑，然而，仍有許多學(xué)生處于困惑中，于是 B老師用彩色的粉筆，又仔細(xì)地描出對(duì)應(yīng)的角，引導(dǎo)學(xué)生與圖 1（a）進(jìn)行比對(duì)，這時(shí)才有學(xué)生說(shuō)“明白了”.

B老師在反思中寫道：

在證明的過(guò)程中，大多數(shù)學(xué)生都走了偏路.

最困難的就是圓心在圓周角外的情況了，學(xué)生似乎毫無(wú)辦法.即使有了前兩種情況做鋪墊，即使有的學(xué)生已經(jīng)正確地添加了輔助線，但是仍然不能證出.于是我用彩色的粉筆，仔細(xì)地描出不同的角，原來(lái)這是一個(gè)作差的過(guò)程.有的學(xué)生恍然大悟了.定理雖然證完了，但是卻沒有時(shí)間進(jìn)行定理的應(yīng)用.

研究者在課堂中，觀察到了這樣一幕：生W面對(duì)第三種（圖1（c））圖形時(shí)，連接半徑OA，于是問(wèn)道：“為什么連接OA？”

W解釋：這樣就得到了等腰△OAC.

問(wèn)：構(gòu)造等腰三角形有什么用呢？

W：就有等角了.

問(wèn)：那接下來(lái)呢？

W：還沒想好.

接下來(lái)，由于 B老師開始集中講解，該生沒有再繼續(xù)思考下去，但是該生在證明二倍角關(guān)系的時(shí)候能夠聯(lián)系起等腰三角形，這種思路是合理的，是不是也能夠?qū)е聠?wèn)題解決呢？研究者開始思考，得到了本題的另外一種證明方法.

因?yàn)椤鱋AC是等腰三角形，∠DOC是頂角的外角，所以∠DOC＝2∠OAC.

而題目要得到的結(jié)果是：∠BOC＝2∠BAC，比較兩式發(fā)現(xiàn)左邊相差∠DOB，右邊相差2∠OAB，而這恰好是由半徑OA產(chǎn)生的等腰△OAB的頂角外角和底角，即∠DOB＝2∠OAB，于是問(wèn)題得以解決.

課后交流時(shí)，研究者將自己的觀察與分析與 B以及在場(chǎng)的十幾位老師交流時(shí)，大家也都感到驚詫：圓周角定理自己教了許多年，一直按照教科書的方式證明，也都知道添加直徑是難點(diǎn)，但卻沒想過(guò)添加半徑也能夠證出，甚至是問(wèn)題的本質(zhì)，其實(shí)具體的證明方法真的不重要，真正的困難恰是學(xué)生不能從自己的已有經(jīng)驗(yàn)和題目的具體特點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)不斷分析、調(diào)整、搭建題目條件與結(jié)論間的橋梁，直至解決問(wèn)題的過(guò)程——從這個(gè)意義上看，B老師的教與學(xué)“擦肩而過(guò)”了.

3 對(duì)案例的分析

上面的案例中，教師 A的課堂出現(xiàn)的是教師從未遇到過(guò)的“意外”.導(dǎo)致這種意外發(fā)生的原因在于教師預(yù)先不知道學(xué)生面對(duì)最小公倍數(shù)這一特定問(wèn)題會(huì)怎樣思維，用 PCK理論解釋就是：教師 A缺乏關(guān)于特定內(nèi)容的教學(xué)知識(shí)，如果有了這種知識(shí)，A老師就能夠更好地組織教學(xué)，避免教與學(xué)“擦肩而過(guò)”現(xiàn)象的發(fā)生.

顯然，與A老師不同的是，B老師遇到的是自己預(yù)想之中的情形：對(duì)學(xué)生的調(diào)查和 B自己的經(jīng)驗(yàn)都表明學(xué)生可能會(huì)添加半徑做輔助線，做等腰三角形.也即 B具有關(guān)于圓周角定理這一特定內(nèi)容學(xué)生是怎樣思考的知識(shí)，但是，B卻沒有看到學(xué)生的方法的價(jià)值.原因在于 B認(rèn)為“這個(gè)定理的證明要添加直徑”，其潛臺(tái)詞就是“添加半徑是解決不了問(wèn)題的”.所以，B沒有對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行分析的原因不在于其缺乏的“學(xué)生是怎樣思考的”知識(shí)，而是對(duì)圓周角定理的證明方法還有哪些，添加直徑這種證明方法與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中添加半徑的方法的關(guān)系是怎樣的缺乏思考和認(rèn)識(shí)——這本質(zhì)上是學(xué)科性知識(shí)，這種知識(shí)的缺失導(dǎo)致了 B的課堂中出現(xiàn)了教與學(xué)“擦肩而過(guò)”的現(xiàn)象.

實(shí)際上，如果進(jìn)一步比較B老師課堂上生W的表現(xiàn)與A老師的課堂上生5的表現(xiàn)，可以發(fā)現(xiàn)兩者之間具有很大的相似性.生5和生W在探究的過(guò)程中，首先發(fā)揮作用的是自身已有經(jīng)驗(yàn)或者直覺——而這也是數(shù)學(xué)研究工作者面對(duì)問(wèn)題時(shí)自然會(huì)產(chǎn)生的思維活動(dòng).如果再繼續(xù)對(duì)經(jīng)驗(yàn)或直覺進(jìn)行批判性分析，也許就能夠找到解決問(wèn)題的路徑，會(huì)發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤，而批判性分析在揭示了錯(cuò)誤原因的同時(shí)，還可能成為新的發(fā)現(xiàn)源泉，就像前面對(duì)生5的方法的分析那樣.

從這個(gè)意義上看，盡管表面上 A老師的課堂表現(xiàn)是由于出現(xiàn)了“意料之外”，在于不了解學(xué)生面對(duì)“最小公倍數(shù)”這一特定知識(shí)是如何思考的，但是根本原因在于 B老師的學(xué)科性知識(shí)的缺失.事實(shí)上，過(guò)于強(qiáng)調(diào)“特定內(nèi)容的思考方式”是不利于問(wèn)題解決的.數(shù)學(xué)知識(shí)浩如煙海，學(xué)生的思考方式更是五花八門，即使是同一個(gè)想法也可能會(huì)有不同的表現(xiàn)形式，即使有了幾十年的教學(xué)經(jīng)歷仍然不能窮盡所有的情形.以學(xué)生的思考、探索為基礎(chǔ)的課堂總會(huì)出現(xiàn)“意外”，因此，“特定內(nèi)容的教學(xué)知識(shí)”不應(yīng)該是影響其課堂決策的根本原因.從根本上看，解決 A老師問(wèn)題的關(guān)鍵仍然在于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科性知識(shí)，不是擴(kuò)充數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)量，而是提高學(xué)科知識(shí)的質(zhì)量，把重點(diǎn)放在提升教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程的認(rèn)識(shí)，幫助教師體會(huì)數(shù)學(xué)研究者面對(duì)問(wèn)題的探究、思考方式的特點(diǎn).

4 結(jié)論與討論

在以學(xué)生的思考、探究為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)課堂上，教師的教與學(xué)生的學(xué)出現(xiàn)“擦肩而過(guò)”現(xiàn)象的原因在于教師沒能讀懂學(xué)生的方法的潛在價(jià)值.要想解決這一問(wèn)題，可以根據(jù)PCK理論，補(bǔ)充教師的關(guān)于特定內(nèi)容的教學(xué)知識(shí).按照這一策略，需要梳理中小學(xué)數(shù)學(xué)所有內(nèi)容的教學(xué)知識(shí)，建立中（小）學(xué)數(shù)學(xué)PCK知識(shí)庫(kù)，作為數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)的內(nèi)容之一——這是一項(xiàng)浩大的工程，目前也正成為中國(guó)學(xué)者關(guān)于PCK研究的熱點(diǎn).

但是，PCK理論中對(duì)“特定內(nèi)容的教學(xué)知識(shí)”的強(qiáng)調(diào)存在著明顯弊端.一方面，如上所述，依靠“窮盡各種可能”的方式面對(duì)充滿活力和變數(shù)的學(xué)生探索過(guò)程是充滿風(fēng)險(xiǎn)的.更為重要的是，強(qiáng)調(diào)“特定內(nèi)容的教學(xué)知識(shí)”忽略了問(wèn)題的本質(zhì)，忽略了面對(duì)不同“特定內(nèi)容”的探索和學(xué)習(xí)過(guò)程中的共性，忽略了教學(xué)中出現(xiàn)的問(wèn)題的表層原因與根本原因的關(guān)系.這勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致張奠宙等批判的現(xiàn)象的出現(xiàn)：“數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)的內(nèi)容越來(lái)越泛化，只談怎么教，無(wú)關(guān)教什么.”正如前面的分析，與特定內(nèi)容的教學(xué)知識(shí)相比，教師的學(xué)科性知識(shí)的質(zhì)量是導(dǎo)致課堂中出現(xiàn)教與學(xué)“擦肩而過(guò)”現(xiàn)象的更為根本的原因.因此，解決問(wèn)題的根本途徑應(yīng)在于提高教師的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)水平，特別要重視數(shù)學(xué)學(xué)科性知識(shí)中的方法性知識(shí).即，讓老師們了解數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域中知識(shí)的產(chǎn)生方式，數(shù)學(xué)研究者面對(duì)問(wèn)題的探究、思考方式.

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