謝益民

（暨南大學(xué) 華文學(xué)院，廣東 廣州 510610）

數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教育有重要的價值，在引發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)、為數(shù)學(xué)增添“人情味”、了解數(shù)學(xué)思想發(fā)展過程以及構(gòu)筑數(shù)學(xué)與人文之間的橋梁等方面有不可忽視的作用．20世紀(jì)70年代起，HPM（History and Pedagogy of Mathematics）研究一直致力于數(shù)學(xué)史知識的史學(xué)形態(tài)向教育形態(tài)的轉(zhuǎn)化，使數(shù)學(xué)史為生動活潑的數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)．中國香港地區(qū)一綱多本的教科書制度已有五十多年，數(shù)學(xué)教學(xué)引入數(shù)學(xué)史已經(jīng)有相當(dāng)長的時間[1]，現(xiàn)行新學(xué)制仍將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課程置于重要地位，新課程指引[2]強(qiáng)調(diào)“學(xué)生應(yīng)欣賞數(shù)學(xué)中的美學(xué)及文化”、“課程亦包括個別數(shù)學(xué)課題的發(fā)展和歷史背景，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)如何從前人的努力中演變出來”以及“欣賞數(shù)學(xué)的精確性、美感和在文化方面的貢獻(xiàn)，以及其在人類活動上所發(fā)揮的作用”，等等．香港是中西文化交匯之地，因長期受西方思潮和傳統(tǒng)文化的浸染，數(shù)學(xué)課程具備兼收并蓄的特征，目前香港各版本高中數(shù)學(xué)教科書不同程度地融入了數(shù)學(xué)史料，這些數(shù)學(xué)史料在內(nèi)容選擇、內(nèi)容分布、呈現(xiàn)方式及內(nèi)容設(shè)計等編排方面頗具特色．這里以香港新學(xué)制新版高中數(shù)學(xué)教科書《數(shù)學(xué)新思維》（必修部分）[3]為例介紹并分析“數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教科書”的編排經(jīng)驗，以期能為中國內(nèi)地數(shù)學(xué)教科書編寫提供有益借鑒．

1 教科書內(nèi)容體系

教科書《數(shù)學(xué)新思維》（必修部分）分為A、B、C、D、E五冊，共22章，教學(xué)內(nèi)容涵蓋“數(shù)與代數(shù)”、“度量、圖形與空間”和“數(shù)據(jù)處理”3個學(xué)習(xí)范疇，其中A、B兩冊主要涉及“數(shù)與代數(shù)”范疇，C、D兩冊主要涉及“度量、圖形與空間”范疇，E冊主要涉及“數(shù)據(jù)處理”范疇．

每章末都設(shè)有“探究天地”單元，附設(shè)在教科書的每一章后面，但不作為一節(jié)，共有22個探究單元；每冊末還安排一個進(jìn)階學(xué)習(xí)單元“數(shù)學(xué)的進(jìn)一步應(yīng)用”，附設(shè)在每冊教科書最后，但不作為一章，共5個單元，涉及9個探究專題．各冊具體教學(xué)內(nèi)容如表1．

表1 各分冊的教學(xué)內(nèi)容

2 數(shù)學(xué)史融入教科書的編排特征

數(shù)學(xué)史融入教科書的編排是以文字、圖像、圖表等為基礎(chǔ)，并根據(jù)數(shù)學(xué)史元素和特定數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的需要進(jìn)行的一種組織構(gòu)造性設(shè)計，具有外部、內(nèi)部特征，數(shù)學(xué)史內(nèi)容選擇、內(nèi)容分布及呈現(xiàn)方式屬于外部編排特征；而數(shù)學(xué)史內(nèi)容設(shè)計卻體現(xiàn)了內(nèi)部編排特征，并表現(xiàn)出顯性與隱性的特質(zhì)．

2.1 教科書注重數(shù)學(xué)史內(nèi)容多元化

以知識點為單位，這套教科書中共有33處數(shù)學(xué)史內(nèi)容，具體內(nèi)容如表2．從整體來看，每冊教科書都編排了數(shù)學(xué)史內(nèi)容，體現(xiàn)出一定的廣度與連貫性，但數(shù)學(xué)史內(nèi)容主要集中在A、B兩冊，共有22處，占數(shù)學(xué)史知識點總數(shù)的66.7%，而這兩冊主要涉及“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)內(nèi)容，說明在香港高中教科書中“數(shù)與代數(shù)”方面的數(shù)學(xué)史內(nèi)容比較受重視，這應(yīng)與香港高中數(shù)學(xué)課程必修部分注重“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容的學(xué)習(xí)分不開的．所選數(shù)學(xué)史的類型主要有數(shù)學(xué)家的生平介紹及其成果、數(shù)學(xué)家的趣聞軼事、數(shù)學(xué)問題解決的一些經(jīng)典方法、數(shù)學(xué)知識形成與發(fā)展的相關(guān)史料以及經(jīng)典數(shù)學(xué)問題等，例如，A冊安排了“韋達(dá)生平介紹及其定理”，歐拉首創(chuàng)虛數(shù)單位 i等；B冊穿插了“塔塔利亞和費羅的數(shù)學(xué)比賽”；C冊重溫了“高斯等差數(shù)列快捷求和法”；D冊介紹了“線性規(guī)劃的發(fā)展”；E冊引用了“跳舞人字條里所蘊含的密碼學(xué)問題”．

表2 各分冊中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容

教科書中數(shù)學(xué)史內(nèi)容關(guān)涉12個國度（如表3），這些國家先后共被提及31次，但僅出現(xiàn)4次亞洲國家，中國僅兩次，出現(xiàn)頻率高的國度主要集中在歐洲地域，出現(xiàn)25次，占國家總頻數(shù)的80.6%，可見該教材比較注重歐洲圈的數(shù)學(xué)史滲透，這可能源于香港地區(qū)獨特的歷史與文化背景．另外，數(shù)學(xué)史內(nèi)容不是站在數(shù)學(xué)角度以史論史，而是廣涉藝術(shù)、哲學(xué)、測量學(xué)、軍事學(xué)等6個學(xué)科領(lǐng)域（如表3），例如探索太極圖背后的哲理、從軍事學(xué)視角了解線性規(guī)劃等，這就將數(shù)學(xué)史從多角度融入到數(shù)學(xué)教科書中．所選主題的史料關(guān)涉多個國度，廣泛融合多個學(xué)科領(lǐng)域，注重數(shù)學(xué)史的跨學(xué)科聯(lián)系，體現(xiàn)出內(nèi)容及學(xué)科領(lǐng)域的多元化特色．

2.2 教科書將數(shù)學(xué)史料融入數(shù)學(xué)探究課題

數(shù)學(xué)史內(nèi)容全部分布在相應(yīng)“內(nèi)容章節(jié)”、“探究天地（如圖1a）”、“數(shù)學(xué)的進(jìn)一步應(yīng)用（如圖1b）”，因“探究天地”與“數(shù)學(xué)的進(jìn)一步應(yīng)用”單元不作為“節(jié)”與“章”，故在此視作兩個獨立部分與“內(nèi)容章節(jié)”區(qū)分，如表4．

表3 各分冊數(shù)學(xué)史關(guān)涉國度與學(xué)科及頻數(shù)

圖1 教材圖示

表4 各分冊的數(shù)學(xué)史分布與呈現(xiàn)方式及頻數(shù)

“內(nèi)容章節(jié)”分為引言（如圖1c）、正文、例題與習(xí)題．引 言部分以數(shù)學(xué)史為背景安排了關(guān)于“二次方程”、“黃金比”、“測量”、與“太極圖”共4個探究性課題．正文部分是數(shù)學(xué)史分布的主陣地，共涉及20處，占數(shù)學(xué)史總數(shù)的60.6%，其中以節(jié)為單位，分布在各節(jié)的有11處；整節(jié)以史為主線的有兩處；旁注共7處．值得一提的是，“數(shù)系”與“對數(shù)函數(shù)的發(fā)展”這兩節(jié)內(nèi)容整節(jié)以史為主要線索展開數(shù)學(xué)探究活動，輔以案例、例題闡釋歷史發(fā)展過程中的疑惑．在例題與習(xí)題里很少或沒有涉及數(shù)學(xué)史內(nèi)容，不失為一大遺憾．此外，數(shù)學(xué)史內(nèi)容分布在“探究天地”與“數(shù)學(xué)的進(jìn)一步應(yīng)用”的探究活動中，“探究天地”共設(shè) 22個探究單元，其中 3個探究單元以數(shù)學(xué)史作為背景引出或展開，占探究單元總數(shù)的13.6%；“數(shù)學(xué)的進(jìn)一步應(yīng)用”共設(shè)有9個探究性專題（如表 1），其中斐波那契數(shù)列、三次方程、托勒密定理、塞瓦定理與密碼學(xué)5個探究性專題以數(shù)學(xué)史為背景展開，占探究性專題總數(shù)的55.5%，以史為載體的探究活動更富有文化味與人情味，對學(xué)生更有親和力，易引起學(xué)生的探究興趣與樂趣．

2.3 教科書以“螺旋上升”形式編排重要史料內(nèi)容

該教科書中的數(shù)學(xué)史編排并非某處教學(xué)內(nèi)容的點綴，而是以“螺旋上升”的形式將不同課題內(nèi)容相互關(guān)聯(lián)．例如A冊第二章引言部分是關(guān)于“黃金比”的探究性問題，本章末的“探究天地”繼續(xù)探索“黃金比在藝術(shù)中的應(yīng)用”，A冊與 C冊的“數(shù)學(xué)的進(jìn)一步應(yīng)用”單元分別編排“斐波那契數(shù)列”與“托勒密定理”，而且都涉及“黃金比”，這體現(xiàn)了該教科書中數(shù)學(xué)史分布的銜接性與統(tǒng)整性．以此為基礎(chǔ)，完全可以再衍生出關(guān)于“黃金比”的更深入的探究專題，這為師生用好教科書留下了更多的思考空間．顯然這種數(shù)學(xué)史編排設(shè)計符合學(xué)生認(rèn)知水平發(fā)展，也可以幫助教師預(yù)測和解釋學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能出現(xiàn)的障礙和錯誤．

2.4 教科書運用“歷史地圖”的獨特呈現(xiàn)方式

通過表4，可以看出教科書中的數(shù)學(xué)史除在一處僅以文字?jǐn)⑹鲋?，其它均以文字、圖片配合呈現(xiàn)為主，圖片主要有人物肖像、歷史圖案、數(shù)學(xué)圖案與歷史地圖等類型，值得注意的是，在“數(shù)系”一節(jié)末配以一幅世界地圖闡述數(shù)系的發(fā)展史（如圖 1d）”，這種呈現(xiàn)方式似乎將數(shù)系的曲折發(fā)展過程演繹成了一個生動而有趣的歷史故事．在數(shù)學(xué)教科書中以文字、圖片呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史內(nèi)容是公認(rèn)的呈現(xiàn)方式，而“歷史地圖”似乎是歷史教科書的專利，但該套高中數(shù)學(xué)教科書以“歷史地圖”的方式在一幅世界地圖上生動再現(xiàn)數(shù)系的曲折發(fā)展歷程，這可能比任何其它方式都更容易使學(xué)生在頭腦中構(gòu)建數(shù)系及其發(fā)展歷程的圖式．

2.5 教科書融合多種數(shù)學(xué)史內(nèi)容設(shè)計模式

該套教科書沒有閱讀材料式的數(shù)學(xué)史內(nèi)容編排，數(shù)學(xué)史內(nèi)容均融合到各個章節(jié)以及相應(yīng)探究專題中，體現(xiàn)出“數(shù)學(xué)史融入教學(xué)內(nèi)容”、“數(shù)學(xué)史為主線的教學(xué)內(nèi)容”與“以史料為背景引出探究課題”3種設(shè)計模式．第一種設(shè)計模式以學(xué)習(xí)內(nèi)容為主線，把蘊含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)史的文化教育功能發(fā)揮出來，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、欣賞數(shù)學(xué)的美感及文化感的同時并能體驗數(shù)學(xué)思想方法，這是隱性融入的取向，如“高斯等差數(shù)列快捷求和方法”將數(shù)學(xué)思想方法完全融入教學(xué)內(nèi)容．后兩種設(shè)計模式蘊含“學(xué)習(xí)內(nèi)容引出數(shù)學(xué)史”和“數(shù)學(xué)史引出學(xué)習(xí)內(nèi)容”的理念，是數(shù)學(xué)史引領(lǐng)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，使學(xué)生置身于歷史境遇中，對相關(guān)知識點形成歷史性理解，具有顯性融入的特質(zhì)，例如“對數(shù)函數(shù)的發(fā)展”是“數(shù)學(xué)史為主線的教學(xué)內(nèi)容”的模式，由對數(shù)相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容引出數(shù)學(xué)史．涉及數(shù)學(xué)史的“引言”、“探究天地”及“數(shù)學(xué)的進(jìn)一步應(yīng)用”是“以史料為背景引出探究課題”的模式，以數(shù)學(xué)史作為背景內(nèi)容引出學(xué)習(xí)內(nèi)容．

3 香港經(jīng)驗對中國內(nèi)地數(shù)學(xué)教科書編寫的啟示

隨著HPM研究不斷深入，學(xué)界就數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之關(guān)聯(lián)提出了一系列理論，其中“歷史發(fā)生原理”[4]認(rèn)為個體數(shù)學(xué)理解的發(fā)展遵循數(shù)學(xué)思想的歷史發(fā)展順序，這是運用數(shù)學(xué)史于數(shù)學(xué)教育的重要理論基礎(chǔ)之一．“歷史發(fā)生原理”在縱向維度提供一個衡量現(xiàn)行知識編排合理性的標(biāo)準(zhǔn)，同時也為設(shè)置更加符合學(xué)生認(rèn)知過程的課程提供了指導(dǎo)；在橫向維度上又為研究者提供了更加有效地利用歷史元素設(shè)計教學(xué)的方法．香港高中教科書融入數(shù)學(xué)史的編排中不乏踐行了“歷史發(fā)生原理”的理念，其有益經(jīng)驗?zāi)転橹袊鴥?nèi)地高中數(shù)學(xué)教科書的編寫提供借鑒．

首先，教科書中數(shù)學(xué)史內(nèi)容選擇要注重多元化．多元化不僅要尊重內(nèi)容及學(xué)科領(lǐng)域多元化，也要尊重文化多元化，這樣學(xué)生自然會看到數(shù)學(xué)世界多姿多彩的一面．內(nèi)地高中數(shù)學(xué)教科書中數(shù)學(xué)史主要集中在數(shù)學(xué)家生平、歷史名題等內(nèi)容的介紹，內(nèi)容及學(xué)科領(lǐng)域多元化顯然體現(xiàn)還不夠．?dāng)?shù)學(xué)史料的內(nèi)容及學(xué)科領(lǐng)域多元化并非將所有與課程內(nèi)容相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)史編入教科書，而是要本著學(xué)生能接受并能促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的深入理解的原則，針對教科書中不同內(nèi)容來選取與其相關(guān)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，并將發(fā)散的多領(lǐng)域多學(xué)科的搜索聚斂到數(shù)學(xué)學(xué)科的核心本位，即以數(shù)學(xué)為中心輻射其它領(lǐng)域，而其實課題與課題間在歷史上顯然不是孤立地發(fā)展起來，個中之脈絡(luò)是最自然的聯(lián)系．文化多元化也是不可或缺的，“老是講中國數(shù)學(xué)比西方數(shù)學(xué)早多少年”[5]的爭論易引發(fā)文化沙文主義（chauvinism）和狹隘民族主義，數(shù)學(xué)史料來源既要照顧民族感情，又要有國際胸懷，如“勾股定理”與“畢氏定理”、“楊輝三角”與“帕斯卡三角”可以同時在教科書中加以標(biāo)注，以照顧不同的文化情懷．

其次，教科書中數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)手段應(yīng)強(qiáng)調(diào)多樣化．在呈現(xiàn)途徑上，內(nèi)地教科書中數(shù)學(xué)史在“閱讀材料”和旁注中呈現(xiàn)居多，如某套新課程標(biāo)準(zhǔn)高中數(shù)學(xué)必修教材中，數(shù)學(xué)史的有關(guān)內(nèi)容共有22處，這些數(shù)學(xué)史內(nèi)容分別出現(xiàn)在正文、例題、習(xí)題和閱讀材料中，其中閱讀材料占 63.64%[6]．在呈現(xiàn)方式上，內(nèi)地高中教科書中數(shù)學(xué)史主要以文字呈現(xiàn)，如某套新課程標(biāo)準(zhǔn)高中數(shù)學(xué)必修教科書中的數(shù)學(xué)史 73%以純文字給出，以純圖片形式給出的沒有[7]，顯然香港高中教科書中數(shù)學(xué)史“圖文并茂”的呈現(xiàn)方式值得借鑒．但在具體編寫過程中，“圖”、“文”以及“圖文組合”都可以多樣化，呈現(xiàn)形式要盡可能豐富化，以激起學(xué)生的興趣．由于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知過程和歷史上該知識的發(fā)展過程存在一定的相似性，在不少教學(xué)的情境中融入數(shù)學(xué)史的目的除了在數(shù)學(xué)加點“人味”并讓學(xué)生懂點數(shù)學(xué)史以外，更要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會歷史地思考與理解數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程，所以數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教科書是可以全方位、多樣化滲透．

最后，教科書中數(shù)學(xué)史內(nèi)容設(shè)計要兼顧多模式．雖然目前內(nèi)地現(xiàn)行高中教科書收錄了部分?jǐn)?shù)學(xué)史材料，但形式比較單一[8]，數(shù)學(xué)史融入方式大都采用“附加式”，基本是“閱讀材料式”的設(shè)計模式仍占主流，有些數(shù)學(xué)史料未作教育形態(tài)的加工，知識性與學(xué)術(shù)性太強(qiáng)，這種有“閱讀材料之嫌”的數(shù)學(xué)史易被忽視，這就很難為教師研制教學(xué)案例、開展課堂教學(xué)提供直接的、有效的素材，難以發(fā)揮應(yīng)有的價值[9]．想探討某些數(shù)學(xué)概念形成的來龍去脈，又或想設(shè)計一些專題活動、想豐富教學(xué)話題等，數(shù)學(xué)史均能提供尚佳的素材，甚至能為數(shù)學(xué)較佳的學(xué)生設(shè)計增潤活動[10]，所以需要兼顧多種設(shè)計模式將數(shù)學(xué)史料進(jìn)行教育形態(tài)的轉(zhuǎn)化，尤其要注重隱性融入模式的開發(fā)，“不提數(shù)學(xué)史，但用數(shù)學(xué)史”[11]，使數(shù)學(xué)史中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法更有效地融入教科書．另外，港版教科書中用數(shù)學(xué)史引出探究課題的設(shè)計范式無疑值得借鑒，這也剛好契合了中國內(nèi)地高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)推崇的三大新增版塊之一“數(shù)學(xué)探究”的理念．

總之，無論香港還是內(nèi)地，數(shù)學(xué)史在新數(shù)學(xué)課程改革中都得到了廣泛的重視，數(shù)學(xué)史不再是被邊緣化的學(xué)習(xí)內(nèi)容，已進(jìn)入數(shù)學(xué)知識體系的重要位置，在教科書中也占一席之地．當(dāng)前數(shù)學(xué)史走入數(shù)學(xué)課堂的焦點已不在于理論層面的“應(yīng)然性”探討，而在于具體教學(xué)行為中的“實然性”操作．盡管數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的國際研究已經(jīng)相當(dāng)廣泛和深入，多種融入模式對開展HPM實踐都有很好的、甚至是直接的參考和借鑒價值[12～17]，但最緊迫的是既要立足本土，又要放眼全球，發(fā)展出一套從中國的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)出發(fā)并融合國外數(shù)學(xué)文化，且適合國人的數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教科書的可操作模式，其中究竟如何更有效地促進(jìn)數(shù)學(xué)史料形態(tài)加工與轉(zhuǎn)化成教育形態(tài)并融入數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，這些都值得研究者們持續(xù)關(guān)注．

致謝：文章撰寫過程中承蒙導(dǎo)師宋乃慶教授的悉心指導(dǎo)，以及楊新榮博士的寶貴建議，在此一并深表謝意！

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[10]黃毅英．把數(shù)學(xué)史引進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)真是那么困難嗎[J]．HPM通訊，2005，8（10）：1-9．

[11]李紅婷．課改新視域：數(shù)學(xué)史走進(jìn)新課程[J]．課程·教材·教法，2005，25（9）：51-54．

[12]朱鳳琴，徐伯華．?dāng)?shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)模式的國際研究與啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2010，19（3）：22-25．

[13]王寬明，夏小剛．關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域的分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，18（6）：82-85．

[14]伏春玲，馮秀芳，董建德．?dāng)?shù)學(xué)文化在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，18（6）：89-92．

[15]李紅梅．?dāng)?shù)學(xué)文化教育中教師的緘默知識探討[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，18（3）：19-21．

[16]陳克勝，代欽．融入還是包容——關(guān)于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》中的“數(shù)學(xué)文化”的思考[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，18（5）：90-92．

[17]戴風(fēng)明．?dāng)?shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的缺失與對策[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（6）：74-76．