吳立寶

（1．北京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100875；2．內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641100）

1 問題提出

習(xí)題作為數(shù)學(xué)教科書的一個重要組成部分，有著鞏固和深化新知、補充與延伸新知、綜合運用新知、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法、診斷反饋補救與育人等功能．在數(shù)學(xué)教科書的編寫上，一個重要的環(huán)節(jié)就是建立配套的例習(xí)題體系，其在數(shù)量、水平、風(fēng)格和側(cè)重點上的差異既反映著一個國家數(shù)學(xué)教科書的整體水平、風(fēng)格和傾向，也對具體的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐產(chǎn)生了不可忽視的影響．畢竟無論學(xué)生數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)命題的掌握、數(shù)學(xué)方法和技能技巧的獲得，還是學(xué)生智能的培養(yǎng)和發(fā)展，都必須通過習(xí)題的解決來實現(xiàn)．因此選擇中國和澳大利亞兩個國家8年級數(shù)學(xué)教科書中的習(xí)題作為研究對象，以期對中國數(shù)學(xué)教科書習(xí)題編寫與使用提供參考與借鑒．

2 研究設(shè)計

2.1 研究對象

在中國，人民教育出版社出版的初中數(shù)學(xué)教科書使用面最廣，因此選取現(xiàn)行的人民教育出版社2008年出版的初中《數(shù)學(xué)》[1]（8年級上冊與下冊）教科書（以下簡稱PEPM）為代表．PEPM教科書正文部分包含著 10章30節(jié)：上冊177頁，下冊155頁，合計332頁，其包含練習(xí)、習(xí)題與復(fù)習(xí)題為研究對象（練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)題統(tǒng)稱習(xí)題）．

澳大利亞是一個實行聯(lián)邦制的多元文化移民國家，共有6個州兩個領(lǐng)地，6個州包括昆士蘭州、維多利亞州、新南威爾士州、南澳、西澳、塔斯馬尼亞州；兩個領(lǐng)地則是北方領(lǐng)地和首都領(lǐng)地，沒有全國統(tǒng)一的數(shù)學(xué)教科書．選擇在維多利亞州廣泛使用的培生（Pearson）出版集團(tuán)出版的Heinemann Maths Zone 7-10 VELS Enhanced教科書，以Heinemann Maths Zone 8：Enhanced（以下簡稱 HMZ）[2]為代表．HMZ正文部分包含著11章89節(jié)，共計535頁（不包括答案 56頁），其教科書的課后習(xí)題與復(fù)習(xí)題為研究對象．

2.2 研究問題

主要從習(xí)題數(shù)量、類型、難易程度等3個方面來統(tǒng)計數(shù)據(jù)，依次推斷中國與澳大利亞整個初中階段的數(shù)學(xué)教科書習(xí)題配置情況、難易情況等．

對于習(xí)題數(shù)量，首先分門別類來統(tǒng)計，以大題為主；其次，統(tǒng)計大題包含的小題數(shù)量，了解兩個國家習(xí)題的總量水平．

對于習(xí)題類型，主要分為選擇題、是非題（或者判斷題）、填空題、計算題、證明題、解答題等6種，凡是不能明確判斷為前5種的全部歸為解答題，譬如有些開放性的題目、學(xué)生動手操作的題目、畫圖、應(yīng)用題等都作為解答題來統(tǒng)計．在澳大利亞HMZ教科書中沒有區(qū)分“Calculate”與“Evaluate”，都作為計算題，對于習(xí)題類型統(tǒng)計按照大題來算，因為對同一道題目而言，類型一般是相同的．

對于習(xí)題的難易程度主要從包含知識點個數(shù)、背景、運算、數(shù)學(xué)任務(wù)（題目本身要求水平）等方面進(jìn)行刻畫，具體指標(biāo)見表1．在知識點個數(shù)統(tǒng)計上由于中澳8年級數(shù)學(xué)教科書內(nèi)容差異太大，澳大利亞主要以數(shù)學(xué)教科書中的1～2小節(jié)為準(zhǔn)來統(tǒng)計，對于中國 PEPM 的節(jié)次按照教科書的練習(xí)為間隔來劃分．背景主要分為無背景、個人生活背景、公共生活背景、科學(xué)背景4類，純粹的數(shù)學(xué)問題算歸到無背景之中，其中對于個人生活背景，主要是以學(xué)生個人生活經(jīng)歷相關(guān)的背景．運算分為無運算、數(shù)字運算、符號運算（帶有字母）、復(fù)雜符號運算（主要指公式的逆用、靈活運用等）．?dāng)?shù)學(xué)任務(wù)主要分為記憶性、無聯(lián)系的程序性、有聯(lián)系的程序型、做數(shù)學(xué)4類，具體評價指標(biāo)說明參照文[3]．

表1 習(xí)題難易程度量化指標(biāo)表

上面分項討論各個子指標(biāo)的基本數(shù)據(jù)，根據(jù)賦值情況，使用公式：

其中di依次分別表示知識點數(shù)量、背景、運算和數(shù)學(xué)任務(wù)等因素的取值；表示第i個難度因素的第j個水平的權(quán)重；表示一組題目中屬于第i個難度因素的第j個水平的題目的個數(shù)，其總和等于該組題目的總數(shù)n[4]．

2.3 研究方法

基于中國與澳大利亞選定的兩套數(shù)學(xué)教科書的文本材料，以文本質(zhì)性分析和比較研究為主要研究方法．

3 研究結(jié)果

研究表明，中澳兩個國家兩套8年級數(shù)學(xué)教科書的習(xí)題無論是數(shù)量、類型，還是難易程度等方面同中有異，其具體結(jié)果如下．

3.1 相 同 點

3.1.1 習(xí)題均分3類且比例大致相同

中國與澳大利亞這兩套數(shù)學(xué)教科書都對習(xí)題按照其要求進(jìn)行了適當(dāng)分類．澳大利亞HMZ數(shù)學(xué)教科書不管是習(xí)題（Exercise）還是復(fù)習(xí)題（Chapter review）（排除前面的知識小結(jié)與個人學(xué)習(xí)活動）都分為技能（Skills）、應(yīng)用（Applications）、分析（Analysis）3類，其題目數(shù)量分別是542、447、165，占總習(xí)題數(shù)量的百分比分別為46.7%、38.5%、14.2%．在中國PEPM教科書正文中穿插了部分小練習(xí)，除此之外，對習(xí)題以及各章復(fù)習(xí)題也分為3類：復(fù)習(xí)鞏固、綜合運用、拓廣探索3類，其各類習(xí)題數(shù)量分別是185、148、79，占教科書習(xí)題總量的百分比分別是 44.9%、35.9%、19.2%．雖然中澳8年級數(shù)學(xué)教科書3部分習(xí)題數(shù)量差異是顯著的，譬如綜合應(yīng)用類習(xí)題，澳大利亞HMZ是中國PEPM教科書的3倍，但是3類習(xí)題數(shù)量占各自國家教科書習(xí)題總量的百分比還是比較吻合的，基本維持在46%、36%、18%左右．

此外，中澳8年級數(shù)學(xué)教科書各章復(fù)習(xí)題的數(shù)量之和分別是121道、191道，其占總習(xí)題的百分比分別是20.9%、16.5%，相差4.4個百分點，可以看出復(fù)習(xí)題的總量在20%左右．

3.1.2 習(xí)題類型基本相同

中國PEPM教科書與澳大利亞HMZ教科書有5種相同類型習(xí)題，分別是填空題、判斷題、選擇題、計算題、解答題，澳大利亞教科書缺少證明題．從分布來看，中澳兩套數(shù)學(xué)教科書中習(xí)題最多的是解答題，占習(xí)題總量的比例分別為67.7%與 69.5%，基本相同，非常接近；其次是計算題，澳大利亞HMZ教科書計算題占習(xí)題總量的17%，比重高于中國PEPM教科書計算題的比重12.3%．從教科書可以看出，澳大利亞 HMZ在 8年級比較注重學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng)，運算在8年級占有相當(dāng)大的比重，花費較多的時間和精力去學(xué)習(xí)和掌握關(guān)于運算的一些知識和技能，其部分內(nèi)容在中國相當(dāng)于小學(xué)5、6年級所學(xué)知識．其他3種類型數(shù)量較少，占據(jù)比重偏少，差異較大，譬如澳大利亞HMZ教科書選擇題的數(shù)量有121道，占教科書比重達(dá)到10.4%，遠(yuǎn)高于中國PEPM教科書的0.9%，為中國教科書習(xí)題編寫類型分布提供參考．

3.2 不 同 點

3.2.1 澳大利亞習(xí)題總量遠(yuǎn)超中國PEPM

從習(xí)題數(shù)量上，中國PEPM 8年級上下冊教科書有579道題目，而澳大利亞HMZ 8年級教科書有1 160道，是中國 PEPM 教科書的兩倍多，表明澳大利亞數(shù)學(xué)教科書的習(xí)題數(shù)量遠(yuǎn)大于中國數(shù)學(xué)教科書，也從一個側(cè)面說明中國學(xué)生負(fù)擔(dān)重，數(shù)學(xué)教科書不是主要原因．由于每道習(xí)題又包含若干道小題，從小題數(shù)量來看，中國PEPM教科書有1 005小題，而澳大利亞HMZ教科書小題數(shù)量達(dá)到4 725道，是中國教科書的4.7倍．在澳大利亞HMZ教科書每道題目包含的小題數(shù)目多，甚至于個別習(xí)題會包含26道小題，一般分析類型的習(xí)題也是有3～6小問，層層鋪墊，在某種程度上降低了其難度．

3.2.2 澳大利亞HMZ習(xí)題缺少證明題

純粹的證明題在澳大利亞 HMZ教科書中沒有明確出現(xiàn)，一方面說明澳大利亞HMZ教科書對幾何推理證明要求較低，至少在8年級是如此，并且?guī)缀沃R內(nèi)容僅安排一章；另一方面說明學(xué)生推理能力的培養(yǎng)并不僅僅限于證明題，實際上在計算、解答題中都隱含推理成分．相比較而言，中國PEPM教科書中有53道證明題，是明確寫明“證明”或者“求證”，占習(xí)題總量的 9.2%，對于推理論證能力的要求從形式上來看是中國PEPM教科書的要求高于澳大利亞HMZ教科書，尤其是重視演繹推理的訓(xùn)練，這也是中國數(shù)學(xué)教科書一貫的傳統(tǒng)——重視推理能力的培養(yǎng)，畢竟具有一定推理能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是最重要的載體．

3.2.3 澳大利亞習(xí)題背景水平略高

在習(xí)題的背景上，澳大利亞與中國教科書一個共同的特點就是：超過一半以上的習(xí)題沒有任何背景，澳大利亞HMZ教科書占51.9%，而中國PEPM教科書更多，占70.3%．澳大利亞 HMZ教科書習(xí)題有 217道來自于學(xué)生個人生活背景，315道來自公共生活背景，有27道來自科學(xué)背景，而中國教科書56道個人生活背景，105道公共生活背景，11道科學(xué)背景，主要涉及物理、化學(xué)等學(xué)科知識．采用上面公式得到：中國PEPM教科書習(xí)題的背景水平平均值為1.48，澳大利亞 HMZ教科書習(xí)題背景平均值為 1.78，具體見圖1．相對而言說明澳大利亞 HMZ數(shù)學(xué)教科書比中國 PEPM教科書更加關(guān)注學(xué)生的個人生活背景與公共生活背景，科學(xué)背景比重基本持平的．如果忽視知識與學(xué)生的情境的聯(lián)系，學(xué)生難以形成在任何生活情境下的數(shù)學(xué)表征習(xí)慣，容易限制學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)化處理事物的方法[5]．

3.2.4 中國PEPM教科書習(xí)題難度大于澳大利亞HMZ教科書根據(jù)上面公式計算難度獲得其比較的折線圖，如圖1.

圖1 中澳習(xí)題難易程度比較

在知識點數(shù)量上，澳大利亞HMZ教科書習(xí)題有862道僅包含1個知識點，282道包含2個知識點，14道包含3個知識點，2道包含4個知識點；而中國PEPM教科書習(xí)題579道題，有217道包含1個知識點，284道包含2個知識點，67道包含3個知識點，9道包括4個以上知識點．相比較而言，澳大利亞HMZ教科書習(xí)題更多的是單一知識點設(shè)置的，習(xí)題平均知識點含量為 1.25，中國 PEPM 教科書習(xí)題平均知識點含量為 1.76，中國 PEPM 教科書習(xí)題平均知識點含量高于澳大利亞HMZ教科書40.8%．

在習(xí)題運算方面上，采用上面公式得到：中國PEPM教科書習(xí)題的運算平均值為2.07，澳大利亞HMZ教科書習(xí)題運算平均值為2.01，中澳兩個國家兩套數(shù)學(xué)教科書在習(xí)題運算上要求基本相同．進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)中國PEPM8年級數(shù)學(xué)教科書更多的習(xí)題是字母運算，占習(xí)題總量的39.1%，畢竟字母運算相對數(shù)字運算抽象程度更高，對學(xué)生難度更大．此外證明題沒有涉及運算，降低了平均值．而澳大利亞數(shù)學(xué)教科書字母運算占習(xí)題總量的25.5%，澳大利亞數(shù)學(xué)教科書數(shù)字運算習(xí)題有616道，占到53.1%，沒有證明題．因此雖然習(xí)題總體運算平均值比較接近，但是中國 PEPM 教科書習(xí)題運算水平上高于澳大利亞．

根據(jù)數(shù)學(xué)任務(wù)方面，中國習(xí)題要求水平明顯高于澳大利亞教科書，平均為2.36．而澳大利亞教科書習(xí)題要求水平為1.90，中國教科書高于澳大利亞．但是，澳大利亞部分教科書習(xí)題設(shè)問巧妙，層層鋪墊，逐漸引申到高等數(shù)學(xué)背景，乍看很難，仔細(xì)一思考，原來可以在學(xué)生原有的知識點上生根發(fā)芽，長出新枝，是在學(xué)生的可接受水平上的．此外，對于習(xí)題的開放性方面簡單統(tǒng)計，中國 PEPM 教科書封閉型問題占到96%，澳大利亞HMZ教科書90%．澳大利亞更多的是讓學(xué)生舉例來說明問題．

綜上，澳大利亞HMZ教科書習(xí)題難度低于中國PEPM教科書難度水平．

4 幾點討論

4.1 中國與澳大利亞數(shù)學(xué)教科書重視雙基

澳大利亞和中國一樣，小學(xué)和初中屬于義務(wù)教育．澳大利亞HMZ教科書和中國數(shù)學(xué)教科書一樣，習(xí)題內(nèi)容的設(shè)計重在基礎(chǔ)，重在通性、通法的掌握，這一點是相通的．在數(shù)量上，澳大利亞HMZ教科書明顯多于中國PEPM教科書．在澳大利亞教科書中有47%的習(xí)題屬于技能類型，這部分習(xí)題主要以學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識、形成基本技能為主，尤其是運算能力的培養(yǎng)，為學(xué)生鞏固概念或者重要的公式、法則而設(shè)置的，都是屬于基礎(chǔ)試題．澳大利亞HMZ教科書習(xí)題包含的知識點數(shù)量平均為1.25，比較單一，總體來說綜合性問題少，屬于Solo學(xué)習(xí)分類的單一結(jié)構(gòu)水平．

4.2 中國與澳大利亞重視數(shù)學(xué)應(yīng)用

總體而言，中國與澳大利亞這兩套數(shù)學(xué)教科書都比較重視數(shù)學(xué)應(yīng)用，與澳大利亞維多利亞州必備學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)2008年修訂版（Victorian Essential Learning Standards, Revised Edition January2008）課標(biāo)要求是一致的[6]．在中國 PEPM教科書明確用“綜合應(yīng)用”來區(qū)分，在澳大利亞HMZ教科書明確用“Applications（應(yīng)用）”，并且中澳這兩部分習(xí)題數(shù)量占各自習(xí)題總量的比重分別為36%與38.5%．從習(xí)題設(shè)置的背景來看，澳大利亞HMZ教科書習(xí)題比中國數(shù)學(xué)教科書更加關(guān)注學(xué)生的個人生活背景與公共生活背景，科學(xué)背景比重基本持平．雖然中國 PEPM 數(shù)學(xué)教科書相比以前有很大改觀，但是相對澳大利亞HMZ教科書，其背景設(shè)置方面略顯單一．澳大利亞數(shù)學(xué)課程重點在于發(fā)展日趨復(fù)雜和精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)理解、熟練程度、邏輯推理、分析思考過程，以及問題解決技能，使得學(xué)生能夠通過應(yīng)用數(shù)學(xué)策略做出明智的決定，并高效的解決數(shù)學(xué)問題，以應(yīng)對熟悉或陌生的環(huán)境[7]．

4.3 澳大利亞習(xí)題設(shè)問更加巧妙

澳大利亞HMZ教科書的“Skills”（技能）中大多數(shù)的習(xí)題是模仿教科書的例題，或者教科書概念與命題的簡單應(yīng)用與鞏固，水平較低．但是在“Applications”（應(yīng)用）“Analysis”（分析），尤其是“Analysis”中有不少習(xí)題設(shè)問非常巧妙：起點低，坡度小，逐步拔高，螺旋上升，到最后涉及一些高等數(shù)學(xué)知識．譬如8年級習(xí)題涉及到了無理數(shù)的連分?jǐn)?shù)逼近、歐拉公式、握手定理、郵路問題等．這些問題若單看最后一問，肯定比較難，但是在層層鋪墊下又覺得導(dǎo)出這樣的結(jié)果是順其自然，讓學(xué)生慢慢欣賞到數(shù)學(xué)推理的美，“確保所有學(xué)生能在經(jīng)歷數(shù)學(xué)推理的過程中受益，并能夠創(chuàng)造性地、高效地運用他們的理解力”[8～9]．對于推理能力的培養(yǎng)未必單靠證明來進(jìn)行，這個是中國學(xué)者在教材編寫以及課堂教學(xué)中需要加以借鑒的．

4.4 澳大利亞更適合學(xué)生學(xué)習(xí)

澳大利亞HMZ教科書的習(xí)題從難易程度來看，相對中國而言，難度較低，而階梯又多，適合學(xué)生自學(xué)．有相當(dāng)部分習(xí)題學(xué)生可以通過自己看書模仿例題而加以解決．究其原因，澳大利亞教科書例題全部有非常詳細(xì)的分析以及對應(yīng)解答，為習(xí)題解答提供非常好的范本和樣例，尤其是技能部分習(xí)題．而“分析”部分習(xí)題，設(shè)問較多，降低了難度．在這個過程中，可以幫助學(xué)生成為自我激勵、充滿自信的學(xué)習(xí)者，使其有信心學(xué)好數(shù)學(xué)．因此要使學(xué)生樂學(xué)、好學(xué)，僅僅依賴教師的教學(xué)智慧是不夠的，承載教學(xué)內(nèi)容的教科書必須具備吸引學(xué)生主動探究、發(fā)現(xiàn)的品質(zhì)．

4.5 澳大利亞教科書更加重視計算機(jī)（器）

在澳大利亞HMZ數(shù)學(xué)教科書，有整個一章的內(nèi)容是有關(guān)使用計算器來學(xué)習(xí)的，而中國只有個別習(xí)題要求使用，并且數(shù)量較少，只有幾道，對于信息技術(shù)差距要求方面還是非常大的．在澳大利亞 HMZ教科書明確規(guī)定使用 TI-Nspire CAS或Classpad圖形計算器，其功能更強大，這些也滲透在習(xí)題的解答過程中．現(xiàn)在，隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，掌握必備的信息技術(shù)是必須和必要的，數(shù)字技術(shù)的發(fā)展不僅對數(shù)學(xué)思想的發(fā)展有所貢獻(xiàn)，還為數(shù)學(xué)中的探究活動提供了新的工具支持．例如無理數(shù)的連分?jǐn)?shù)逼近問題，在中國教科書適當(dāng)增加數(shù)字技術(shù)的使用，增強利用信息技術(shù)作為工具解決問題的設(shè)計．

中國與澳大利亞兩套數(shù)學(xué)教科書的習(xí)題在數(shù)量、類型、難易程度等方面雖然有異同，但是編寫出發(fā)點都是為了學(xué)生的發(fā)展，這是一致的．如何保留中國數(shù)學(xué)教科書的傳統(tǒng)優(yōu)勢，又要跟上國家數(shù)學(xué)課程改革潮流，不斷完善中國的數(shù)學(xué)教科書編寫，是一個不斷值得研究的問題．

[1]課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心．義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)（八年級上冊）[M]．北京：人民教育出版社，2008．

[2]David Coffty. Heinemann Maths Zone 8: Enhanced [M]. Port Melbourne: Pearson, 2008.

[3]Stein M．實施初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)案例[M]．李忠如譯．上海：上海教育出版社，2001．

[4]范良火，黃毅英，蔡金法，等．華人如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)（中文版）[M]．南京：江蘇教育出版社，2005．

[5]孫旭花．問題變式：中國數(shù)學(xué)教材問題設(shè)計之特色[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2012，21（3）：54-59．

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[7]康玥媛．澳大利亞全國統(tǒng)一數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)評析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（5）：81-85．

[8]曹一鳴．十三國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)評介[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．

[9]Max Stephens，章勤瓊．中澳美的經(jīng)濟(jì)變革與數(shù)學(xué)課程改革方向[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2010，19（5）：4-6．