張笑謙，胡典順 ，2

（1．華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079；2．華中師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，湖北 武漢 430079）

1 引 言

VCE（Victoria Certificate of Education）是澳大利亞維多利亞州課程評估署（Victorian Curriculum and Assessment Authority，簡稱VCAA）所頒發(fā)的大學(xué)預(yù)科（高中）課程合格證書，其課程內(nèi)容主要面向該國十年級后的學(xué)生，與中國高中學(xué)生年齡及學(xué)力層次相當(dāng)．獲得此證書的學(xué)生可以直接申請進(jìn)入澳大利亞的大學(xué)．

由于VCE課程在國際上享有盛名，不但在本國學(xué)生中有很強(qiáng)的影響力，也是許多國際高中學(xué)生的首選課程之一．完成其課程的學(xué)生學(xué)力水平受到歐美澳各國大學(xué)的普遍承認(rèn)，因此其課程內(nèi)容是研究者進(jìn)行課程設(shè)計(jì)和評估的良好參照樣本，也是中國新課程改革可以依據(jù)的良好樣本．

這里將通過對比較分析 IBID出版社出版的 Mathematics: Higher Level (core) 教材與中國人民教育出版社出版的數(shù)學(xué)1必修（A版）教材中函數(shù)與映射相關(guān)的章節(jié)，就知識順序，知識設(shè)置，知識處理方式，習(xí)題設(shè)置4個(gè)維度進(jìn)行比較，提出對中國教材內(nèi)容改進(jìn)的建議，為今后更為細(xì)致地研究積累材料．

2 中澳高中數(shù)學(xué)教材比較

2.1 中澳教材知識順序的比較

2.1.1 中澳教材知識順序比較概覽

函數(shù)與映射是現(xiàn)代數(shù)學(xué)奠基性的知識之一，也是高中數(shù)學(xué)必修的內(nèi)容，Mathematics: Higher Level (core) 教材使用第五章一章進(jìn)行介紹，共分為4節(jié)；人教版數(shù)學(xué)1必修（A版）教材使用全書共分3章進(jìn)行介紹，共分為7節(jié)，其內(nèi)容對照如表1所示．

需要說明的是，由于澳大利亞將集合的定義及運(yùn)算相關(guān)內(nèi)容安排在初中學(xué)習(xí)，因此，為保證比較范圍對等，這里未將中國人教版（A版）教材中第一章1.1節(jié)“集合”納入比較的范圍之內(nèi)．

2.1.2 中澳教材在知識點(diǎn)安排順序上區(qū)別明顯

通過比較，澳大利亞教材的章節(jié)安排按照由淺入深的直線型順序?qū)χR進(jìn)行安排．這種知識安排方式，最大程度地尊重了知識發(fā)生的過程，能夠幫助學(xué)生一氣呵成地理解整個(gè)知識版塊的結(jié)構(gòu)；學(xué)生所學(xué)知識由淺入深，由直觀到抽象，符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的模式．并且由于知識內(nèi)容的逐漸深入，教材本身即能夠傳遞給學(xué)生將生活中的情境逐漸抽象成為數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行研究的思想，幫助學(xué)生更好地進(jìn)入數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)的氛圍．

相對比，中國教材的章節(jié)安排則呈現(xiàn)出一種拋物線型的模式，在前期部分強(qiáng)調(diào)由淺入深的知識發(fā)生過程；在后期部分更重視回歸直觀現(xiàn)實(shí)，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)知識回歸實(shí)際問題的能力．中國新課程標(biāo)準(zhǔn)中要求，學(xué)生應(yīng)通過課堂學(xué)習(xí)，掌握將所學(xué)知識應(yīng)用到生活生產(chǎn)實(shí)際的能力．人教版的教材很好地滿足了新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求；但其局限性在于，由于知識內(nèi)容有限，剛剛進(jìn)入抽象性數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)，就回歸具體的實(shí)際問題，在營造數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)的氛圍上則有所不足．

可見，澳大利亞的數(shù)學(xué)教材更多地注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)能力，希望通過高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，為大學(xué)學(xué)習(xí)更抽象系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論打好基礎(chǔ)，注重學(xué)生學(xué)術(shù)方面的發(fā)展．中國的數(shù)學(xué)教材則更注重生活實(shí)際，強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用，希望幫助學(xué)生培養(yǎng)快速地將所學(xué)知識轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力的能力．另外，中澳教材在函數(shù)和映射兩知識點(diǎn)的先后順序，基本初等函數(shù)和函數(shù)基本性質(zhì)的先后順序兩方面差異明顯，值得探討．

表1 函數(shù)與映射章節(jié)設(shè)置一覽

2.2 中澳教材知識設(shè)置的比較

2.2.1 中澳教材中出現(xiàn)的相同和相似的知識點(diǎn)

中澳教材中共有如下7個(gè)相同的知識點(diǎn)：映射的定義，函數(shù)的定義，分段函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，反函數(shù)．其中，在分段函數(shù)這一知識點(diǎn)中，澳大利亞的教材通過函數(shù)圖象簡單給出了“不嚴(yán)密（weak）”[1]的函數(shù)連續(xù)性定義，中國教材僅給出分段函數(shù)描述性定義[2]；在反函數(shù)這一知識點(diǎn)中，澳大利亞的教材給出了大量一般性的反函數(shù)相關(guān)知識，包括特征函數(shù)I(x)=x，，一般性的反函數(shù)定義、性質(zhì)和計(jì)算方法[1]，中國教材僅給出了模糊的定義和特例[2]．

2.2.2 中澳教材中出現(xiàn)的不同的知識點(diǎn)

中國教材中出現(xiàn)了如下4個(gè)獨(dú)有的知識點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)與方程，函數(shù)模型及應(yīng)用，其中“函數(shù)與方程”和“函數(shù)模型及應(yīng)用”兩個(gè)知識點(diǎn)偏重訓(xùn)練學(xué)生通過函數(shù)工具解決實(shí)際問題的能力．澳大利亞教材中出現(xiàn)了如下4個(gè)獨(dú)有的知識點(diǎn)：映射的性質(zhì)，絕對值函數(shù)，函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算與復(fù)合，其中函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算與復(fù)合知識點(diǎn)難度較大，具有很強(qiáng)的抽象性．

2.2.3 中澳教材知識點(diǎn)的設(shè)置

從知識點(diǎn)的設(shè)置上看，中國偏向于直觀性較強(qiáng)的知識，如函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，函數(shù)在方程求解中的應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，學(xué)生能夠在教師的指導(dǎo)下通過實(shí)例訓(xùn)練來熟悉與掌握．這樣的知識點(diǎn)設(shè)置，符合新課程改革降低學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)的要求，同時(shí)也能滿足在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力方面的要求．另外，中國教材中還滲透有現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想．例如中國教材在介紹正實(shí)數(shù)指數(shù)冪及運(yùn)算時(shí)，通過列表求近似值探究的近似值[2]，滲透無限逼近求極限的數(shù)學(xué)思想，而相對應(yīng)部分澳大利亞的教材則忽略了這一點(diǎn)．可見中國教材一定程度上滿足了新課標(biāo)對于數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)文化的滲透，如果教師能合理使用，非常有利于學(xué)生的后續(xù)發(fā)展和數(shù)學(xué)品質(zhì)的形成．

另一方面，澳大利亞的教材偏向于抽象性較強(qiáng)的知識，強(qiáng)調(diào)為學(xué)生營造數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)的氛圍．這一點(diǎn)在映射的定義，函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，復(fù)合和反函數(shù)這兩個(gè)知識點(diǎn)上體現(xiàn)得非常明顯．澳大利亞教材映射的定義以集合的笛卡爾積為基礎(chǔ)，構(gòu)建線性空間給出定義，即映射是可以表示為二維實(shí)數(shù)空間中一列有序?qū)崝?shù)對組成的子集[1]，這里的映射特指實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射．反函數(shù)的定義以復(fù)合函數(shù)為基礎(chǔ)進(jìn)行定義，即定義特征函數(shù)I(x)=x，對任一函數(shù)f(x)，若存在函數(shù)f-1(x)使得則稱與互為反函數(shù)[1]．這種以抽象性知識點(diǎn)為主的知識點(diǎn)設(shè)置形式，更加有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和理論分析能力，幫助學(xué)生更好地靠近現(xiàn)代數(shù)學(xué)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的要求．

2.3 中澳教材知識處理方式的比較

2.3.1 中澳教材知識引入方式的比較

中國新課標(biāo)提出，數(shù)學(xué)課程設(shè)置應(yīng)“在數(shù)學(xué)應(yīng)用和聯(lián)系實(shí)際方面需要大力加強(qiáng)”，“力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用”，“數(shù)學(xué)與日常生活及其它學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識”[3]．根據(jù)這種理念，中國教材在大部分知識點(diǎn)的引入部分均采用現(xiàn)實(shí)實(shí)例，如函數(shù)的概念用“炮彈的射高”，“南極上空臭氧層空洞”和“我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)”3個(gè)實(shí)例[2]引入．指數(shù)函數(shù)用“我國GDP平均增長率”和“生物死亡時(shí)間與體內(nèi)碳14衰減規(guī)律”兩個(gè)實(shí)例[2]引入．而澳大利亞的教材僅在介紹映射的定義使用了“中學(xué)生年齡與體重的對照關(guān)系”一個(gè)實(shí)例[1]引入，其余知識點(diǎn)均以學(xué)過的知識發(fā)展得到．這種引入方式更加尊重?cái)?shù)學(xué)知識之間的邏輯聯(lián)系的呈現(xiàn)，更有助于學(xué)生了解所學(xué)知識之間的聯(lián)系，發(fā)展系統(tǒng)性的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

2.3.2 中澳教材知識學(xué)習(xí)方式的比較

中澳教材的知識學(xué)習(xí)方式差異不大，均以引入，介紹新知識，例題分析組成．區(qū)別在于中國教材每一小節(jié)后會配有習(xí)題供學(xué)生訓(xùn)練，并在每節(jié)和每章后設(shè)有A、B兩組復(fù)習(xí)題，每章后設(shè)有實(shí)習(xí)作業(yè)和整章小節(jié)．澳大利亞的教材僅在每小節(jié)后設(shè)置習(xí)題，未設(shè)置小節(jié)或?qū)嵙?xí)作業(yè)．下面以指數(shù)函數(shù)小節(jié)為例，進(jìn)一步具體比較．

中國教材首先從前一小節(jié)學(xué)過的“生物死亡時(shí)間與體內(nèi)碳14衰減規(guī)律”實(shí)例引入，給出一般的指數(shù)函數(shù)的定義；然后選取多個(gè)不同的指數(shù)函數(shù)，通過描點(diǎn)法繪出函數(shù)圖象，通過函數(shù)圖象直觀總結(jié)指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，并列表總結(jié)．接下來利用3個(gè)不同例題，分別訓(xùn)練學(xué)生利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求自變量或函數(shù)值，比較數(shù)的大小和實(shí)際應(yīng)用的能力．最后提出與實(shí)際相聯(lián)系的探究性問題，給出練習(xí)題．澳大利亞的教材以描點(diǎn)法比較的圖象為起點(diǎn)，并考慮多個(gè)不同底數(shù)大于零的指數(shù)函數(shù)圖象后給出一般的指數(shù)函數(shù)定義．接下來通過考慮不同情況的底數(shù)時(shí)圖象的聯(lián)系和區(qū)別，總結(jié)指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，并列表總結(jié)．插入介紹自然對數(shù)后，通過4個(gè)例題訓(xùn)練學(xué)生指數(shù)函數(shù)及與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的簡單復(fù)合函數(shù)的求值和作圖能力．

可見，中國的教材更注重引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用掌握的知識點(diǎn)解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng)，而在學(xué)生思維發(fā)展方面安排不足，難度較低．澳大利亞的教材沒有設(shè)置實(shí)際問題的講解和例題，著重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，不斷加深難度，營造數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)的氛圍，為后續(xù)學(xué)習(xí)作鋪墊．澳大利亞教材的另一優(yōu)點(diǎn)在于信息技術(shù)與學(xué)習(xí)過程的緊密結(jié)合；中國教材中信息技術(shù)的應(yīng)用以課后閱讀材料的形式給出，而澳大利亞的教材則在知識介紹和例題解答過程中以插圖的形式穿插配合，不但案例多，而且更易于學(xué)生的學(xué)習(xí)和使用．中國教材的優(yōu)點(diǎn)在于課后小結(jié)以框圖的形式總結(jié)了本章知識點(diǎn)及相互關(guān)系，并以回顧與思考中的設(shè)問形式幫助學(xué)生回顧本章知識點(diǎn)，分清重難點(diǎn)，有利于學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)．

2.4 中澳教材習(xí)題設(shè)置的比較

中國教材函數(shù)與映射相關(guān)章節(jié)習(xí)題共分 3類：小節(jié)練習(xí)，節(jié)后習(xí)題和全章復(fù)習(xí)參考題．其中節(jié)后習(xí)題與全章復(fù)習(xí)參考題按難度分為A、B組．澳大利亞教材相應(yīng)章節(jié)習(xí)題未分類，均置于相關(guān)小節(jié)之后．具體數(shù)量如下：中國教材小節(jié)練習(xí)39道，節(jié)后A組66道，B組26道；復(fù)習(xí)參考題A組34道，B組16道；澳大利亞教材習(xí)題共有111題．從題目分類來看，中國教材分類更細(xì)致，有益于教師和學(xué)生選擇難度和數(shù)量適合的練習(xí)，澳大利亞的教材習(xí)題則更需要教師對教材和知識的把握和對學(xué)生情況的了解．

從習(xí)題涉及內(nèi)容上看，中國教材習(xí)題分?jǐn)?shù)學(xué)知識訓(xùn)練和涉及實(shí)際問題的習(xí)題兩類．涉及實(shí)際問題的習(xí)題大多數(shù)安排在節(jié)后習(xí)題和全章復(fù)習(xí)參考題中，約占總題數(shù)的50%～60%，大多數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)相聯(lián)系，體現(xiàn)了新課改中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識在應(yīng)用和聯(lián)系實(shí)際方面的需要．澳大利亞教材均為數(shù)學(xué)知識訓(xùn)練題，其訓(xùn)練角度較中國教材習(xí)題分類更細(xì)致，每一題基本均對應(yīng)一個(gè)知識點(diǎn)．另外，其練習(xí)中大量出現(xiàn)復(fù)合函數(shù)和分段函數(shù)，其中部分難度較大，要求學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解答．因此在深入訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)理論知識綜合運(yùn)用方面則更優(yōu)于中國教材，對于學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)更有益處．

3 思考與建議

3.1 關(guān)于教材編寫應(yīng)如何切合知識發(fā)生過程

通過比較發(fā)現(xiàn)，中國高中數(shù)學(xué)教材與澳大利亞數(shù)學(xué)教材，在知識的安排順序上有兩個(gè)重要的區(qū)別，即函數(shù)與映射概念的先后順序和基本初等函數(shù)和函數(shù)基本性質(zhì)的先后順序．究其原因，中國在初中設(shè)置函數(shù)版塊，介紹了簡單的函數(shù)相關(guān)知識；而澳大利亞的數(shù)學(xué)課程中函數(shù)部分則完全是在高中完成．因此，中國高中數(shù)學(xué)教材中，以初中函數(shù)相關(guān)知識作為背景，進(jìn)一步討論函數(shù)的定義和簡單性質(zhì)，再進(jìn)一步學(xué)習(xí)新的函數(shù)形式；而澳大利亞的教材則按照先介紹函數(shù)后討論性質(zhì)的順序處理．

而從知識發(fā)生的順序上看，映射是函數(shù)的上游概念，基本初等函數(shù)是函數(shù)基本性質(zhì)的上游知識；因此研究者希望通過以函數(shù)與映射概念的先后順序?yàn)槔?，討論關(guān)于教材編寫應(yīng)如何切合知識發(fā)生過程的思考．

在課程改革的討論聲中，對于函數(shù)與映射孰先孰后的問題，一直是爭論較多的話題之一．國內(nèi)許多學(xué)者和教師認(rèn)為，映射概念的教學(xué)應(yīng)置于函數(shù)概念的教學(xué)之前[4]，與澳大利亞的教材處理方式相同；而在課程標(biāo)準(zhǔn)中，也提出了中國教材的處理方式的原因．

對于先映射后函數(shù)的處理方式，主要有 3個(gè)方面的原因：

其一，先映射后函數(shù)符合數(shù)學(xué)知識發(fā)生的順序．無論是函數(shù)還是映射，都不能避免“對應(yīng)”的思想，在理解了“對應(yīng)”思想的基礎(chǔ)上，應(yīng)用集合語言的工具可以將兩個(gè)集合聯(lián)系在一起，建立對應(yīng)關(guān)系，形成映射的概念；而函數(shù)的概念是在映射的概念中進(jìn)一步加強(qiáng)對應(yīng)關(guān)系的約束條件得出的更特殊的情形．因此從發(fā)生的順序上講，映射的概念先于函數(shù)的概念形成．

如果跨越映射概念直接進(jìn)入函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，則可能影響到學(xué)生對“對應(yīng)關(guān)系”的正確理解，并誤以為只有類似于函數(shù)的“一個(gè)原象有且僅有一個(gè)象”的“對應(yīng)關(guān)系”才能稱為“對應(yīng)關(guān)系”，造成先入為主的錯(cuò)誤觀念．反之，先學(xué)習(xí)映射的概念，再學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，則是在原有概念的基礎(chǔ)上，通過概念同化給出函數(shù)的概念，水到渠成．

其二，映射概念比函數(shù)概念更直觀和易于理解．上面已經(jīng)討論過，映射是一種集合間元素的“對應(yīng)關(guān)系”，函數(shù)是一種定義在實(shí)數(shù)集上的“一個(gè)原象有且僅有一個(gè)象的對應(yīng)”的特殊“對應(yīng)關(guān)系”．因此，比起函數(shù)概念，映射的概念更容易在生活實(shí)際中找到學(xué)生易于理解的直觀例子進(jìn)行分析．例如，學(xué)校為方便管理，給每位學(xué)生編制學(xué)號；超市中每一個(gè)商品都有對應(yīng)的條形碼；每輛私家車都有唯一的車牌號，等等．可見，映射定義比函數(shù)定義更直觀，而由直觀到抽象則是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本要求之一，因此先映射后函數(shù)從理解的角度上優(yōu)于先函數(shù)后映射．

最后，先函數(shù)后映射是為了講映射而講映射．人教版（A版）教材中映射的概念安排在“1.2.2 函數(shù)的表示法”小節(jié)的最末，給出了映射的概念和幾種不同類型映射的例子；下一小節(jié)“1.3.1 單調(diào)性與最大（?。┲怠崩^續(xù)討論函數(shù)的相關(guān)知識．由此可見，映射放在1.2.2小節(jié)最末講解，不但打斷了函數(shù)從定義到性質(zhì)的知識發(fā)展順序，而且與前后，特別是后文聯(lián)系不緊密，顯得異常突兀，表現(xiàn)出“為了講映射而講映射”的特征．如果該節(jié)將映射的定義這一部分刪除，不但不影響這一章節(jié)知識，而且整體上更加流暢．

中國人教版（A版）中先函數(shù)后映射的編寫方式，也有自身的原因．

在歐美國家，函數(shù)概念是在高中給出的．而在中國，初中已經(jīng)用“變化的量的相互關(guān)系”介紹了函數(shù)概念．因此從初中的函數(shù)概念出發(fā)，給出初中函數(shù)概念無法解釋的現(xiàn)象，引起認(rèn)知沖出，引出新的概念，也符合知識發(fā)展順序和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，且更符合中國中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況．因此建議，可以將映射的定義和簡單性質(zhì)置于課外拓展閱讀部分介紹，供學(xué)有余力的學(xué)生補(bǔ)充學(xué)習(xí)，這樣既不影響課本知識的連貫性，對于映射的介紹也不用擔(dān)心因?yàn)榻滩钠仍蛑荒軐τ成錅\嘗即止．

3.2 關(guān)于知識內(nèi)容中直觀性和抽象性知識的取舍

通過對比發(fā)現(xiàn)，中國高中數(shù)學(xué)教材知識設(shè)置與澳大利亞教材在知識的選取和設(shè)置上有明顯的區(qū)別．中國教材以直觀性強(qiáng)的知識為主，澳大利亞的教材以抽象性強(qiáng)的知識為主．例如，中國教材在函數(shù)與映射章節(jié)中設(shè)置了“函數(shù)的基本性質(zhì)”一節(jié)，置于“基本初等函數(shù)”一節(jié)之前，主要介紹了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性兩個(gè)性質(zhì)，而澳大利亞教材相對應(yīng)的部分置于“基本初等函數(shù)”之后，介紹函數(shù)的運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)．以下是關(guān)于這一部分的一點(diǎn)思考．

其一，函數(shù)的奇偶性，其本質(zhì)是函數(shù)的圖象的對稱性的一種特殊情況，是函數(shù)線性變換性質(zhì)中特殊的一種．而中國教材在淺嘗輒止地引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)奇偶性與函數(shù)圖象關(guān)系后，由于缺少合適的案例，沒有進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從變換的角度看待函數(shù)和函數(shù)的圖象，再加上該章節(jié)后續(xù)知識的學(xué)習(xí)中很少有能用到函數(shù)奇偶性的部分，因此函數(shù)的奇偶性安排在此處顯得非常突兀．而該章后面要介紹的冪函數(shù)和學(xué)生未學(xué)習(xí)的三角函數(shù)均是對稱性極強(qiáng)的函數(shù)形式，為函數(shù)的奇偶性的探究提供了非常合適的案例，更適合學(xué)生理解和運(yùn)用函數(shù)的奇偶性，同時(shí)也是學(xué)生了解函數(shù)線性變換的絕佳案例，并能以此為基礎(chǔ)滲透以運(yùn)動(dòng)與變換的視角觀察函數(shù)的數(shù)學(xué)思想．類似地，由于未學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)與微分，學(xué)生對于函數(shù)的單調(diào)性這一知識點(diǎn)只能從圖象的變化上進(jìn)行直觀理解，而通過定義判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法適用范圍窄，可操作性低，特別是無法快速確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．按照現(xiàn)有學(xué)生的認(rèn)知水平，只能進(jìn)行簡單地識記，而無法進(jìn)行有效而廣泛的應(yīng)用，有“為介紹單調(diào)性而介紹”的嫌疑．因此，“函數(shù)的性質(zhì)”這一小節(jié)的安排是否恰當(dāng)還有待商榷．

其二，澳大利亞教材沒有介紹函數(shù)的奇偶性，而是細(xì)致介紹了復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)知識點(diǎn)．理解復(fù)合函數(shù)是理解和解決復(fù)雜的函數(shù)的問題的基礎(chǔ)，高中數(shù)學(xué)中遇到的函數(shù)問題絕大多數(shù)都是基本初等函數(shù)復(fù)合而成，其重要性不言而喻．而且，利用已學(xué)過的函數(shù)的定義、基本初等函數(shù)等知識就能很好地構(gòu)建高中所涉及的復(fù)合函數(shù)知識，可很好地與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)相聯(lián)系．另外，由于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)為該章節(jié)中的上游知識點(diǎn)，為反函數(shù)提供了良好的案例；復(fù)合函數(shù)為反函數(shù)定義和性質(zhì)的數(shù)學(xué)符號表述提供了良好的工具，反函數(shù)本身“為認(rèn)識后續(xù)各類函數(shù)及其關(guān)系、性質(zhì)提供理論支撐，有利于學(xué)生從聯(lián)系的觀點(diǎn)認(rèn)識各類函數(shù)”[4]．因此通過反函數(shù)的學(xué)習(xí)與理解，能幫助學(xué)生進(jìn)一步培養(yǎng)自身抽象思維等數(shù)學(xué)思維能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)更為抽象和系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．而中國教材則由于新課標(biāo)的降低難度的要求而刪除了復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)也僅僅要求進(jìn)行直觀理解，對于學(xué)生抽象思維的發(fā)展，用聯(lián)系的視角看待函數(shù)的思想的培養(yǎng)均不利，因此這種改動(dòng)是否合適還有待商榷．

研究者建議，中國教材在函數(shù)的基本性質(zhì)這一部分的安排上可以按如下形式處理．

第一，函數(shù)的單調(diào)性置于“函數(shù)模型及其應(yīng)用”這一章，以通過函數(shù)工具尋找實(shí)際問題的最優(yōu)解為參考切入點(diǎn)，以直觀理解的方式簡單介紹，使學(xué)生對函數(shù)的單調(diào)性和某一區(qū)間的最值有直觀認(rèn)識，并通過實(shí)例問題加深理解，練習(xí)初步的應(yīng)用．

第二，函數(shù)的奇偶性可安排在“冪函數(shù)”中作介紹．由于冪函數(shù)這一節(jié)著重討論的內(nèi)容既在初中有所接觸，又在高中有進(jìn)一步發(fā)展空間．因此將奇偶性置于這一節(jié)介紹，不但可以將學(xué)生已有知識點(diǎn)與高中所要介紹的函數(shù)的對稱性、線性變換等知識相聯(lián)系，而且還能滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的變換的思想，更有利于學(xué)生形成系統(tǒng)的認(rèn)知體系，并為未來進(jìn)一步發(fā)展打好基礎(chǔ)

第三，復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)在課程標(biāo)準(zhǔn)中不要求學(xué)生掌握，但是依舊是學(xué)生需要了解的重要內(nèi)容．因此在現(xiàn)有課程標(biāo)準(zhǔn)的要求下，復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)可以安排在基本初等函數(shù)一章結(jié)束后，以課外拓展閱讀的形式進(jìn)行介紹，不但滿足課程標(biāo)準(zhǔn)，也為有能力的學(xué)生進(jìn)一步加深對函數(shù)的認(rèn)識與理解，為其進(jìn)一步發(fā)展作準(zhǔn)備．

3.3 關(guān)于理論性和實(shí)踐性兩者的平衡

中國新課程標(biāo)準(zhǔn)要求“學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)”，“增強(qiáng)聯(lián)系實(shí)際和應(yīng)用能力的培養(yǎng)”[3]，同時(shí)要求避免數(shù)學(xué)理論難度過高．因此在教材編寫方面，中國的教材更注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)踐性．而澳大利亞VCE課程則更注重學(xué)生未來的發(fā)展，即學(xué)生現(xiàn)有水平與認(rèn)知結(jié)構(gòu)和大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要求之間的聯(lián)系，在教材編寫上更注重?cái)?shù)學(xué)的理論性．由此，中國和澳大利亞教材從各方面都有較大區(qū)別．

從整體上看，中國教材其形式類似于一部問題解決集，即遇到實(shí)際問題，介紹數(shù)學(xué)理論，回歸實(shí)際問題．澳大利亞教材形式則更像一本系統(tǒng)介紹數(shù)學(xué)理論的書，以連貫系統(tǒng)的方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)理論．從知識設(shè)置和處理上看，中國教材更注重實(shí)踐性知識的介紹，使用大量篇幅介紹各類實(shí)際問題，因而限制了教材對于數(shù)學(xué)理論本身的介紹篇幅，因此也限制了學(xué)生所接觸的知識的廣度與深度，使其數(shù)學(xué)理論的發(fā)展空間受到了一定的局限．澳大利亞教材則更多介紹理論性數(shù)學(xué)知識，有一定的深度，能進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生思維，而且澳大利亞的教材在知識的連貫性上非常好，有利于學(xué)生知識體系的形成，有助于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識體系構(gòu)建和拓展．

由此，中國中等教育需要注意中國高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上學(xué)力下降的風(fēng)險(xiǎn)．從外國教育改革的歷史經(jīng)驗(yàn)來看，美國和日本在進(jìn)行教育改革中都遇到過降低學(xué)業(yè)標(biāo)準(zhǔn)帶來的高中畢業(yè)生學(xué)力下降的問題，導(dǎo)致許多選擇升學(xué)的學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后無法很好地適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)，許多選擇就業(yè)的學(xué)生只能從事簡單機(jī)械的勞動(dòng)，以及很多相關(guān)的社會問題．因此，為了盡量避免這種問題的產(chǎn)生，研究者建議，能否參照澳大利亞的教材模式，在介紹數(shù)學(xué)理論的部分，系統(tǒng)而連貫地介紹數(shù)學(xué)理論，尊重知識的連貫性和完整性．同時(shí)發(fā)揮中國教材設(shè)有實(shí)習(xí)作業(yè)和課后導(dǎo)讀的優(yōu)勢，通過實(shí)習(xí)作業(yè)以數(shù)學(xué)建模為載體介紹該章節(jié)的數(shù)學(xué)知識在實(shí)際生活中的運(yùn)用方式，通過課后導(dǎo)讀介紹對該章節(jié)知識進(jìn)行拓展和深入，滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想．由此進(jìn)一步使不同的學(xué)生各取所需，盡量避免強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)實(shí)踐性時(shí)過于犧牲理論性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．

[1]Buckle N, Dunbar I. Mathematics-higher Level (Core) [M].Victory: IBID Press, 2007.

[2]人民教育出版社 課程教材研究所 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué)1必修（A版）[M]．北京：人民教育出版社，2004．

[3]中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M]．北京：人民教育出版社，2003．

[4]俞求是．高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)問題研究[J]．教育學(xué)報(bào)，2009，5（6）：36-44．

[5]Victorian Curriculum and Assessment Authority. Principles and Guidelines for the Development and Review of VCE Studies [EB/OL]. http://www.vcaa.vic.edu.au/, [2009-3]