俞宏毓，顧非石

（1．紹興文理學院 數理信息學院，浙江 紹興 312000；2．華東師范大學 數學系，上海 200241；3．上海市徐匯區(qū)教師進修學院，上海 200231）

1 研究背景

2011年2月，顧泠沅教授組織發(fā)起對教師發(fā)展指導者工作的研究，并且同美國的Paine Lynn教授、日本的Takashi Nakamura教授等人合作，進行關于教師發(fā)展指導者的國際比較研究．教師發(fā)展指導者項目的研究，是顧泠沅教授領銜的青浦實驗研究的延續(xù)，目的是通過對教師發(fā)展指導者工作現(xiàn)狀的研究，分析其優(yōu)勢和不足，并探索如何提高其自身素養(yǎng)和指導水平，從而使其更好地為促進教師的專業(yè)發(fā)展服務，同時通過國際比較進行取長補短．和青浦實驗以往的做法一樣，這次的項目也是從數學學科開始的[1]．2011年 5月下旬，顧泠沅教授組織了一個23人的研究團隊，在浙江義烏進行了一周的預研究實驗，于9月份在上海市青浦教師進修學院對實驗的材料進行了精致化的分析，得出了教師發(fā)展指導者工作的分析框架，并在9月底的中、日、美3國會議上進行了交流．（詳見文[2]）在該次會議上，三方達成一致，將教師發(fā)展者界定為教研員、第一線的專家教師和大學等教育研究機構的課程教學研究人員的總體．

2011年10月起，在顧泠沅教授的號召下，上海市的青浦等區(qū)大面積開展各學科、各學段的實驗研究．2011年底在青浦實驗中學開展的關于“扇形的面積”的教學指導研究活動是其中之一．顧泠沅教授根據自己多年從事教研員工作及教師教育研究的經驗，指出教師發(fā)展指導的軟肋是教學設計的改進．因此對這次“扇形的面積”的教學指導活動，顧泠沅教授提出了一個全新的設計方案，運用行動教育模式驗證其有效性．

2 研究過程與方法

2.1 參與人員與研究對象

上海市青浦區(qū)實驗中學，是一所公辦初級中學，其前身是有八十多年歷史的青浦中學初中部，現(xiàn)為上海市文明單位，是上海市課程教學改革基地學校．學校每個年級有 14個平行班，班級規(guī)模一般在55人左右．

2011年11月下旬開始，青浦教師進修學院宋偉倩等教師、徐匯區(qū)教師進修學院科研員顧非石、華東師范大學數學系研究生俞宏毓等 3人以及青浦實驗中學的忻映霞等數學教師，在青浦實驗中學進行了延續(xù)一個月的教學指導研究活動．其中青浦教師進修學院的宋偉倩和肖彩鳳作為區(qū)域層面的教師發(fā)展指導者角色，青浦實驗中學的專家教師忻映霞和班麗娜作為學校層面的教師發(fā)展指導者的角色．參加活動的執(zhí)教教師是有6年教齡的男教師宋秦．宋秦老師畢業(yè)于上海師范大學的小學教育專業(yè)，職稱為中教二級．執(zhí)教的班級是六年級的3個平行班，各班學生基礎相當．

2.2 研究材料

執(zhí)教內容是上海教育出版社的六年級上冊“4.4 扇形的面積”．這節(jié)課主要是學習扇形面積的兩個公式及其應用．在這節(jié)課之前，學生已經學習了圓的周長和弧長以及圓的面積．

2.3 研究思路與過程

活動采用顧泠沅教授的“三個關注、兩個反思”的行動教育模式，上了3次課，每次課后召開教學指導會議．根據行動教育模式，第一次課是執(zhí)教教師自己設計的原生態(tài)課．指導會議首先由執(zhí)教教師陳述對教學的看法及教學的得失，然后教師發(fā)展指導者點評、提出改進意見．第一次課后的指導會議，教師發(fā)展指導者和執(zhí)教教師根據顧泠沅教授的設計思路，討論確定第二次上課的教學設計．第二次課后的指導會議，根據設計與學生現(xiàn)實的差距，重在教學行為上的改進．

3次課都進行了前后測試，測試題由顧泠沅教授親自設計，其中后測分兩次進行，分別考察學生應用扇形面積公式的能力和公式推導能力（見附錄）．活動中分別對教師發(fā)展指導者、執(zhí)教教師和學生進行了深度訪談，每次訪談都進行了錄音．

活動的課堂和會議都進行了全程錄像，并轉化成了文本，運用錄像帶分析法進行分析．首先對課堂教學的整體結構進行研究，展現(xiàn)執(zhí)教教師3次課教學的異同，分析其進步的歷程．然后通過對3次課測試結果的比較，分析教學效果的差異，并結合訪談的結果，驗證新設計思路的有效性．

3 新設計基本思路

顧泠沅教授的新設計思路是通過復習推導圓面積公式的分割和拼接過程，引導得出如圖1），然后由部分與整體關系得出兩個公式的一致性．為幫助學生對公式進行相互推導，還借助另外一個公式公式②），這個公式也可以由部分與整體關系得出．由公式②推出公式③相對比較直接．在課堂上，這3個公式可以讓學生通過探究得出．

練習的設計安排，除公式應用的常規(guī)題之外，最后設計了一個拓展題，讓學生思考如何求圖2所示扇環(huán)的面積．

圖1 圓面積公式推導

圖2 求扇環(huán)面積

4 三次教學情況比較分析

4.1 整體結構比較

4.1.1 基本教學流程概觀

第一、三次課的整體結構如圖3所示．第二次課除了讓學生通過特殊角的扇形來探究面積公式外，其它環(huán)節(jié)與第三次課基本一致．

4.1.2 三次課教學用時分布3次課教學用時分布如表1所示．

圖3 第一和第三次課的整體結構

表1 3次課教學用時分布

4.1.3 主要變化

通過對3節(jié)課教學流程的概括和3次課教學用時分布可以看出，執(zhí)教教師在活動過程中對同一內容的3次執(zhí)教行為發(fā)生了很大變化．這里僅分析4個比較顯著方面．（1）復習引入．執(zhí)教教師原生態(tài)的引入方式是用和教材一樣的方法，通過復習三色陀螺引入．而改進后的第二、三次課是通過復習圓面積公式的原理．這種安排為幫助學生探究公式設置了有效的鋪墊．（2）扇形概念．關于扇形概念，第二次和第三次課都設置了扇形變式圖形的辨析，加強學生對扇形概念本質的理解．（3）公式探究．第一次課讓學生探究，而公式則由教師通過將弧長公式替代進入經過變形得到．課后研究者詢問執(zhí)教教師為什么這樣處理，執(zhí)教教師回答是因為估計學生無法通過推導得出公式第二、三次課通過復習圓面積公式的原理來引導學生探究扇形面積公式，一部分學生通過探究是可以得出3個公式的．第二次課教師又安排了學生通過特殊角的扇形來探究扇形面積公式，縮小了探究空間，說明這一次課執(zhí)教教師對研究者的設計意圖的理解并不透徹．（4）各環(huán)節(jié)所占時間．從3次課時間分布的情況來看，3次課有很大差異．特別是公式探究和公式應用所用時間差別較大．第一次課，公式探究用時16′27″，占整節(jié)課的41.1%，公式應用17′45″，占整節(jié)課的44.3%．第二和第三次課，公式探究時間比第一次課用時長，分別為 22′1″和 25′12″，占比高達 50%和 57%．這是符合現(xiàn)在課堂教學注重學生探究的理念的．相應地，第二、三次課公式應用用時就短了，分別為 15′43″和 13′30″．

4.2 三次課教學效果的對比

從3次課后測試的結果來看，3次課的教學效果有很大差別，第三次課的效果明顯優(yōu)于第一、二次課．

圖4 正確理解的人數比率

4.2.2 關于公式的相互推導

圖5 公式相互推導檢測結果

4.2.3 關于公式的應用

圖6 公式的簡單應用

關于扇形面積公式的靈活應用，設計的題目是可以讓學生選擇條件和相應公式的．從正確率來看，3次課分別為81.1%、64.2%和 86%．從靈活性來看，第一次課后學生只會機械代公式計算，第二次課有18.9%的學生會用簡便的方法求出結果，第三次課有30.2%的學生會用簡便方法．

關于公式的實際應用，從測試結果來看（如圖 7），第一次課正確人數占比為26.4%，第二次課為18.9%，第三次課提高到32.6%．從課堂教學情況來看，對于拓展題，第二和第三次課，已經有很多學生可以把扇環(huán)想象為梯形，猜出扇環(huán)形的面積為學生的思維得到了拓展．

圖7 公式的實際應用

從應用測試的結果來看，雖然第三次課探究公式耗時最多，導致公式應用練習相對較少，但是并不影響學生正確掌握公式的應用．

5 指導者的體會

參與這次教研活動的指導者對設計改進的效果有非常深刻的體會．下面是對專家教師和區(qū)域層面指導者的訪談片段，時間節(jié)點都是在第三次指導會議結束后．

（1）專家教師訪談片段．

訪談人：通過這樣一次活動您有哪些體會？

專家教師：通過這樣一個活動，這個課無論從對數學本質的探討和這個上課的順序以及我們現(xiàn)在比較講究的課堂效率來說，經過這樣一次打磨，那前后肯定不一樣的．我們考慮的深度完全沒有顧老師來幫我們指導的這么深刻．我們前面還是比較多的關注教材面上的知識，就是比如說前后聯(lián)系銜接好，類比、局部、部分與整體等，這些都是能夠講到的，包括公式、學生的應用，這些面上的應該是基本上能夠完成的，但是沒能夠像經過這樣一輪的探討之后，提到這樣的深度．方方面面的局部和整體，從各個角度各個元素上面去考慮局部與整體，以及互相之間的關聯(lián)，這些肯定沒有顧老師跟我們這樣點過了之后這么深，這么多年教下來，基本上沒有提到過往往就是像書本一樣的，通過扇形的圓心角公式和弧長公式推導出S扇

訪談人：這種代數推導，學生不一定能從幾何上去理解．

專家教師：是的．印象非常深刻的，還有一個就是最后我們以前做題從來沒有做到梯形舞臺這個畫成這個曲的這種梯形，曲邊三角形倒是也會提到的，因為這個是會想到的，但是扇環(huán)形、梯形幾乎是想不到．所以說這個深度是達不到的．

而且從上課上下來的這個效果來看，我們以往可能會通過一些具體的題目來發(fā)現(xiàn)這通過這樣的設計之后，就不需要具體的了，也不需要數字了，通過后面的一節(jié)課檢查下來，學生通過圖形、字母也理解了這兩個公式．

訪談人：數形結合比較到位．

專家教師：對的．

（2）區(qū)域層面指導者訪談片段．

訪談人：就是這樣一次活動，您自身有哪些體會??？

區(qū)域層面指導者：個人的感覺，就是參加這個活動之后，自己也是一個理解教材的過程．最重要我們在做前面那個新舊知識的銜接，本節(jié)課的新的知識怎么和學生已有的知識建立本質的聯(lián)系，這個方面確實想得多了點．然后，這個第三個公式實際上在我們平時的指導當中，肯定是不敢用．就是說，即使你有這個想法也不敢拿出來．現(xiàn)在呢，可以把它拿出來，拿出來之后呢，直接讓它建立一個本質的聯(lián)系．從思想方法上是一個本質的聯(lián)系，從公式的內部結構來講也是一個本質的聯(lián)系．這次教研活動我感覺收獲很大．

6 啟示與展望

教師專業(yè)發(fā)展需要指導者，關于教師發(fā)展指導者的研究正在進行中．顧泠沅教授認為，教師發(fā)展指導者的工作元素有4項：前端分析、任務設計、過程測評和行為改進．前端分析和過程測評，是教學必須以學生的發(fā)展為本的兩個重要方面，任務設計和行為改進，是教師工作專業(yè)化的兩項基本實踐．關鍵在于怎樣基于學情以及課程改革要求設計教學任務，怎樣通過過程測評不斷改進教學過程．中國的教研指導水平很高，但這兩項目前尚是瓶頸．

此次教學研究活動，是教師發(fā)展指導者根據學情和對學科知識分析的基礎上進行設計改進的一個案例．從教學效果來看，這次設計是卓有成效的．教師發(fā)展指導者和教師應該具有創(chuàng)新精神，不僅要從行為上改進教學，更要注重設計思路的改進．

關于教師發(fā)展指導者的工作，美方和日方也在積極研究中，美方的Lynn Paine教授主要研究教師發(fā)展指導者的知識結構問題，日方重點放在課例（Lesson Study）的研究上．研究者即將進行更多的后續(xù)研究，如教師發(fā)展指導者如何進行課前指導，對新老教師指導的差異有哪些，以及教師發(fā)展指導者自身的專業(yè)發(fā)展等，并即將推出一個教師發(fā)展指導者工作的模式．

[1]王潔，顧泠沅．行動教育——教師在職學習的范式革新[M]．上海：華東師范大學出版社，2007．

[2]顧泠沅．教師發(fā)展指導者工作的研究[R]．上海：中、美、日三國教師發(fā)展指導者預研究研討會，2011．

[3]李士锜，楊玉東．教學發(fā)展進程中的進化與繼承——對兩節(jié)錄像課的比較研究[J]．數學教育學報，2003，12（3）：5-9．

[4]James W Stigler, Shin-ying Lee, Harold W Stevenson. Mathematics Classrooms in Japan, Taiwan, and the United States[J]. Child Development, Special Issue on Schools and Development, 1987, 58(5): 1 272-1 285.

[5]顧非石，俞宏毓，顧泠沅．探究學習的設計與改進——關于一個課例的述評[J]．課程教材教法，2012，（5）：116-119．

[6]黃興豐，龐雅麗，李士锜．數學課堂教師教學行為的繼承和發(fā)展——3節(jié)錄像課的比較研究[J]．數學教育學報，2009，18（6）：54-57．

[7]斯海霞，葉立軍．新老教師數學抽象概括教學差異的比較研究[J]．數學教育學報，2010，19（6）：53-55．