韓朝海

摘要：余弦定理具有一定廣泛的應(yīng)用價值，教學中我們從實際需要出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境。

關(guān)鍵詞：余弦定理；解三角形；數(shù)學情境

“余弦定理”作為高中數(shù)學的主要內(nèi)容，是解決有關(guān)斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓。它是三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題等他數(shù)學問題以及解決生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價值。

一、設(shè)計思路

布魯納指出，學生不是被動的、消極的知識的接受者，而是主動的、積極的知識的探究者。教師的作用是創(chuàng)設(shè)學生能夠獨立探究的情境，引導學生去思考，參與知識獲得的過程。因此，做好“余弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，而且能培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力。

依據(jù)建構(gòu)主義學說，教學不能無視學生的這些經(jīng)驗，另起爐灶，從外部裝進新知識，而是要把學生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗作為新知識的生長點，引導學生從原有的知識經(jīng)驗中“生長”出新的知識經(jīng)驗。我采用“情境—問題”教學模式，以“設(shè)置情境—提出問題—解決問題—反思應(yīng)用”為主線，把從情境中探索和提出數(shù)學問題作為教學的出發(fā)點，以“問題”為紅線組織教學，形成以提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進的“情境—問題”學習鏈，使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”。

二、教學過程

1．設(shè)置情境

自動卸貨汽車的車箱采用液壓機構(gòu)。設(shè)計時需要計算油泵頂桿BC的長度，已知車箱的最大仰角為60°，油泵頂點B與車箱支點A之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為6°，AC的長為1.40m，計算BC的長（保留三個有效數(shù)字）。

2.啟發(fā)思考

能否把這個實際問題抽象為數(shù)學問題？（數(shù)學建模）

在三角形ABC，已知AB＝1.95m，AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°＝66°，求BC的長。這個問題的實質(zhì)是在三角形中，已知兩邊和它們的夾角，求第三邊。

（一般化）三角形ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。

3．解決問題

我們以前遇到這種一般問題時，是從特殊圖形入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。據(jù)此可先在直角三角形中試探一下：直角三角形中c2=a2+b2（勾股定理，角C為直角）斜三角形ABC中，過A作BC邊上的高AD，將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。（聯(lián)想構(gòu)造）

討論：在銳角三角形ABC中，過A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2；在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC，CD＝ACcosC，即AD＝bsinC，CD＝bcosC。

又BD＝BC－CD，即BD＝a－bcosC

∴c2=（bsinC）2+（a－bcosC）2=b2sin2C+a2－2abcosC+b2cos2C

=a2+b2－2abcosC

同理a2=b2+c2－2bccosA

b2=a2+c2－2accosB

在鈍角三角形ABC中，不妨設(shè)角C為鈍角，過A作AD垂直BC交BC的延長線于D，在直角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2；在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π－C），CD＝ACcos（π－C），即AD＝bsinC，CD＝－bcosC，又BD＝BC＋CD，即BD＝a－bcosC

∴c2=（bsinC）2+（a－bcosC）2=b2sin2C+a2－2abcosC+b2cos2C

=a2+b2－2abcosC

同理a2=b2+c2－2bccosA，b2=a2+c2－2accosB

同理可證a2=b2+c2－2bccosA

b2=a2+c2－2accosB

4．反思應(yīng)用

余弦定理揭示了三角形中任意兩邊與夾角的關(guān)系，那么余弦定理能夠解決哪些問題？

知三求一，即已知三角形的兩邊和它們的夾角，可求另一邊；已知三角形的三條邊，求角。

請同學們用余弦定理解決開始提出的問題。（請一位同學將他的解題過程寫在黑板上）

解：由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA

＝1.952＋1.402－2×1.95×1.40cos66°20′

＝3.571

∴BC≈1.89（m）

答：頂桿BC約長1.89m。

三、教學反思

教學時，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，學生成為余弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實，為今后的“定理教學”提供了一些有用的借鑒。