繞點
- 一道與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的動點最值問題的探究
圖3,將△AOB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′O′B′,則Q′為直線A′B′上一動點,根據(jù)垂線段最短,OQ′的最小值為點O到直線A′B′的垂線段的長度d.圖3由題意,得O′(1,1),A′(3,1),B′(1,-3).點評：解法2由旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)出發(fā),直線AB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°所得直線A′B′即為動點Q′的軌跡,但直接求直線A′B′的解析式不方便,因此旋轉(zhuǎn)整個△AOB,先求出點A′和B′的坐標,再求直線A′B′的解析式,最后用面積法求出點O到直線A′B′
中學數(shù)學 2023年20期2023-10-29
- 巧用等腰三角形旋轉(zhuǎn)解題
于α，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD.（1）求證：△COD是等邊三角形．（2）求∠OAD的度數(shù)．思路分析：（1）因為△ADC是由△BOC旋轉(zhuǎn)60°得到的，所以OC = DC，∠ACD = ∠BCO，所以∠OCD = 60°，從而△COD為等邊三角形.（2）因為△ADC是由△BOC旋轉(zhuǎn)60°得到的，所以∠ADC = ∠BOC = α，∠OBC = ∠DAC.在△AOD中，∠AOD = 360° - 105° - α - 60° =
初中生學習指導·中考版 2022年11期2022-12-11
- 巧用旋轉(zhuǎn)法解正方形問題
圖2，將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AE，連接BE，EP，作AF⊥EP于點F. 易證△AEB ≌ △APD，所以AE = AP = 1，EB = PD = [3]. 根據(jù)勾股定理可得EP = [2]，根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠PEB = 90°，所以∠APD = ∠AEB = 135°，點E，P，D三點共線. 在△APF中根據(jù)勾股定理可求得AF = [22]，進而可得S△APD = [64].反思：上述解法以AB = AD，∠BAD = 90°
初中生學習指導·中考版 2022年11期2022-12-11
- 分類例說“角含半角”模型及其相應結(jié)論
AC.將線段AF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AG，連結(jié)BG，根據(jù)已知條件可證得?AFE≌?AGE(SAS)，?ABG≌?ADF(HL)，即可得到GE=FE，BG=DF，即EF=DF+BE.如圖2，∠BAC=90°，∠DAE=45°.將線段AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連結(jié)DF，BF，根據(jù)已知條件可證得?AED≌?AFD(SAS),?AEC≌?AFB(SAS)，即可得到DE=DF，CE=BF，在Rt?BDF中，由勾股定理可得BD2+CE2=DE2
初中數(shù)學教與學 2022年18期2022-12-02
- 巧用旋轉(zhuǎn)變換求解線段(和)的最值問題
圖1,將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到AG,連結(jié)GE,GC.∵D為等邊?ABC的BC邊的中點,∴AD⊥BC,∴∠ACD+∠CAD=90°,∴∠GAE=∠ACD.∵AG=BC,AE=CF,∴?AGE≌?CBF,∴GE=BF.說明當圖形中的線段比較分散時,可以通過旋轉(zhuǎn)變換將分散的線段集中在一個三角形中來解決問題.2.構(gòu)造相似三角形例2[1]如圖2,在Rt?ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=30°,點P為?ABC所在平面內(nèi)的一點,且點P到?ABC的頂點A,
初中數(shù)學教與學 2022年17期2022-10-25
- 動靜轉(zhuǎn)換 化繁為簡
現(xiàn)將三角板DEF繞點G按順時針的方向旋轉(zhuǎn)60°，如圖2所示，在三角板DEF轉(zhuǎn)動的過程中，點H移動的距離為.(結(jié)果保留根號)圖1 圖2分析：本題第(2)問中點H的運動過程比較復雜，直觀的感受是BH的長度慢慢變短，因此很多人都把初始狀態(tài)和結(jié)束狀態(tài)算一下就得出了結(jié)果.造成這種情況是因為在運動過程中很難看出BH長度變化.但利用相對運動的觀念，把三角板DEF看成不動的，三角板ABC繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)60°，這樣就很容易看出GH長度的變化是先變小，當GH⊥DF時，GH最
中學數(shù)學雜志 2022年18期2022-09-24
- 一“點”牽想象 全面引運動
——《圖形的運動》總復習教學
：把三角形ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)180度后得到，也可以把三角形ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)180度后得到。小結(jié)：旋轉(zhuǎn)時，要說清楚繞點、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度，缺一不可。層次三：軸對稱。師：同樣是軸對稱圖形，為什么第一幅這個點是點B的對應點，而第二幅是點C的對應點？生：第一幅對稱軸在AC的位置，第二幅對稱軸則是在AC往右兩格的位置。師：軸對稱的特點是對稱點到對稱軸的距離相等，并且連線與對稱軸垂直。層次四：放大與縮小。師：下圖又是怎么運動的？生：三角形ABC按2∶1放大
小學教學設計(數(shù)學) 2022年6期2022-07-07
- 平行四邊形面積“變形記”
中點，將△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)180°，B的對應點為B′。如圖2，連接OB、OB′?！逴為AC的中點，∴OA=OC。∵△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)180°，∴B、O、B′三點共線且BO=B′O，∴四邊形AB′CB是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）?！摺鰽BC繞點O旋轉(zhuǎn)180°得到△AB′C，∴△ABC≌△CB′A，∴S△ABC=S△AB′C，∴S△ABC=[12]S?AB′CB=[12]BC·AH。因此，三角形的面積公式為S=[12]×底×高?？鬃釉疲骸?/div>
初中生世界·八年級 2022年5期2022-05-27
- 平行四邊形面積“變形記”
中點，將△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)180°，B的對應點為B′。如圖2，連接OB、OB′?！逴為AC的中點，∴OA=OC?！摺鰽BC繞點O旋轉(zhuǎn)180°，∴B、O、B′三點共線且BO=B′O，∴四邊形AB′CB是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）?！摺鰽BC繞點O旋轉(zhuǎn)180°得到△AB′C，∴△ABC≌△CB′A，∴S△ABC=S△AB′C，∴S△ABC=因此，三角形的面積公式為S=圖1圖2孔子云：“溫故而知新，可以為師矣?！痹诮窈蟮臄?shù)學學習中，我們要學初中生世界 2022年18期2022-04-20
- 動靜轉(zhuǎn)換 化繁為簡
現(xiàn)將三角板DEF繞點G按順時針的方向旋轉(zhuǎn)60°，如圖2所示，在三角板DEF轉(zhuǎn)動的過程中，點H移動的距離為.(結(jié)果保留根號)圖1 圖2分析：本題第(2)問中點H的運動過程比較復雜，直觀的感受是BH的長度慢慢變短，因此很多人都把初始狀態(tài)和結(jié)束狀態(tài)算一下就得出了結(jié)果.造成這種情況是因為在運動過程中很難看出BH長度變化.但利用相對運動的觀念，把三角板DEF看成不動的，三角板ABC繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)60°，這樣就很容易看出GH長度的變化是先變小，當GH⊥DF時，GH最中學數(shù)學 2022年18期2022-04-16
- 45°特殊角的存在性處理策略
，B，將直線AB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，交x軸于點C，則直線BC的函數(shù)表達式是 ? ? .解析：∵一次函數(shù)y = 2x - 1的圖象分別交x軸、y軸于點A，B，∴令x = 0，得y = - 1，令y = 0，則x = [12]，∴A [12，0]，B （0， - 1），∴OA = [12]，OB = 1.過A作AF⊥AB交BC于F，過F作FE⊥x軸于E，如圖3.∵∠ABC = 45°，∴△ABF是等腰直角三角形，且AB = AF.∵∠OAB + ∠初中生學習指導·提升版 2022年2期2022-03-08
- 一次數(shù)學探究之旅 ——記一道幾何證題的推廣
出發(fā),將ΔBCO繞點C旋轉(zhuǎn)60°,于是就構(gòu)造出了一個等邊ΔOCO′.證明:將ΔBCO繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°,連結(jié)OO′,BO′,易知ΔOCO′為等邊三角形,則OC=OO′.在ΔBOC中,∠BOC= 180° -10° -20°= 150°,而∠BOO′= 360° -60° -150°= 150°= ∠BOC,易得ΔBOC∽= ΔBOO′,可知∠CBO′= 20°,∠BO′O=∠BCO= 20°,則∠AOO′= ∠ACB= 50°,則點A、B、C、O′四點中學數(shù)學研究(廣東) 2021年22期2022-01-10
- “旋轉(zhuǎn)型”相似在解題中的應用
CD中，△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△AB'C'，AB'，AC'分別交對角線BD于點E，F(xiàn)，若AE=4，則EF·ED的值為 ? ? .分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠ADB=45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠EAF=∠BAC=45°，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得解.解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ADB=45°，∵把△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△AB'C'，∴∠EAF=∠BAC=45° = ∠EDA，∵∠AEF=∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴初中生學習指導·中考版 2021年11期2021-11-27
- 旋轉(zhuǎn)變換助你解題
圖2，將△ABP繞點A旋轉(zhuǎn)到△ACP′位置，則有[AP=AP']，[BP=CP']，[∠APB=∠AP'C].連接[PP']，∵[AP=AP']，∴[∠APP'=∠AP'P].∵[∠AP'C=∠APB<∠APC]，∴∠APC-∠APP′>∠AP′C-∠AP′P，即[∠CPP'>∠CP'P]，∴[CP'>CP]，∴[BP>CP].點評：若已知條件中出現(xiàn)共頂點的相等線段，則可考慮構(gòu)造旋轉(zhuǎn)變換，將分散的條件進行集中.二、旋轉(zhuǎn)60°例2 如圖3，已知正方形ABCD初中生學習指導·中考版 2021年10期2021-09-30
- 慧眼識變換
′）是由△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，如圖2;選項B中三角形的三條邊分別與圖1中△ABC中的對應邊呈“V”字形，所以選項B中的三角形是由△ABC沿直線MN翻折得到的，如圖3;選項C中三角形的三條邊分別與圖1中△ABC中的對應邊平行，每條對應邊的兩個頂點的位置是互換的，由此想到中心對稱變換和平移，如圖4，由△ABC以點O為中心，旋轉(zhuǎn)180°得△A1B1C1，再將△A1B1C1沿OB1方向向左平移1個單位長度得到選項C中的三角形（△A′B′C′）;選項初中生學習指導·中考版 2021年10期2021-09-30
- 從旋轉(zhuǎn)的角度慧眼識圖
因此，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)42°就可以得到△ACE;同樣將△ACE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)42°就可以得到△ABD.【啟示】 用旋轉(zhuǎn)的視角觀察圖形的結(jié)構(gòu)特征，通常能夠發(fā)現(xiàn)其中隱含著三角形全等的關(guān)系. 旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的大?。ㄈ热切蔚膶窍嗟?、對應邊相等），因此可用旋轉(zhuǎn)變換線段的位置，將幾個分散的條件聚集在一起，為順利求解奠定基礎.【慧眼識圖1】 以等腰直角三角形為載體的基本圖形，如圖2.【旋轉(zhuǎn)策略】 如圖2①，P為等腰直角三角形ABC內(nèi)初中生學習指導·提升版 2021年4期2021-09-10
- 讓思維在動態(tài)的情境中延伸
看作是由△DAC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到的. 理由略.反思：觀察圖1，我們發(fā)現(xiàn)圖中有共頂點C的兩對相等的邊CA = CB，CD = CE，且∠ACB = ∠ECD = 60°，容易知道若將△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°便可以與△ACD完全重合，由此啟發(fā)我們當給出的幾何圖形中，出現(xiàn)“相等的線段（等邊三角形或等腰三角形）且線段有公共端點時”，我們可考慮從“旋轉(zhuǎn)”的視角添加輔助線去探究問題. 簡言之，即為：等線段，共頂點，旋轉(zhuǎn)牽手助變換. 下面舉例說明.變式1初中生學習指導·中考版 2021年7期2021-08-21
- “基于素養(yǎng),能力立意”引領下的思維培養(yǎng) ——運動軌跡為圓的問題常見類型
若正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn),得正方形OE′D′F′,記旋轉(zhuǎn)角為α. 若直線AE′與直線BF′相交于點P,求點P的縱坐標的最大值.圖6圖7分析: 如圖6, 當正方形旋轉(zhuǎn)時, ΔBOF′可以由ΔAOE′繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到, 所以BF′⊥AE′, 即∠APB= 90°恒成立,AB=是定值, 所以點P在以AB為直徑的圓上運動. 要求點P縱坐標的最大值, 即求∠E′AO的最大值, 因為E′的以O為圓心, 1 為半徑的圓上,當AE′與⊙O相切時,∠E′A中學數(shù)學研究(廣東) 2020年22期2021-01-11
- 規(guī)律探索問題的解狀之道
，點P（O，2）繞點A旋轉(zhuǎn)1800得到點P1，點Pl繞點B旋轉(zhuǎn)1800得到點P2，點P2繞點C旋轉(zhuǎn)1800得到點P，點P3繞點A旋轉(zhuǎn)1800得到點P4，…，按此作法進行下去，則點P2019的塵標為_____，解析：先根據(jù)題意依次標出前幾個P點，如圖3，發(fā)現(xiàn)每旋轉(zhuǎn)6次為一個循環(huán).依次求得P1（-2，0），P2（2，-4），P3（0，4），P4（-2，-2），Ps（2，-2），P6（0，2），按照此規(guī)律循環(huán)下去，由2019÷6=336……3，可知點P2019的中學生數(shù)理化·中考版 2020年8期2020-10-29
- “共頂點旋轉(zhuǎn)”的等邊三角形
放到△CBD中，繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°.如圖1，作∠ABE = ∠CBD，截取BE = BD，連接ED，EA，∴△EBD是等邊三角形，∴△ABE ≌ △CBD，∴∠BEA = ∠BDC = 30°，∴∠DEA = 30°，∴△ABE ≌ △ADE，∴AB = AD.解法2：以B為旋轉(zhuǎn)中心，將BA放到△ABD中，繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°.如圖2，作∠CBE = ∠ABD，截取BE = BD，連接ED，EC，∴△EBD是等邊三角形，∴△ABD ≌ △CBE，∴C初中生學習指導·中考版 2020年7期2020-09-10
- 2020年本刊原創(chuàng)題（六）
邊三角形，將OD繞點D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中 DE的最小值為 .4.如圖3，四邊形ABCD是菱形，∠DAB = 60°，AB = 5，△BEF是邊長為4的等邊三角形，將△BEF繞點B旋轉(zhuǎn)，連接CF，AE，當∠BCF最大時，△ABE的面積為 .5.如圖4，D是邊長為6的等邊三角形ABC的邊AC的中點，△AEF是直角三角形.其中∠EAF = 90°，AE = 3，AF = 4，P是邊EF上的一個動點，將△EAF繞點A旋轉(zhuǎn)一周，那么PD長度的取值范圍是初中生學習指導·中考版 2020年10期2020-09-10
- 幫你闖關(guān)“輔助線”（十二）
B，則陰影①可以繞點C旋轉(zhuǎn)180°到②的位置，從而在圖中左側(cè)形成一個半徑是2的90°弓形，由此可得陰影面積 = 2（S扇形AOB - S△AOB） = 2-×2×2 = 2π - 4. 點評：通過旋轉(zhuǎn)拼接出規(guī)則圖形是解決本題的關(guān)鍵. 例2 如圖2，△ABC中，AC = 4，BC = 6，求中線CD的取值范圍. 分析：題目求線段長度的取值范圍，容易聯(lián)想到三角形三邊關(guān)系定理，故可以考慮通過等量位移將分散的條件集中起來. 中點D將線段AB平分，提供了180初中生學習指導·中考版 2020年3期2020-09-10
- 圖形旋轉(zhuǎn)與中心對稱題型解析
動：第一步：點D繞點A順時針旋轉(zhuǎn)180°得到點D1;第二步：點D1繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點D2;第三步：點D2繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°回到點D. （1）請用圓規(guī)畫出點D →D1→D2→D經(jīng)過的路徑; （2）所畫圖形是 對稱圖形; （3）求所畫圖形的周長（結(jié)果保留π）. 解析：（1）點D →D1→D2→D經(jīng)過的路徑如圖8所示. （2）所畫圖形是軸對稱圖形. 故應填軸. （3）所畫圖形的周長等于半徑為4的圓的周長，該周長為8π. 三、旋轉(zhuǎn)初中生學習指導·提升版 2020年4期2020-09-10
- “旋轉(zhuǎn)”中的最值問題
將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)一周，當AE取最小值時，AG的長為?！窘馕觥坑伞鰽BC是等邊三角形，點D為BC邊上一點，BD=1/2DC=2，我們可以知道等邊三角形ABC的邊長是6，所以正方形DEFG的邊長也為6。將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)一周，則點E在以點D為圓心，6為半徑的圓上旋轉(zhuǎn)一周，顯然，當正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)到點E、A、D在同一條直線上（如圖2，此時AD+AE=DE）時，AE取最小值，此時△ADG是直角三角形。要求AG的長，已經(jīng)有了DG的長，則必須初中生世界·九年級 2020年6期2020-09-08
- “線段關(guān)系”疑無路“圖形變換”又一村
=BC可知：BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°與BC重合。由∠ABC=60°，∠ADC=30°可知，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=270°。如圖8，若將BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°的同時，將△ABD繞點B旋轉(zhuǎn)至△CBE，則△BCE≌△BAD。此時可得BD=BE、∠A=∠BCE，所以∠BCE+∠BCD=270°，故∠DCE=90°。然后由BD=BE、∠DBE=60°證得△BDE是等邊三角形，于是將BD轉(zhuǎn)化為ED。由△BCE≌△BAD能將AD轉(zhuǎn)化為CE，在Rt△CDE初中生世界·九年級 2020年6期2020-09-08
- 踩點答對題 自信得滿分
一點，將線段AM繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)與∠BAC相等的角度，得到線段AN，連接NB。（1）如圖1，若M是線段BC上的任意一點，請直接寫出∠NAB與∠MAC的數(shù)量關(guān)系是_____，NB與MC的數(shù)量關(guān)系是_____（2）如圖2，點E是AB延長線上一點，若M是∠CBE內(nèi)部射線BD上任意一點，連接MC，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由。（二）拓展應用如圖3，在△A1B1C1中，A1B1=8，∠A1B1C1=60°，∠B1A1C1=初中生世界·九年級 2020年6期2020-09-08
- 想象先行 虛實相融 ——《圖形的運動（三）》教學實踐（一）
1”的？生：指針繞點O，從“12”起順時針方向，旋轉(zhuǎn)30 度到“1”。師：通過學習，你知道描述旋轉(zhuǎn)運動必須具備哪些要素嗎？生：描述旋轉(zhuǎn)運動必須具備旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度三個要素。3.借助想象，深入理解旋轉(zhuǎn)要素。（1）想象旋轉(zhuǎn)過程。師：（出示一個空白鐘面）指針從“6”到“9”，你能想象出旋轉(zhuǎn)過程嗎？生：指針從“6”起，繞點O 順時針方向，旋轉(zhuǎn)90 度到“9”。師：只能這樣旋轉(zhuǎn)嗎？生：指針從“6”起，繞點O 逆時針方向，旋轉(zhuǎn)270 度到“9”。（2）深入小學教學設計(數(shù)學) 2020年5期2020-06-15
- 插上“隱形的翅膀”，“翱翔”于三角形世界
=6，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′BC′，連接A′C，則A′C的長為 。同學們，你們覺得此題的突破點可能在哪里？除已知的特殊三角形外，常見的處理辦法是連接CC′得到等邊三角形C′BC（如圖6）。把A′C拆分成兩條線段后分別放在等腰三角形A′BC′和等邊三角形△C′BC中求解。三角形考查的重點是特殊三角形：等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形等?！半[形”三角形是難點，它們還可以“隱形置身”于動態(tài)問題中。把一條線段繞端點旋轉(zhuǎn)任意角度初中生世界 2020年15期2020-06-05
- “旋轉(zhuǎn)”中的最值問題
將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)一周，當AE取最小值時，AG的長為______。圖1【解析】由△ABC是等邊三角形，點D為BC邊上一點我們可以知道等邊三角形ABC的邊長是6，所以正方形DEFG的邊長也為6。將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)一周，則點E在以點D為圓心，6為半徑的圓上旋轉(zhuǎn)一周，顯然，當正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)到點E、A、D在同一條直線上（如圖2，此時AD+AE=DE）時，AE取最小值，此時△ADG是直角三角形。要求AG的長，已經(jīng)有了DG的長，則必須求出AD初中生世界 2020年23期2020-06-04
- “線段關(guān)系”疑無路 “圖形變換”又一村
=BC可知：BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°與BC重合。由∠ABC=60°，∠ADC=30°可知，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=270°。如圖8，若將BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°的同時，將△ABD繞點B旋轉(zhuǎn)至△CBE，則△BCE≌△BAD。此時可得BD=BE、∠A=∠BCE，所以∠BCE+∠BCD=270°，故∠DCE=90°。然后由BD=BE、∠DBE=60°證得△BDE是等邊三角形，于是將BD轉(zhuǎn)化為ED。由△BCE≌△BAD能將AD轉(zhuǎn)化為CE，在Rt△CDE初中生世界 2020年23期2020-06-04
- 踩點答對題 自信得滿分
一點，將線段AM繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)與∠BAC相等的角度，得到線段AN，連接NB。（1）如圖1，若M是線段BC上的任意一點，請直接寫出∠NAB與∠MAC的數(shù)量關(guān)系是________，NB與MC的數(shù)量關(guān)系是 ；圖1（2）如圖2，點E是AB延長線上一點，若M是∠CBE內(nèi)部射線BD上任意一點，連接MC，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由。圖2（二）拓展應用如圖3，在△A1B1C1中，A1B1=8，∠A1B1C1=60°，∠B1A初中生世界 2020年23期2020-06-04
- 插上“隱形的翅膀”，“翱翔”于三角形世界
=6，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'BC'，連接A'C，則A'C的長為_________。同學們，你們覺得此題的突破點可能在哪里？除已知的特殊三角形外，常見的處理辦法是連接CC'得到等邊三角形C'BC（如圖6）。把A'C拆分成兩條線段后分別放在等腰三角形A'BC'和等邊三角形△C'BC中求解。三角形考查的重點是特殊三角形：等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直焦三角形等?！半[形”三角形是難點，它們還周以“隱形置身”于動態(tài)問題中。把一條線段繞初中生世界·九年級 2020年4期2020-05-03
- 巧借“全等”突破坐標系中“旋轉(zhuǎn)”問題
中點，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)900后得到△A′BC′。則點A′、C′的坐標分別是______。【分析】由點C是OB的中點得點C的坐標為（0，3），繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點C′（3，6）。點A′是點A繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得的點，如圖6，即AB⊥A′B，且AB=A′B。在此條件下，可通過向y軸作垂線段構(gòu)造全等三角形，從而求得點A′的坐標。解：如圖7，作A′H⊥OB，垂足為H。∵AB⊥A′B，∴∠ABO+∠A′BH=∠ABO+∠BA0=90°，∴∠BA初中生世界·八年級 2020年2期2020-03-08
- 兩類“三線碰頭”問題的處理策略
、PB的△PAB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°至△NAM，連接NP（如圖3）.該旋轉(zhuǎn)變換的四大作用是：①通過全等變換（△PAB≌△NAM）將線段PB轉(zhuǎn)化為等長線段NM;②通過出現(xiàn)的等邊△APN使線段PA轉(zhuǎn)化為等長線段PN;③由①②實現(xiàn)“碰頭三線”→“連接三折線”的轉(zhuǎn)化;④使∠CAM=60°+60°=120°，于是可以構(gòu)造含有特殊角60°的直角三角形，通過解直角三角形求和的最小值.所以，由“兩點之間，線段最短”得知，（PA+PB+PC）min=（PN+NM+PC）m中學數(shù)學雜志(初中版) 2019年5期2019-11-25
- 利用旋轉(zhuǎn)法妙解一類解三角形問題*
0°，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE，如圖2所示.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)易得△ADE是等腰直角三角形，∠CEA=135°，從而∠CED=135°-45°=90°，于是CD2=CE2+DE2.又由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知CE=BD，得CD2=BD2+DE2，因為△ADE是等腰直角三角形，所以DE2=2AD2，故CD2=BD2+2AD2，點評 從上面解題過程可以發(fā)現(xiàn)：旋轉(zhuǎn)法非常巧妙，稍微旋轉(zhuǎn)一下居然就能扭轉(zhuǎn)乾坤，但細心之下不難發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)法的巧妙還是需要題目條件的“精心”配合中學教研(數(shù)學) 2019年7期2019-07-24
- 一類對角互補型問題的解題策略
圖2，將△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得△CBE，則∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，得△ACE是一個頂角為120°的等腰三角形，作CM⊥AE于M，解此三角形可得AC的長。圖2解法二：運用角平分線策略。如圖3，過C作CE⊥AB，交AB延長線于E，CF⊥AD于F，借助角平分線性質(zhì)、兩次三角形全等、30°角特殊性質(zhì)、勾股定理等知識可得AC的長。圖3【模型解讀】如圖4，從原題中四邊形ABCD來看，結(jié)合“圓內(nèi)接四邊形對角互補”，可得這個四邊形初中生世界 2019年19期2019-05-25
- 旋出等邊三角形和等腰直角三角形
OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD，要使點D恰好落在BC上，求AP的長。圖1【解析】乍一看，這道題有兩個條件：（1）一個等邊三角形——△ABC；（2）兩條相等的線段——OD=OP。但單憑這兩個條件卻不容易解決問題。事實上，由于OD=OP，∠DOP=60°，我們可以得知△DOP也是等邊三角形，因此本題實際上是我們熟悉的一個特別簡單的圖形（如圖2）。圖2在圖2中，△COD≌△APO≌△BDP，這樣，問題就很容易解決了?！军c評】當一條線段繞著一個初中生世界 2019年15期2019-05-05
- 旋出等邊三角形和等腰直角三角形
OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD，要使點D恰好落在BC上，求AP的長。【解析】乍一看，這道題有兩個條件：（1）一個等邊三角形——△ABC;（2）兩條相等的線段——OD=OP。但單憑這兩個條件卻不容易解決問題。事實上，由于OD=OP，∠DOP=60°，我們可以得知△DOP也是等邊三角形，因此本題實際上是我們熟悉的一個特別簡單的圖形（如圖2）。在圖2中，△COD≌△APO≌△BDP，這樣，問題就很容易解決了?！军c評】當一條線段繞著一個端點旋轉(zhuǎn)初中生世界·九年級 2019年4期2019-05-05
- 對直線繞點旋轉(zhuǎn)問題的思考—對2017年深圳中考壓軸題的剖析、拓展及反思
(3)將直線BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°,與拋物線交于另一點E,求BE的長.二、解析探究及模型構(gòu)建1.K型全等模型K型全等也稱半弦圖,同時是“一線三等角”相似模型的一種特例.由等腰直角三角形斜放通過作橫縱輔助線從而構(gòu)造的全等.通常思路是“45°?等腰直角三角形?K型全等”.如圖2,△ABC是等腰直角三角形,作AD,CE垂直過B點的水平線于D、E兩點.圖2結(jié)論:△ADB.證明因為 ∠D= ∠E= ∠ABC=90°,所以∠ABD+∠CBE=∠BCE+∠CBE=9中學數(shù)學研究(廣東) 2018年18期2018-10-16
- 舉一反三 論劍中考
圖1，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得△DBE，點C的對應點E恰好落在AB延長線上，連接AD.下列結(jié)論一定正確的是（ ）.A.∠ABC=∠E B.∠CBE=∠CC.AD∥BC D.AD=BC【分析】此題考查了全等中的旋轉(zhuǎn)變換，由題意知AB=BD，∠ABD＝60°，可得△ABD為等邊三角形，從而可得∠DAB＝60°.又∠CBE＝60°，所以AD∥BC，故選C.圖1 圖2變式1 如圖2，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得△DBE，點C的對應點E恰好落在線段A初中生世界 2018年34期2018-09-21
- 中考課題學習型試題
畫圖：將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點B的對應點為B′，點C的對應點為C′，連接BB′；【問題解決】如圖2，在等邊三角形ABC中，AC=7，點P在△ABC內(nèi)，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面積．小明同學通過觀察、分析、思考，對上述問題形成了如下想法：想法一：將△APC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B，連接PP′，尋找PA，PB，PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；圖1圖2想法二：將△APB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得初中生 2018年24期2018-08-20
- 旋轉(zhuǎn)在解中考數(shù)學試題中的應用
如圖1，將DQ繞點D分別逆時針旋轉(zhuǎn)90°，順時針旋轉(zhuǎn)90°至DA、DB，連接AQ、AF、BQ、BE.由旋轉(zhuǎn)知∠QDA=90°，即∠1+∠4=90°.又∠1+∠5=90°，故∠4=∠5.結(jié)合DE=DF，易證ΔDEQ≌ΔDFA.從而有∠2=∠6.又由等腰RtΔDEF中得∠3+∠7=45°.又因為∠6=∠2=∠3，所以∠6+∠7=45°，即∠QFA=45°.又因為∠1=∠2，∠1+∠5=90°，所以∠2+∠5=90°，即∠EQD=90°.所以∠DAF=90°.理科考試研究·初中 2017年11期2018-03-06
- 基于反思的旋轉(zhuǎn)復習課教學設計與思考
生2：將△BEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)∠ABC，得到△BE′A，連接DE′（如圖3）.由第一題可知DE=DE′，由旋轉(zhuǎn)可知CE=AE′，∠E′AD= 90°，所以DE′2=AD2+AE′2，所以DE2=AD2+EC2.圖3二、比較法反思1——比較條件和解法的共同處師：兩問中條件有什么共同處？生3：都有BA=BC，∠DBE=∠ABC.師：兩問中解法有什么共同處？生4：都將△BEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)∠ABC，得到△BE′A.【設計意圖】掌握比較法反思策略中方法之一，比中學數(shù)學雜志 2017年12期2017-06-26
- 共點又等長 旋轉(zhuǎn)來變換
考慮將△BA P繞點B旋轉(zhuǎn)60°得△B C Q，此時P A＝Q C，P B＝Q B，這相當于把P A、P B分別變換到Q C、Q B.易知△B P Q是等邊三角形，從而Q B＝P Q，這樣以P A、P B、P C為邊的三角形就是△P Q C.在△P Q C中，∠PQ C＝∠BQ C－60°＝140°－60°＝80°，∠Q PC＝∠B P Q－60°＝（360°－140°－130°）－60°＝30°，∠PC Q＝180°－80°－30°＝70°.例2 如圖2初中生天地 2016年30期2016-12-07
- 旋轉(zhuǎn)經(jīng)常見 解法靈活變
A C所在的直線繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角α （0°＜α＜90°）后得直線l，直線l與A D、B C兩邊分別相交于點E和點F.（1）求證：△A O E≌△C O F；（2）當α＝30°時，求線段E F的長度.圖1解析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)有A O＝O C，∠O AE＝∠O C F，又∵ ∠A O E＝∠C O F，∴ △A O E≌△C O F.（2）∵ A B＝B C＝2，∠A B C＝60°，∴ △A B C為等邊三角形.∴ A C＝2，∠A C B＝60°，初中生天地 2016年30期2016-12-07
- “三角形”復習專題
如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，若線段AB=3，則BE=_______.2. 如圖，△ABC三邊的中線AD，BE，CF相交于點G，若S△ABC=12，則圖中陰影部分面積是_______.16. 數(shù)學活動——求重疊部分的面積.問題情境：數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=EF=8，頂點D與邊AB的中點重合.（1） 獨立思考：若D初中生世界·九年級 2016年6期2016-05-27
- 例談“旋轉(zhuǎn)法”構(gòu)造全等三角形，外顯解題思路與技巧
AE.即△DAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°與△BAE重合.所以可旋轉(zhuǎn)三角形的重要線段（或?qū)€段），從而構(gòu)造三角形全等.方法1 （構(gòu)造對應高相等）如圖1（2），過點A作AP⊥CD于點P， AQ⊥BE于點Q，則∠APD = ∠AQB = 90°. 因為△DAC ≌ △BAE，所以∠ADP = ∠ABQ，AD = AB，所以△ADP ≌ △ABQ，所以AP = AQ，又AO = AO，所以△APO ≌ △AQO（HL）. 所以∠DOA = ∠EOA，即OA平分∠D數(shù)學學習與研究 2015年8期2015-07-06
- 解決幾何問題的好幫手——輔助線
（解題突破口），繞點O旋轉(zhuǎn)，即可得到圖3。這個模型，就為我們添加輔助線找到了思路?；氐綀D1，我們在旋轉(zhuǎn)△BCE的同時，△OBE也在旋轉(zhuǎn)。因此，我們不妨過點A，作AN⊥BE，連接ON（如圖2）?！鱋BE旋轉(zhuǎn)90°到△ONA。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)角相等，因此OE旋轉(zhuǎn)到ON的旋轉(zhuǎn)角也為90°，顯然△EOM是等腰RT△。而由BN=CE=3，所以EN=BE—BN=5-3=2。易證OM=■EN=1。以下是解答過程：（如圖2）過O點作OM⊥BE，垂足為點M過點A作AN⊥新校園·中旬刊 2014年7期2014-10-16
- 巧拼三角板求tan15°的值
法1中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15°即是方法2的拼接方式．方法3將一副三角板按圖5所示的方式拼接，其中等腰直角三角形的斜邊與半等邊三角形的較長直角邊重合，BD與AE交于點M，則∠BAE=45°-30°=15°．以下解法同方法1．評注將方法1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30°再沿直線AC翻折即是方法3的拼接方式．圖5 圖6方法4將一副三角板按圖6所示的方式拼接，其中AB與AE在一條直線上，BC與AD交于點M，則∠CAD=45°-30°=15°．以下解法同方中學教研(數(shù)學) 2012年4期2012-11-06
- “旋轉(zhuǎn)變換”迷人眼，“見微知著”深追問——2012年浙江義烏市中考第23題的思路突破與反思追問
5°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1.（1）如圖1，當點C1在線段CA的延長線上時，求∠CC1A1的度數(shù).（2）如圖2，連AA1，CC1.若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積.（3）如圖3，點E為線段AB的中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值.思路突破：第一步，“特例引路”初感知可以發(fā)現(xiàn)第（1）問中“點C1在線段CA的延長線上”是旋轉(zhuǎn)后的特殊位中學數(shù)學雜志 2012年16期2012-08-27
- 一道經(jīng)典習題的其他結(jié)論
，將等邊△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，以上結(jié)論是否還成立，如果成立，給出證明，如果不成立，請說明理由.圖1圖2本題是一道經(jīng)典的運用等邊三角形的性質(zhì)、圖形變換、全等三角形的判定的動態(tài)習題，很多版本的教材都不約而同的將它選為例題或練習.這兩個小題都是證明△ACE≌△DCB，從而得出AE=BD.其實，對這個問題，在條件不變的前提下，還有其他一些結(jié)論，下面對此進行探究.結(jié)論1 如圖3，將等邊△BCE繞點C旋轉(zhuǎn)，當點A，D，B三點在同一直線上時，AE+AC=AB中學數(shù)學雜志 2011年32期2011-08-25
- 巧分割 妙拼圖
四邊形AMH1P繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)180°，把四邊形CNH2Q繞點N順時針旋轉(zhuǎn)180°，再把四邊形BQH2M沿射線BD的方向平移線段BD的長度，即可拼接成如圖2所示的矩形。你知道如此剪拼能成功的道理嗎?(可連結(jié)線段PM、PN、QM、QN得“中點∪PMQN”，證得MH1=NH2，MH2=NH1，進而分析可得)事實上，在圖1中，當H1為MN上任意一點時，連結(jié)PH1，再過點Q作QH2／／PH1，交MN于點H2(如圖3)。在拼法不變的情況下，可得到平行四邊形(如圖4發(fā)明與創(chuàng)新·中學生 2009年9期2009-11-02
- 圖形的旋轉(zhuǎn)中考題精選
的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AB′C′D′，圖中陰影部分的面積為（）.A． 1- B. C. 1- D. 4. 正方形ABCD在坐標系中的位置如圖4，將正方形ABCD繞D點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，B點到達的位置的坐標為（）.A. （－2，2） B. （4，1） C. （3，1） D. （4，0）5. 下面四個三角形中，不能由圖5經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的是（）.6. 汽車緊急轉(zhuǎn)彎時方向盤快速轉(zhuǎn)動，其形狀、大小______發(fā)生改變（“將會”或“不會”中學生數(shù)理化·中考版 2008年9期2008-12-01
- 旋轉(zhuǎn)習題大展評
如圖1，△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)40°后，到了△AB′C′的位置，若∠B=35°，∠C=60°，則∠B′AC=______.解析： 本題中的旋轉(zhuǎn)角是∠BAB′和∠CAC′，都為40°.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得∠BAC=85°，所以∠B′AC=85°－40°=45°.二、作圖題例2 如圖2，Rt△ABC的邊長分別為a，b，c，將這個三角形繞點O按順時針方向連續(xù)旋轉(zhuǎn)三次，每次都旋轉(zhuǎn)90°.（1） 作出每次旋轉(zhuǎn)后的三角形.（2） 從所得圖形中，你能推導出勾股定中學生數(shù)理化·中考版 2008年9期2008-12-01
- 《全等三角形》測試題
0°.將△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)25°后得到△ADE，則∠CAD=__.8． 如圖5，△ABC≌△DEC，∠A∶∠BCA∶∠ABC=3∶10∶5，則∠D=__，∠BCD=__.二、選擇題（每小題4分，共32分）9． 下列各組圖形中是全等圖形的是（）.10． 有下列說法：①所有的等邊三角形都全等；②兩個全等三角形的最大邊是對應邊；③兩個全等三角形的對應角相等；④面積相等的兩個三角形全等.其中正確的有（）.A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個11中學生數(shù)理化·八年級數(shù)學人教版 2008年8期2008-09-27
- 平行四邊形面積“變形記”