王鋒

引例 人教版九年級數(shù)學(xué)上冊第80頁【綜合應(yīng)用】中有如下一道習(xí)題：

如圖1，△ABC，△ECD都是等邊三角形，△EBC可以看作是△DAC經(jīng)過什么圖形變換得到的？請說明理由.

解：△EBC可以看作是由△DAC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的. 理由略.

反思：觀察圖1，我們發(fā)現(xiàn)圖中有共頂點(diǎn)C的兩對相等的邊CA = CB，CD = CE，且∠ACB = ∠ECD = 60°，容易知道若將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°便可以與△ACD完全重合，由此啟發(fā)我們當(dāng)給出的幾何圖形中，出現(xiàn)“相等的線段（等邊三角形或等腰三角形）且線段有公共端點(diǎn)時(shí)”，我們可考慮從“旋轉(zhuǎn)”的視角添加輔助線去探究問題. 簡言之，即為：等線段，共頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)牽手助變換. 下面舉例說明.

變式1：將其中的一個(gè)等邊三角形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，并使兩個(gè)等邊三角形相對位置發(fā)生變化，探究圖形具有的性質(zhì).

例1（2020·貴州·黔東南）如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形.

（1）探究發(fā)現(xiàn)△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明;若不全等，請說明理由.

（2）拓展運(yùn)用：若B，C，E三點(diǎn)不在一條直線上，∠ADC=30°，AD=3，CD=2，求BD的長.

解析：（1）全等，理由略;

（2）如圖2，由（1）得：△BCD ≌△ACE，∴BD=AE，

∵△DCE是等邊三角形，∴∠CDE=60°，DE=CD=2，

∵∠ADC=30°，∴∠ADE=∠ADC + ∠CDE=30° + 60°=90°，

在Rt△ADE中，AD=3，DE=2，

∴AE[ =AD2+DE2=9+4=13]，

∴BD [=13].

變式2：將其中的一個(gè)等邊三角形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，并使一個(gè)等邊三角形一邊位于另一個(gè)等邊三角形的內(nèi)部，并連接剩余兩對頂點(diǎn)構(gòu)造相應(yīng)圖形，探究圖形具有的性質(zhì).

例2（2020·山東·威海）（1）如圖3，△ABC與△ADE都是等邊三角形，直線BD，CE交于點(diǎn)F. 直線BD，AC交于點(diǎn)H. 求∠BFC的度數(shù).

（2）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），N為y軸上一動點(diǎn)，連接MN. 將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段MK，連接NK，OK. 求線段OK長度的最小值.

解析：觀察圖3，受例題的啟發(fā)，根據(jù)“SAS”容易證明△BAD ≌△CAE，可以發(fā)現(xiàn)△BAD與△CAE是一對繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°的全等三角形，這樣便可以將∠ABD轉(zhuǎn)化到∠ACE的位置，在△BFC中，利用三角形內(nèi)角和定理獲取問題答案.

（1）∵△ABC，△ADE是等邊三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°=∠ABC=∠ACB，

∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD ≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠ACE.

∵∠ABD + ∠FBC=∠ABC=60°，∴∠ACE + ∠FBC=60°，

∴∠BFC=180° - ∠FBC - ∠ACE - ∠ACB=60°.

（2）∵將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段MK，

∴MN=MK，∠NMK=60°，∴△MNK是等邊三角形，

∴MK=MN=NK，∠NMK=∠NKM=∠KNM=60°，

由題意可知點(diǎn)K的位置隨著點(diǎn)N的變化而變化，受引例的啟發(fā)我們可以將△MOK繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△MQN的位置（如圖5），便有NQ=OK，故只需求QN的最小值. 易知△OQM是等邊三角形，故點(diǎn)Q是定點(diǎn)，顯然當(dāng)QN⊥y軸時(shí)，NQ有最小值. 下面給出其解答過程：

如圖5，將△MOK繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MQN，連接OQ，

∴△MOK ≌△MQN，∠OMQ=60°，

∴OK=NQ，MO=MQ，

∴△MOQ是等邊三角形，

∴∠QOM=60°，∴∠NOQ=30°，

∵OK=NQ，∴當(dāng)NQ取最小值時(shí)，OK有最小值，

由垂線段最短可得：當(dāng)QN⊥y軸時(shí)，NQ有最小值，

此時(shí)，QN'⊥y軸，∠N'OQ=30°，

∴N'Q [=12]OQ [=32]，∴線段OK長度的最小值為[32].

反思：本題通過將△MOK繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到△MQN的位置，巧妙把線段OK轉(zhuǎn)化到QN的位置，可知當(dāng)QN⊥y軸時(shí)，NQ有最小值，進(jìn)而確定線段OK長度的最小值，可見旋轉(zhuǎn)的魅力.