☉江蘇南通市通州區(qū)平潮實(shí)驗(yàn)初中 叢遠(yuǎn)林

基于反思的旋轉(zhuǎn)復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

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本節(jié)內(nèi)容是教師復(fù)習(xí)人教版課標(biāo)教材九年級(jí)上冊(cè)旋轉(zhuǎn)知識(shí)的一節(jié)內(nèi)容，教學(xué)設(shè)計(jì)如下.

一、練習(xí)

先請(qǐng)同學(xué)們解兩道題：

（1）如圖1，在△ABC中，BA=BC，D、E是AC邊上的兩點(diǎn)，且滿足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜∠ABC）.以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△BEC按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ABC，得到△BE′A（點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E′處），連接DE′.求證：DE′=DE.

圖1

圖2

（2）如圖2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D、E是 AC邊上的兩點(diǎn)，且滿足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜ 45°）.求證：DE2=AD2+EC2.

師：第（1）題怎么解？

生1：由旋轉(zhuǎn)和已知條件，易證△BED≌△BE′D，得到DE=DE′.

師：第（2）題呢？

生2：將△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ABC，得到△BE′A，連接DE′（如圖3）.由第一題可知DE=DE′，由旋轉(zhuǎn)可知CE=AE′，∠E′AD= 90°，所以DE′2=AD2+AE′2，所以DE2=AD2+EC2.

圖3

二、比較法反思1——比較條件和解法的共同處

師：兩問(wèn)中條件有什么共同處？生3：都有BA=BC，∠DBE=∠ABC.

師：兩問(wèn)中解法有什么共同處？

生4：都將△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ABC，得到△BE′A.

【設(shè)計(jì)意圖】掌握比較法反思策略中方法之一，比較條件和解法的共同處.

三、拓展法反思1——研究所有情形

師：第（2）題怎么拓展呢？請(qǐng)小組討論，再全班交流.

生5：當(dāng)∠ABC為銳角時(shí)（其他條件不變），AD、DE、EC三邊中存在兩邊的平方和等于另一邊的平方嗎？

生6：不存在.將△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ABC，得到△BE′A，連接DE′（如圖4）.由于∠ABC是銳角，所以∠E′AD是鈍角，AD、DE′、AE′中不存在兩邊的平方和等于另一邊的平方，所以AD、DE、EC中不存在兩邊的平方和等于另一邊的平方.

圖4

生7：當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)（其他條件不變），存在DE2= AD2+EC2嗎？

生8：不存在.將△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ABC，得到△BE′A，連接DE′（如圖5）.由于∠ABC是鈍角，所以∠E′AD是銳角，不存在DE′2=AD2+E′A2，所以不存在DE2= AD2+EC2.

生9：當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)（其他條件不變），如存在EC2=AD2+DE2，∠EBC等于多少度？

生10：∠EBC=45°.將△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ABC，得到△BE′A，連接DE′（如圖5）.如存在EC2=AD2+DE2，則E′A2=AD2+DE′2，所以∠ADE′=90°，所以∠BDE=45°，所以∠DEB+∠DBE=135°.因?yàn)椤螪EB=∠C+∠EBC，∠DBE=，所以135°，所以，所以∠EBC=45°.

生11：同樣，當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)（其他條件不變），如存在AD2= EC2+DE2，則∠ABD=45°.將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ABC，得到△BCF，連接EF（如圖6）.如存在AD2=EC2+DE2，則CF2=EF2+CE2，所以∠CEF=90°，所以∠DEB=45°，所以∠BDE+∠DBE=135°.因?yàn)?∠A），所以，所以∠A+，所以∠ABD=45°.

圖6

師：拓展法反思，研究所有情形.

【設(shè)計(jì)意圖】掌握拓展法反思策略中方法之一，研究所有情形.

四、拓展法反思2——特殊情形到一般情形

（3）如圖7，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？

師：請(qǐng)同學(xué)們先解一下.

圖7

圖8

生12：將△EBC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△FDC（如圖8），A、D、F共線，易證△CGE≌△CGF，所以EG=GF，所以GE=BE+GD.

師：這一題怎么拓展呢？

生13：對(duì)于一般的四邊形ABCD，E是AB上一點(diǎn)，G在AD上，如果∠GCE=∠BCD（如圖9），四邊形ABCD還需滿足什么條件，GE=BE+GD仍成立？

師：拓展得好，從特殊情形拓展到一般情形.

圖9

圖10

生14：受第（3）題解法的啟發(fā)，只要將△CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BCD（如圖10），所得的三角形與△CDG拼成的△CGH與△CGE全等，則GE=BE+GD仍成立，所以必須CB=CD，∠B+∠ADC=180°.

【設(shè)計(jì)意圖】掌握拓展法反思策略中方法之二，從特殊情形到一般情形.

五、比較法反思2——比較圖形的本質(zhì)聯(lián)系

生15：回到圖7，如果截掉△CDG，所得的圖形大小和形狀不變.在四邊形ABCG中（如圖11），AG∥BC（BC＞AG），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點(diǎn)，且∠GCE=45°.如果AB、BC的長(zhǎng)確定，BE確定，或者AB、BC的長(zhǎng)確定，AG確定，那整個(gè)圖形就確定了，可以求出其余所有線段的長(zhǎng).

圖11

圖12

師：太好了，他還是運(yùn)用比較法反思，比較圖形的聯(lián)系.在圖11中，如果已知AB=BC=a，AG=b，那怎么求GE的長(zhǎng)？

生16：如圖12，補(bǔ)全截掉的△CDG，利用圖7的結(jié)論GE=BE+GD，設(shè)GE=x，則GD=a-b，BE=x-（a-b）=x-a+b，AE=a-（x-a+b）=2a-x-b，在直角三角形AGE中，由勾股定理構(gòu)建方程就可求出GE.

師：同學(xué)們?cè)僬?qǐng)看圖4、圖8、圖10，它們看上去差別非常大，本質(zhì)上有什么共性？能用一個(gè)模型來(lái)說(shuō)明嗎？

生17：它們本質(zhì)上都是將一個(gè)三角形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)等腰三角形的頂角，得到一個(gè)三角形.模型如圖13所示.

【設(shè)計(jì)意圖】掌握比較法反思策略中方法之二，比較圖形的本質(zhì)聯(lián)系.

圖13

師（總結(jié)）：比較法反思：條件、解法、圖形上本質(zhì)的聯(lián)系.拓展法反思：研究所有情形，特殊情形到一般情形.

教學(xué)反思：

目前的復(fù)習(xí)課，還主要停留在認(rèn)知層面上，還沒有進(jìn)入元認(rèn)知領(lǐng)域.元認(rèn)知包括元認(rèn)知計(jì)劃、元認(rèn)知監(jiān)控、元認(rèn)知調(diào)節(jié)、反思等.它教學(xué)生如何制定計(jì)劃，如何監(jiān)控自己的思維，思維遇阻時(shí)如何調(diào)節(jié)自己的思維，如何反思.心理學(xué)家對(duì)思維過(guò)程中主要是認(rèn)知能力與元認(rèn)知能力共同起作用已達(dá)成共識(shí)，元認(rèn)知能力實(shí)質(zhì)上是思維能力的內(nèi)在組織形式.不培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力，學(xué)生的思維能力發(fā)展是不全面的，是不能有本質(zhì)提升的.國(guó)際著名的數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中及時(shí)、多角度地反思，能促使從新的角度，多層次、多側(cè)面地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行全面考察、分析與思考……對(duì)思維能力的提高大有裨益.”因此，本節(jié)復(fù)習(xí)課以反思為載體，深入學(xué)生元認(rèn)知領(lǐng)域，培養(yǎng)學(xué)生元認(rèn)知能力，提升學(xué)生思維能力，創(chuàng)新復(fù)習(xí)課教學(xué).反思不僅僅是對(duì)所學(xué)知識(shí)一般性的回顧或重復(fù)，而且是深究學(xué)習(xí)活動(dòng)中所涉及的知識(shí)、方法、思路、策略等，是對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)的總結(jié)、提煉、再探索、再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造.本節(jié)復(fù)習(xí)課就是讓學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)學(xué)習(xí)的再探索、再發(fā)現(xiàn)、再提煉，也從中掌握比較法、拓展法的反思策略.

1.陳琦，劉儒德.當(dāng)代教育心理學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2004.

2.叢遠(yuǎn)林.解題后怎樣反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（4）.

3.叢遠(yuǎn)林.淺談如何培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知技能［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2012（9）.

4.劉東升，符永平.關(guān)注“后半段”：以“有理數(shù)復(fù)習(xí)（1）”研討課為例——兼談對(duì)復(fù)習(xí)課的教學(xué)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（4）.

5.章民.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)實(shí)踐與反思——以課題“一次函數(shù)的概念”課堂教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（3）.

圖5