苑建廣

本文出示了一個(gè)問題的解決方法及解決問題后的延伸思考，給大家提供了一個(gè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效方法。

問題：請(qǐng)你把任意一個(gè)凸四邊形剪成四塊。使這四塊能拼接成一個(gè)矩形。

方法：如圖1所示，ABCD是一個(gè)凸四邊形。分別取四條邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)M、Q、N、P，連結(jié)MN；再分別過點(diǎn)P、Q作PH₁⊥MN，QH₂⊥MN，垂足分別為H₁、H₂。此時(shí)，四邊形ABCD被分割成四塊。把四邊形AMH₁P繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，把四邊形CNH₂Q繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，再把四邊形BQH₂M沿射線BD的方向平移線段BD的長(zhǎng)度，即可拼接成如圖2所示的矩形。

你知道如此剪拼能成功的道理嗎?(可連結(jié)線段PM、PN、QM、QN得“中點(diǎn)∪PMQN”，證得MH₁=NH₂，MH₂=NH₁，進(jìn)而分析可得)事實(shí)上，在圖1中，當(dāng)H₁為MN上任意一點(diǎn)時(shí)，連結(jié)PH₁，再過點(diǎn)Q作QH₂／／PH₁，交MN于點(diǎn)H₂(如圖3)。在拼法不變的情況下，可得到平行四邊形(如圖4)。

繼續(xù)思考，你能用其他方法將任意一個(gè)凸四邊形剪成四塊。使這四塊能拼接成平行四邊形嗎?

如圖5所示，分別取四條邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)M、O、N、P，連結(jié)MN、PQ交于點(diǎn)H。此時(shí)，四邊形ABCD被分割成四塊。把四邊形AMHP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，把四邊形CNHQ繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，再把四邊形BQHM沿射線BD的方向平移線段BD的長(zhǎng)度，即可拼接成如圖6所示的平行四邊形。

如圖7所示，分別取四條邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)M、O、N、P，連結(jié)PN，MQ，過點(diǎn)B作BH／／AD，交QM于點(diǎn)H。此時(shí)，四邊形ABCD被分割成四塊。把△PND繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°把△BQH繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，再把△BMH繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，即可拼接成如圖8所示的平行四邊形。

再繼續(xù)思考，能否將任意一個(gè)凸四邊形剪成五塊，使這五塊能拼接成矩形?這里出示一種方法：

如圖9所示，分別取四條邊AB、BC，CD、DA的中點(diǎn)M、Q、N、P，連結(jié)PN、QM；再分別過點(diǎn)D、B作DE⊥PN，BF⊥QM,垂足分別為E、F。此時(shí)，四邊形ABCD被分割成五塊。把△DNE繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，把△DEP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，把△BQF繞點(diǎn)QN順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，把△BFM繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，即可拼接成如圖10所示的矩形。

事實(shí)上，在圖9中，當(dāng)E為PN上任意一點(diǎn)時(shí)，連結(jié)DE，再過點(diǎn)B作BF∥DE，交MO于點(diǎn)F(如圖11)。在拼法不變的情況下，可得到平行四邊形(如圖12)。

再繼續(xù)思考，還有其他方法能將任意一個(gè)凸四邊形剪成五塊，使這五塊能拼接成平行四邊形嗎?

如圖13所示，分別取四條邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)M、O、N、P，連結(jié)PM、PN、QN、QM。此時(shí)，四邊形ABCD被分割成五塊。把△AMP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，把△CNQ繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，再把△BQM沿射線BD的方向平移線段BD的長(zhǎng)度，即可拼接成如圖14所示的平行四邊形。

簡(jiǎn)評(píng)：剪拼圖形是一類有趣的數(shù)學(xué)問題，在思考過程中存在著極強(qiáng)的目的性，對(duì)提高思維品質(zhì)有很大好處。

隨著被剪圖形形狀的變化，拼接后的圖形形狀也會(huì)作相應(yīng)的變化。如，當(dāng)圖5中凸四邊形對(duì)角線互相垂直時(shí)，圖6將變?yōu)榱庑?；?dāng)圖13中凸四邊形對(duì)角線互相垂直時(shí)，圖14將變?yōu)榫匦?；而?dāng)圖13中凸四邊形對(duì)角線相等時(shí)，圖14中的平行四邊形鄰邊之比為1:2。