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巧借“全等”突破坐標系中“旋轉(zhuǎn)”問題

2020-03-08 14:43朱小燕
初中生世界·八年級 2020年2期
關(guān)鍵詞:繞點對應(yīng)點逆時針

朱小燕

隨著學習的深入,你會發(fā)現(xiàn)平面直角坐標系與圖形變換之間存在著千絲萬縷的關(guān)系。同學們只要仔細觀察、善于歸納,就會發(fā)現(xiàn)萬變不離其宗,從而輕松解決問題。下面我們以平面直角坐標系中圖形的旋轉(zhuǎn)問題為例,體會如何借“全等”巧解“旋轉(zhuǎn)”。

例1 (2019.山東青島)如圖1,將線段AB先向右平移5個單位,再將所得線段繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到線段A′B′,則點B的對應(yīng)點B′的坐標是( )。

A.(-4,1) B.(-1,2)

C.(4,-1) D.(1,-2)

【分析】此題的難點在于對“在平面直角坐標系中將平移后的線段繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)900°”的處理,所以我們可以抓住所求問題,將線段旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為點的旋轉(zhuǎn)。如圖2,右移5個單位后,點B坐標為(2,1),繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,易知點B′的坐標為(1,-2),故選D。

同學們,假如隱去網(wǎng)格,如圖3,點B(2,1)繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°到點B′,你能求出點B′的坐標嗎?

【解決策略】根據(jù)旋轉(zhuǎn)中的不變性(OB=OB′)以及旋轉(zhuǎn)角為90°,我們可以構(gòu)造全等。由上例網(wǎng)格圖的啟發(fā),作BM⊥y軸,B′⊥y軸,垂足分別為M、N,這樣構(gòu)造出兩個直角三角形。由條件OB⊥OB′,且OB=OB′,可證得△OBM≌△B′ON,∴ON=BM=2,B′N=OM=1。結(jié)合點B′所在象限,∴點B′的坐標為(1,-2)。

例2

(2019·山東濟寧改編)如圖5,點A的坐標是(-2,0),點B的坐標是(0,6),C為OB的中點,將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)900后得到△A′BC′。則點A′、C′的坐標分別是______。

【分析】由點C是OB的中點得點C的坐標為(0,3),繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點C′(3,6)。點A′是點A繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得的點,如圖6,即AB⊥A′B,且AB=A′B。在此條件下,可通過向y軸作垂線段構(gòu)造全等三角形,從而求得點A′的坐標。

解:如圖7,作A′H⊥OB,垂足為H?!逜B⊥A′B,∴∠ABO+∠A′BH=∠ABO+∠BA0=90°,∴∠BAO=∠A′BH。又∠AOB=∠BHA′=90°,AB=A′B,∴△ABO≌△BA′H,∴A′H=BO=6,BH=A0=2,OH=4,∴點A′的坐標為(6,4)。

【解決策略】在平面直角坐標系中,當已知點繞原點或某確定點旋轉(zhuǎn)90。時,通過作垂線段構(gòu)造全等的直角三角形,再利用全等三角形對應(yīng)邊相等,即可求出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點的坐標。構(gòu)造“全等”,巧妙解決旋轉(zhuǎn)問題!

試一試:在平面直角坐標系中,點A的坐標是(-4,3),點B的坐標是(-1,1),將線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得線段A′B,則點A′的坐標為____。

參考答案:(-3,-2)。

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