正整數(shù)，被稱為勾股數(shù). 可見勾股數(shù)有兩個(gè)特點(diǎn)：一是正整數(shù)，二是滿足a2 + b2 = c2. 勾股數(shù)常與“好友”結(jié)伴而行，構(gòu)成難度適中的數(shù)學(xué)問(wèn)題.一、與實(shí)際問(wèn)題結(jié)伴而行例1 如圖1，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時(shí)分別航行12海里和16海里，1小時(shí)后兩船分別位于點(diǎn)A，B處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，則乙船沿 方向航行.解析：根據(jù)題意可知AP = 12，BP = 1

性地考慮其中纖維股數(shù)、網(wǎng)格層數(shù)對(duì)纖維網(wǎng)格和TRC 復(fù)合材受力性能的影響，以及對(duì)TRC與被加固結(jié)構(gòu)的混凝土間黏結(jié)性能的影響。而實(shí)際工程中，纖維網(wǎng)格在TRC復(fù)合材中均為多股甚至多層，因此，只針對(duì)單股纖維、單層網(wǎng)格的TRC 的試驗(yàn)，忽視了不同股數(shù)纖維和不同層數(shù)網(wǎng)格間的工作不協(xié)調(diào)性，從而高估了實(shí)際網(wǎng)格的承載能力。由于TRC 復(fù)合材中的網(wǎng)格在基體混凝土中不同纖維股間共同工作性能相對(duì)純網(wǎng)格好，致使純纖維網(wǎng)格的拉伸性能和TRC 中網(wǎng)格的拉伸性能明顯不同。另外，國(guó)內(nèi)外目前

種經(jīng)密不同經(jīng)緯紗股數(shù)配比的平紋碳布進(jìn)行檢測(cè)，探索不同參數(shù)配比下織物的厚度與經(jīng)向拉伸斷裂強(qiáng)力的變化，獲取織物參數(shù)與碳布性能間的關(guān)系。1 實(shí)驗(yàn)部分1.1 試樣制備T800-6K碳纖維，日本東麗。設(shè)計(jì)制備了4種不同經(jīng)密的碳布，其中每種經(jīng)密又分別設(shè)計(jì)了4種不同的緯密，其參數(shù)如表1所示。表1 織物不同經(jīng)緯密配比表1所設(shè)計(jì)織物其經(jīng)緯紗股數(shù)配比為1：1，在此基礎(chǔ)上又設(shè)計(jì)了經(jīng)緯紗股數(shù)配比為1：2與2：1兩種參數(shù)。其中每種股數(shù)配比分別設(shè)計(jì)了4種不同的緯密，參數(shù)如表2所示。表

學(xué)活動(dòng)課“探尋勾股數(shù)”為例，基于課程基本理念，圍繞深度參與，設(shè)計(jì)了一堂數(shù)學(xué)活動(dòng)課，旨在讓學(xué)生深度參與活動(dòng)，獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想的深切體驗(yàn)。一、活動(dòng)構(gòu)思勾股數(shù)相伴勾股定理而產(chǎn)生，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有獨(dú)特的文化價(jià)值。帶領(lǐng)學(xué)生探尋勾股數(shù)，感受數(shù)學(xué)家構(gòu)造勾股數(shù)的基本方法，既是對(duì)勾股定理知識(shí)的復(fù)習(xí)和鞏固，又能夠訓(xùn)練和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。學(xué)生學(xué)習(xí)了勾股定理，知道了一些簡(jiǎn)單的勾股數(shù)、勾股定理及其逆定理，也能夠利用

三個(gè)部分：發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)、發(fā)現(xiàn)直角三角形中邊長(zhǎng)的關(guān)系、勾股定理的證明. 至今，勾股定理約有500種證法. 與勾股定理相關(guān)的知識(shí)常見于中考試卷中.一、勾股數(shù)數(shù)學(xué)史話：勾股數(shù)的發(fā)現(xiàn)時(shí)間較早，在中國(guó)的《周髀算經(jīng)》、古埃及的“紙草書”中都記述了3，4，5這組勾股數(shù)，而巴比倫泥板上最大的一組勾股數(shù)是13 500，12 709，18 541.記憶技巧：勾股數(shù)的正整數(shù)倍也是勾股數(shù). 以奇數(shù)開頭的勾股數(shù)，第一個(gè)數(shù)的平方等于后兩個(gè)連續(xù)數(shù)之和，如52 = 12 + 13.中考面孔

學(xué)活動(dòng)課“探尋勾股數(shù)”為例，基于課程基本理念，圍繞深度參與，設(shè)計(jì)了一堂數(shù)學(xué)活動(dòng)課，旨在讓學(xué)生深度參與活動(dòng)，獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想的深切體驗(yàn)。一、活動(dòng)構(gòu)思勾股數(shù)相伴勾股定理而產(chǎn)生，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有獨(dú)特的文化價(jià)值。帶領(lǐng)學(xué)生探尋勾股數(shù)，感受數(shù)學(xué)家構(gòu)造勾股數(shù)的基本方法，既是對(duì)勾股定理知識(shí)的復(fù)習(xí)和鞏固，又能夠訓(xùn)練和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。學(xué)生學(xué)習(xí)了勾股定理，知道了一些簡(jiǎn)單的勾股數(shù)、勾股定理及其逆定理，也能夠利用

是大家熟知的，勾股數(shù)，就是構(gòu)成勾股定理的三個(gè)數(shù)，即一個(gè)數(shù)的平方是另外兩個(gè)數(shù)的平方和。比如，32+42=52，那么3、4、5就是勾股數(shù)。那么在一定范圍內(nèi)，有多少勾股數(shù)呢？我們?cè)赟cratch、Python和Applnventor_種環(huán)境中編程解答這一問(wèn)題，并著重關(guān)注程序在不同環(huán)境中的運(yùn)行效率。一、原理分析本例可以考慮3個(gè)數(shù)，都從1開始用枚舉法來(lái)解決問(wèn)題，但這種方法循環(huán)次數(shù)最多，100以內(nèi)的勾股數(shù)就需要計(jì)算1003=106，100萬(wàn)次！根據(jù)測(cè)算Scratch中

應(yīng)用。而人們對(duì)勾股數(shù)的探索從未停止。本文將介紹我對(duì)勾股數(shù)的一些新思考和新發(fā)現(xiàn).以完全平方數(shù)列為中間軸，其左邊第一列為相鄰兩個(gè)完全平方數(shù)的差組成的數(shù)列，即奇數(shù)數(shù)列，可記為1L，右邊第一列相鄰的兩個(gè)完全平方數(shù)的和組成的數(shù)列，可記為1R.左邊第二列中的項(xiàng)為1L中相鄰兩項(xiàng)的和組成的數(shù)列，可記為2L，之后依此類推，右邊第二列為1R中相鄰兩項(xiàng)的和與1的的差組成的數(shù)列，可記為2R，右邊第三列為2R中相鄰兩項(xiàng)的和與2的差組成的數(shù)列，可記為3R，右邊第四列中的項(xiàng)為為3R中相

說(shuō)網(wǎng)絡(luò)法，網(wǎng)盡勾股數(shù)的方法。同時(shí)告訴讀者幾種新的判定奇素?cái)?shù)和合數(shù)的方法。通過(guò)論文1讀者了解了母數(shù)的概念后，這篇論文3將在母數(shù)論的層面，描繪出素?cái)?shù)母數(shù)合數(shù)母數(shù)在自然數(shù)中的分布圖（也叫勾股數(shù)網(wǎng)絡(luò)圖）。這個(gè)圖反映了素?cái)?shù)母數(shù)合數(shù)母數(shù)在自然數(shù)中的分布規(guī)律。只要首先掌握了合數(shù)母數(shù)在自然數(shù)中的分布規(guī)律，對(duì)素?cái)?shù)母數(shù)的認(rèn)識(shí)就一目了然了，進(jìn)而求解素?cái)?shù)，合數(shù)在自然數(shù)中的分布規(guī)律也迎刃而解了。列舉了網(wǎng)絡(luò)圖的3個(gè)應(yīng)用：（1）判定奇素?cái)?shù)和奇合數(shù)；（2）分解奇合數(shù)；（3）求網(wǎng)絡(luò)勾股數(shù)②

、b、c為一組勾股數(shù)，其中a=3，b=4，則c=_____?！惧e(cuò)解】5或?！惧e(cuò)因分析】在遭受雷區(qū)一的“轟炸”后，同學(xué)們會(huì)自覺地考慮多種情況了，然而，又不知不覺陷入另一個(gè)“雷區(qū)”——勾股數(shù)。何為勾股數(shù)？勾股數(shù)是指構(gòu)成直角三角形三邊的一組正整數(shù)。顯然這里有兩個(gè)條件，一是兩條較短邊的平方和等于第三邊的平方，二是a、b、c都為正整數(shù)。顯然錯(cuò)解中的不符合條件?！菊狻?。雷區(qū)三 不判定圖形形狀例3如圖1，在四邊形ABCD中，∠D=90°，AD=2，CD=2，BC=3

股股份，共計(jì)質(zhì)押股數(shù)為36.60億股，質(zhì)押比例為99.38%。隨著今年以來(lái)股價(jià)的震蕩下行，泛海作為大股東也在不停增持，以免出現(xiàn)平倉(cāng)危機(jī)。同時(shí)，中國(guó)泛海作為民生控股的控股股東，所持股份幾乎全部質(zhì)押。WOMAC scoreWOMAC scores in osteoarthritis patients are shown in Table 3.The scores for pain,stiff,and dysfunction were significantly

這個(gè)關(guān)系，叫作勾股數(shù)，也叫“畢氏三元數(shù)”。據(jù)考證，遠(yuǎn)在公元前1800年，古巴比倫人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了若干組勾股數(shù)。中國(guó)歷史上的《周髀算經(jīng)》（成書于公元前500年左右）記載，遠(yuǎn)在公元前1100年，西周時(shí)代的數(shù)學(xué)家商高也已經(jīng)觀察到（3，4，5）是一組勾股數(shù)的例子。從形的角度，我們已經(jīng)知道如果一組勾股數(shù)作為一個(gè)三角形的三條邊，那么這就一定是個(gè)“完美”的直角三角形。從數(shù)的角度，我們知道一組勾股數(shù)（a，b，c）一定滿足a2+b2=c2。除了這些，從數(shù)的角度看，勾股數(shù)還有哪些

這三個(gè)數(shù)是一組勾股數(shù).再如：9=40+41，且有9+40=41從而可得9、40、41是一組勾股數(shù).勾股數(shù)的這一性質(zhì)是可以證明的。證明：設(shè)給定的大于1的奇數(shù)為a，兩個(gè)連續(xù)整數(shù)為n、n+1，且有a=n+（n+1），即a=2n+1.∵（n+1）=n+2n+1=n+（2n+1）=n+a，即a+n=（n+1）.∴a、n、n+1是一組勾股數(shù).反之，若a、n、n+1是一組勾股數(shù)，則a=n+（n+1）.請(qǐng)同學(xué)們嘗試證明此結(jié)論.我們?cè)倏匆恍?shù)：……不難發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于2的

可以補(bǔ)充解決“勾股數(shù)法”無(wú)法解決的難題，使得所有的自然數(shù)都是有解的，由此，我們說(shuō)：歐德斯猜想是正確的?，F(xiàn)在的問(wèn)題是：由于勾股數(shù)法遺留的是2521這一類自然數(shù)，如果分?jǐn)?shù)拆分試除公式無(wú)法彌補(bǔ)某一更大的自然數(shù)呢？必須要找到更好的求解公式。4.找出更多的公式來(lái)對(duì)歐德斯猜想求解。在上一節(jié)中，我們運(yùn)用拆分試除法求解最后的n=24k+1這一類自然數(shù)時(shí)，在解答的過(guò)程中，當(dāng)d的取值小于3n時(shí)，發(fā)現(xiàn)了這樣的一組數(shù)：即當(dāng)N=409、577、5569，以及此后的9601、2392

上的一節(jié)《探索勾股數(shù)——像數(shù)學(xué)家一樣思考》讓我印象很深。段老師從學(xué)生已有的認(rèn)知（剛剛學(xué)完的勾股定理）出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生走向思維的深度，從而提升學(xué)生的思維能力。一、課堂教學(xué)實(shí)錄（一）引出研究課題1.讓學(xué)生觀察“普林斯頓322號(hào)泥板”，根據(jù)所學(xué)的歷史知識(shí)猜猜該泥板來(lái)源于哪個(gè)文明古國(guó)及其大致的年代和出土的地點(diǎn)。問(wèn)題剛提出，一位男生踴躍舉手發(fā)言：“上面記載的文字屬古巴比倫語(yǔ)，可推測(cè)所屬年代在公元前1600年以前?！保ㄟ@一問(wèn)一答使我們?cè)趫?chǎng)的所有聽

這個(gè)關(guān)系，叫作勾股數(shù)，也叫“畢氏三元數(shù)”。據(jù)考證，遠(yuǎn)在公元前1800年，古巴比倫人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了若干組勾股數(shù)。中國(guó)歷史上的《周髀算經(jīng)》（成書于公元前500年左右）記載，遠(yuǎn)在公元前1100年，西周時(shí)代的數(shù)學(xué)家商高也已經(jīng)觀察到（3，4，5）是一組勾股數(shù)的例子。從形的角度，我們已經(jīng)知道如果一組勾股數(shù)作為一個(gè)三角形的三條邊，那么這就一定是個(gè)“完美”的直角三角形。從數(shù)的角度，我們知道一組勾股數(shù)（a，b，c）一定滿足a2+b2=c2。除了這些，從數(shù)的角度看，勾股數(shù)還有哪些

2的正整數(shù)叫作勾股數(shù)又名畢氏三元數(shù).勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù).筆者將以普林頓322為例來(lái)闡述勾股數(shù)的構(gòu)造方法及普林頓322勾股數(shù)的構(gòu)造方法.問(wèn)題背景:神秘的普林頓322美國(guó)哥倫比亞大學(xué)普林斯頓收藏館收藏了一塊很古怪的泥板,這款泥板是在巴比倫挖掘出來(lái)的,編號(hào)322,考古學(xué)家相信這塊泥板是公元前18世紀(jì)的成品,泥板上有三列文字,沒有人能解釋,直至1945年,Neugebauer和Sachs經(jīng)過(guò)細(xì)心考究,發(fā)現(xiàn)泥板上是三列數(shù)字,你知道這些數(shù)

數(shù)數(shù)據(jù)，以總成交股數(shù)除以總交易筆數(shù)，可得每筆成交股數(shù)，從此數(shù)據(jù)變動(dòng)來(lái)分析市場(chǎng)走向。從上交所提供的數(shù)據(jù)看，第一個(gè)市場(chǎng)高點(diǎn)是2006年11月2561股，其后逐步減少至2007年11月975股。配合走勢(shì)表明，市場(chǎng)大戶于2006年逐步入場(chǎng)買貨，直至2007年初。之后每筆成交股數(shù)逐步減少，反映散戶投資者交易比例增多。2007年10月上證指數(shù)見頂，而每筆成交股數(shù)見底，完全是散戶的世界。其后逐步回升至2009年1月1802股，反映2008年股市一路下跌的過(guò)程中，大戶投資

稱這組數(shù)為“準(zhǔn)勾股數(shù)”。根據(jù)勾股數(shù)所滿足的公式（不熟悉這方面內(nèi)容的讀者可參考相關(guān)資料，例如本刊2015年第10期），我們不難得到如下結(jié)論：結(jié)論1 任意一組勾股數(shù)都是一組海倫數(shù)，任意一組準(zhǔn)勾股數(shù)都是一組準(zhǔn)海倫數(shù)。另一方面，如果海倫三角形A對(duì)應(yīng)的三邊分別為a，b，c從角C作AB的垂線CD，則由于邊長(zhǎng)與海倫三角形的面積都是正整數(shù)，因此這條垂線CD的長(zhǎng)度h是有理數(shù)。同時(shí)，由余弦定理知cosA是有理數(shù)，所以線段AD也是有理數(shù)，故垂線CD將底邊c分成兩個(gè)有理數(shù)。也就是

組正整數(shù)，稱為勾股數(shù).對(duì)于勾股數(shù)問(wèn)題，從古至今人們從未停止過(guò)探究活動(dòng).已知勾邊或股邊利用整數(shù)的性質(zhì)，容易求出對(duì)應(yīng)的勾股數(shù)，但若已知弦邊，如何探求勾股數(shù)呢？這是一個(gè)具挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，這里利用一個(gè)著名代數(shù)恒等式給出一種初等的解決辦法，與大家分享.1一個(gè)著名代數(shù)恒等式1.1恒等式：（a2+b2）（c2+d2）=（ac-bd）2+（ad+bc）2（1）=（ac+bd）2+（ad-bc）2.（2）證明：（1）右邊=（ac-bd）2+（ad+bc）2=a2c2-2abc

b，c）就稱為勾股數(shù)組，簡(jiǎn)稱勾股數(shù)，也叫畢達(dá)哥拉斯數(shù).勾股方程a2+b2=c2中含有3個(gè)未知數(shù)，方程的解不唯一.根據(jù)勾股定理，只要是直角三角形，三邊長(zhǎng)都是它的解.本文只討論它的正整數(shù)解的情況，即勾股數(shù)，以下全文均設(shè)勾股數(shù)中第一個(gè)數(shù)為a，第二個(gè)數(shù)為b，第三個(gè)數(shù)為c，且a一、勾股數(shù)有公式可以計(jì)算嗎？1. a為奇數(shù).觀察下列勾股數(shù)：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41……可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)特點(diǎn)：①a為奇數(shù)，且從3開始無(wú)間斷

姚 潔漫談勾股數(shù)姚 潔勾股定理是人類歷史上光彩奪目的明珠，它是人類最早發(fā)現(xiàn)并用于生產(chǎn)、觀天、測(cè)地的第一個(gè)定理；它是聯(lián)系數(shù)學(xué)中最基本、最原始的兩個(gè)對(duì)象——數(shù)與形的第一定理；它揭示了無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)；它開始把數(shù)學(xué)由計(jì)算與測(cè)量的技術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎撟C與推理的科學(xué).滿足勾股定理方程a2+b2=c2的正整數(shù)組（a，b，c）就稱為勾股數(shù)組，簡(jiǎn)稱勾股數(shù)，也叫畢達(dá)哥拉斯數(shù).勾股方程a2+b2=c2中含有3個(gè)未知數(shù)，方程的解不唯一.根據(jù)勾股定理，只要是直角

束的束數(shù)及鋼束的股數(shù)來(lái)進(jìn)行配束設(shè)計(jì)并進(jìn)行驗(yàn)算；對(duì)上部4種跨徑組合分別進(jìn)行了兩種極限狀態(tài)下的計(jì)算[2]，即正常使用極限狀態(tài)下的短期效應(yīng)組合、長(zhǎng)期效應(yīng)組合及基本組合的應(yīng)力驗(yàn)算；承載能力極限狀態(tài)下的正截面強(qiáng)度驗(yàn)算。4.1 結(jié)構(gòu)計(jì)算下面僅將（30+24.91+30）m不等跨聯(lián)的計(jì)算結(jié)果報(bào)告附后，來(lái)作為范例進(jìn)行分析。對(duì)本聯(lián)橋進(jìn)行單元?jiǎng)澐?，結(jié)構(gòu)離散時(shí)，共劃分104個(gè)單元，端跨梁33個(gè)單元，中跨梁34個(gè)單元，每個(gè)墩頂濕接縫為兩個(gè)單元，以便進(jìn)行支座的體系轉(zhuǎn)換。然后填寫鋼束

00)宋 揚(yáng)●勾股數(shù)及其活動(dòng)課教學(xué)研究江蘇省揚(yáng)州市竹西中學(xué)(225000)宋 揚(yáng)●勾股定理是數(shù)學(xué)的一個(gè)很重要的定理，在人類的文明史中有著杰出的貢獻(xiàn)，由勾股定理引出的“勾股數(shù)”也因此嶄露頭角，繼而聲名遠(yuǎn)揚(yáng)．本文在文【1】的基礎(chǔ)上作了修改、補(bǔ)充和拓展，并運(yùn)用到數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐的教學(xué)活動(dòng)中，引發(fā)了同學(xué)們極大的興趣，取得了令人滿意的教學(xué)效果．現(xiàn)將活動(dòng)課的內(nèi)容和教學(xué)要點(diǎn)展示如下，主要是闡明了勾股數(shù)的三種計(jì)算公式的由來(lái)、產(chǎn)生過(guò)程及其內(nèi)在聯(lián)系，用幾種不同的方法探尋勾股數(shù)的

875)?基本勾股數(shù)公式的一個(gè)新證法*●呂孫忠(北京師范大學(xué)研究生院北京100875)摘要:文章從三角函數(shù)的角度證明了基本勾股數(shù)公式．首先說(shuō)明了一個(gè)角的正弦和余弦值同時(shí)為有理數(shù)時(shí)，該半角的正切值為有理數(shù)，接著解釋了基本勾股數(shù)和單位圓上的有理點(diǎn)之間的關(guān)系，最后在這2個(gè)命題的基礎(chǔ)上證明了基本勾股數(shù)公式．關(guān)鍵詞:基本勾股數(shù)公式;三角函數(shù)在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作的《周髀算經(jīng)》中，就有“勾三，股四，弦五”的原始說(shuō)法，繼而誕生了不定方程x2+y2=z2．人們稱滿足這種不定方

學(xué)管理學(xué)院總成交股數(shù)與股價(jià)指數(shù)關(guān)系的實(shí)證研究王子瑤 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)管理學(xué)院隨著商品經(jīng)濟(jì)的深入發(fā)展以及國(guó)民經(jīng)濟(jì)的不斷增長(zhǎng)，股票市場(chǎng)成為現(xiàn)代市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體系中日益重要的組成部分。本文以計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)為基礎(chǔ)，運(yùn)用格蘭杰非因果關(guān)系檢驗(yàn)，協(xié)整檢驗(yàn)，建立誤差修正模型等方法，利用Eviews軟件，對(duì)于股市中的兩個(gè)重要指標(biāo)——總成交股數(shù)以及股票價(jià)格指數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行研究并得出結(jié)論?？偝山?span id="syggg00" class="hl">股數(shù) 股票價(jià)格指數(shù) 格蘭杰非因果關(guān)系檢驗(yàn) 協(xié)整檢驗(yàn) 誤差修正模型一、引言金融市場(chǎng)是現(xiàn)代市場(chǎng)體系的

程的數(shù)就稱為“勾股數(shù)組”。古代很多數(shù)學(xué)家都曾提出過(guò)勾股數(shù)組的計(jì)算公式。上述的每種表達(dá)式都可以寫出無(wú)數(shù)組勾股數(shù)，但都不能寫出所有的勾股數(shù)組。例如，不能寫出（8，15，17）這組勾股數(shù)，因?yàn)樵诋呥_(dá)哥拉斯的表達(dá)式所得的勾股數(shù)中，總有兩個(gè)相鄰的數(shù)（b，c相鄰），而在柏拉圖的表達(dá)式中，總有兩個(gè)數(shù)的差等于2（c-b=2）。這是大家熟悉且常用的表達(dá)式，利用丟番圖的表達(dá)式所得的勾股數(shù)組，仍然不能算出所有的勾股數(shù)組，例如“9，12，15”這組勾股數(shù)就不包含在其中。值得驕傲的

彭婧在勾股數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，方程的運(yùn)用大大縮短了尋找時(shí)間. 下面就讓我們通過(guò)一道題目來(lái)體會(huì)方程應(yīng)用的簡(jiǎn)便吧！根據(jù)勾股數(shù)的特點(diǎn)，制造出勾股數(shù)生成器.（1） 當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，寫出數(shù)b和c之間的數(shù)量關(guān)系；若設(shè)a=2n+1，用n表示b和c（n是正整數(shù)）.（2） 當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，寫出數(shù)b和c之間的數(shù)量關(guān)系；若設(shè)a=2n，用n表示b和c（n≥2，n是正整數(shù)）.這道題目已經(jīng)為我們指明了方向，很明顯需要分兩類來(lái)進(jìn)行討論. 于是我寫下了幾組常見的勾股數(shù)，希望從中找到規(guī)律. 先從第

提出古往今來(lái)，勾股數(shù)被太多的人津津樂道，可見其神秘性和趣味性. 《周髀算經(jīng)》記載的“勾三股四弦五”中的（3，4，5）就是一組最簡(jiǎn)單的勾股數(shù). 當(dāng)然，勾股數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，由此足見“有趣的勾股數(shù)”探索的價(jià)值和必要性.二、 活動(dòng)的目的（1） 由簡(jiǎn)單的勾股數(shù)發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的規(guī)律，進(jìn)而對(duì)勾股數(shù)計(jì)算公式進(jìn)行證明，增強(qiáng)方程和分類討論思想方法的培養(yǎng)和提升；（2） 利用類比思想將平面上的問(wèn)題拓展到空間立體圖形上，初步感受科學(xué)思維的價(jià)值，發(fā)展合情推理能力.三、 活動(dòng)的過(guò)程[創(chuàng)設(shè)問(wèn)

動(dòng)，我對(duì)常見的勾股數(shù)進(jìn)行仔細(xì)觀察，大大激發(fā)了對(duì)勾股數(shù)研究的興趣，也發(fā)現(xiàn)了勾股數(shù)一些內(nèi)在的規(guī)律. 這些規(guī)律可以幫助我們迅速辨別一組數(shù)是否勾股數(shù)，省去很多復(fù)雜的計(jì)算，真的好神奇喲！現(xiàn)在我將本次活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律整理出來(lái)和大家一起分享：1. 勾股數(shù)中的三個(gè)數(shù)不能全是奇數(shù).2. 勾股數(shù)里的三個(gè)數(shù)要么全是偶數(shù)，要么只有一個(gè)偶數(shù)（即不可能出現(xiàn)只有兩個(gè)偶數(shù)的情況）. 奇數(shù)的平方為奇數(shù)，偶數(shù)的平方為偶數(shù)，而奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，因此當(dāng)兩條直角邊都為奇數(shù)時(shí)，斜邊為偶數(shù)，當(dāng)兩條直角

么a，b，c是勾股數(shù)嗎？這是老師交給我們的問(wèn)題. 教室里很快炸開了鍋，同學(xué)們你一句我一句地爭(zhēng)論起來(lái). “會(huì)不會(huì)跟完全平方有關(guān)系??？”“要不代幾個(gè)數(shù)進(jìn)去試試看吧！”我們小組采用了常規(guī)的數(shù)學(xué)探究方法：從特殊到一般. 先從特殊情況開始探究，令m=2，n=1，代入，得a=（m+n）×（m-n）=（2+1）×（2-1）=3×1=3，b=2×2×1=4，c=22+12=5. 按這樣的方法得出的數(shù)據(jù)剛好是3，4，5，即我們最常見的一組勾股數(shù). 這一結(jié)果，讓我們所有組員欣

是我們最常見的勾股數(shù)，但是你想過(guò)它們之間除了平方的關(guān)系之外，還有其他的關(guān)系么？仔細(xì)觀察我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果用a，b，c來(lái)表示它們，a2=b+c，且c=b+1，可得a2=2b+1.但是數(shù)學(xué)的探究要講究普遍性，上面的研究?jī)H僅是圍繞a為奇數(shù)時(shí)展開的，那么當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)呢？舉幾個(gè)偶數(shù)的例子，比如（6，8，10），（8，15，17），（10，24，26）……我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，a2=b+c就不成立了，但卻產(chǎn)生了一種新的規(guī)律：a2=2（b+c），且c=b+2，可得a2=2

針對(duì)如何求解勾股數(shù)，本文進(jìn)行了系統(tǒng)的分析和研究，給出了幾種奇妙的勾股數(shù)公式的一般性推導(dǎo)過(guò)程，解決了給定任意大于等于3的正整數(shù)為1個(gè)直角邊，求解勾股數(shù)的方法，為勾股數(shù)的求解提供了理論依據(jù)。關(guān)鍵詞: 勾股數(shù)公式推導(dǎo) 應(yīng)用中圖分類號(hào)：O434文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A內(nèi)容：我們知道凡是能滿足a2+ b2= c2成立的a、b、c的正整數(shù)解，都是一組勾股數(shù)。當(dāng)給出任意一個(gè)大于等于3的正整數(shù)為直角邊時(shí),如何求解一組勾股數(shù)中另外的兩個(gè)勾股數(shù)的值，下面就這一問(wèn)題探討如下：一、給定

一節(jié)公開課——勾股數(shù)引出的思考，可謂震撼心靈，感觸頗深.1 課堂簡(jiǎn)錄教師操作：播放一段極具震撼力的視頻，展示在人類文明的發(fā)展進(jìn)程中，人們通過(guò)無(wú)數(shù)次對(duì)土地、建筑、器物的測(cè)量和天文觀測(cè)，對(duì)直角三角形3條邊之間的長(zhǎng)度關(guān)系積累了豐富的認(rèn)識(shí)，逐漸形成了“千古第一定理”——勾股定理．人類開始不斷探索由勾股定理延伸出來(lái)的問(wèn)題，譬如“勾股數(shù)”.(視頻立體視覺沖突，極大調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性.)教師：凡可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形3條邊的一組正整數(shù)，稱之為勾股數(shù)．古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾

連接動(dòng)滑輪的繩子股數(shù).（2）繩子的起始端拴在哪個(gè)滑輪上：由圖1的3、6、7可知n為偶數(shù)（n為2、4），繩子的起始端拴在定滑輪上；而由4、5、8可知n為奇數(shù)（n為3、5），繩子的起始端拴在動(dòng)滑輪上.通常簡(jiǎn)稱為“奇動(dòng)偶定”.（3）是否改變施力方向：由圖1中的2與3或6與7可知，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，定滑輪比動(dòng)滑輪少一個(gè)情況下不改變施力方向、定滑輪與動(dòng)滑輪個(gè)數(shù)相等時(shí)可改變施力方向；而由4與5可知，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，定滑輪與動(dòng)滑輪個(gè)數(shù)相等情況下，不改變施力方向、定滑輪比動(dòng)滑輪

個(gè)重要考點(diǎn)．繩子股數(shù)就是動(dòng)滑輪的受力股數(shù)．繩子股數(shù)的判定是對(duì)滑輪組受力分析的關(guān)鍵，也是看清滑輪組的關(guān)鍵．對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，一次偶然的機(jī)會(huì)，發(fā)現(xiàn)了一種新的判定方法，解決了這個(gè)難點(diǎn)．題目：如圖1，判定滑輪組繩子股數(shù)N各為多少？常規(guī)方法：如圖1(a)滑輪，只算第1和2股，第3股繩子自由端從定滑輪繞出不計(jì)算，繩子股數(shù)為2；如圖1(b)滑輪第3股繩子自由端從動(dòng)滑輪繞出要計(jì)算，繩子股數(shù)為3．圖1 判定滑輪組繩子股數(shù)圖筆者在教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生用這種方法來(lái)判定時(shí)經(jīng)常

也被稱之為本原勾股數(shù)。它們可以通過(guò)公式：a=2n+1、b=2n2+2n、c=2n2+2n+1得到。顯見，具有這些性質(zhì)的勾股數(shù)有無(wú)窮多個(gè)。人們把滿足不定方程x2+y2+z2=w2且互素的正整數(shù)解稱之為3維本原勾股數(shù)。我們不禁會(huì)想3維本原勾股數(shù)也有類似的奇妙現(xiàn)象嗎？對(duì)應(yīng)這樣的解有多少個(gè)？怎樣求出對(duì)應(yīng)的解呢？筆者試就以上問(wèn)題作一些探索。2 具有三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的3維本原勾股數(shù)的解由于3維本原勾股數(shù)是由四個(gè)數(shù)組成，設(shè)為a、b、c、d，且(a、b、c、d)=1，其中必

角形。二、探索勾股數(shù)例2觀察下面的表格所給出的三個(gè)數(shù)a，b，c，a＜b＜c。⑴試找出它們的共同點(diǎn)，并說(shuō)明你的結(jié)論；⑵當(dāng)a=21時(shí)，求b,c的值。解析只要能夠發(fā)現(xiàn)每組內(nèi)三個(gè)數(shù)之間的規(guī)律即可，而這需要從不同的角度去觀察，運(yùn)用從特殊到一般的思想來(lái)分析。⑴各組數(shù)的共同點(diǎn)是:①各組數(shù)均滿足a2+b2=c2;②最小數(shù)(a)是奇數(shù)，其余的兩個(gè)數(shù)b,c是連續(xù)的正整數(shù)；③最小奇數(shù)的平方等于另外兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和。由以上特點(diǎn)我們可猜想并說(shuō)明這樣一個(gè)結(jié)論：設(shè)x為大于1的奇數(shù)，將

。試求繩子的最少股數(shù)（摩擦和動(dòng)滑輪重忽略不計(jì)）。解析 根據(jù)公式n=G/F知，繩子的最少股數(shù)n=G/F最大=1000N/300N=3.3根。在處理這個(gè)結(jié)果時(shí)，必須注意兩點(diǎn)：第一，繩子股數(shù)不可能為小數(shù)，要把計(jì)算結(jié)果變?yōu)檎麛?shù)；第二，3根繩子承擔(dān)不了1000N的重力，因此采用“四舍五入”把小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字舍去得n=3根是不行的。對(duì)于這種情況，我們?cè)谌ノ玻〝?shù)部分）取整時(shí)，不管小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字大小如何，都應(yīng)向前進(jìn)一位，即只入不舍。故確定繩子股數(shù)最少為4根。3 包容問(wèn)題，只

b，c）為一組勾股數(shù)，a < b < c，則a2 + b2 = c2（a、b、c均為正整數(shù)）.觀察可知表格中的規(guī)律是：當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，則b、c是兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且b + c = a2.如（5，12，13），則12 + 13 = 52；（7，24，25），則24 + 25 = 72.所以有132 = 169 = m + n，又m比n小1，所以m + m + 1 = 169，m = 84，n = 85.總結(jié)：（1）勾股數(shù)中各數(shù)的相同的整數(shù)倍，仍是勾股數(shù)，如3，

b，c）為一組勾股數(shù)，a觀察可知表格中的規(guī)律是：當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，則b、c是兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且b+c=a2.如：（5，12，13），則12+13=52；（7，24，25），則24+25=72.所以有132=169=m+n，又m比n小1，所以m+m+1=169，m=84，n=85.總結(jié)：（1）勾股數(shù)中各數(shù)的相同的整數(shù)倍，仍是勾股數(shù)，如3，4，5是勾股數(shù)，則6，8，10也是勾股數(shù)．（2）常見的勾股數(shù)有：①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；④7，24

是多少.[二、勾股數(shù)中的規(guī)律]例2觀察下列表格：請(qǐng)你結(jié)合表1及相關(guān)知識(shí)，求出m、n的值.解：設(shè)（a，b，c）為一組勾股數(shù)，a觀察可知表格中的規(guī)律是：當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，則b、c是兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且b+c=a2.如：（5，12，13），則12+13=52；（7，24，25），則24+25=72.所以有132=169=m+n，又m比n小1，所以m+m+1=169，m=84，n=85.總結(jié)：（1）勾股數(shù)中各數(shù)的相同的整數(shù)倍，仍是勾股數(shù)，如3，4，5是勾股數(shù)，則6，8