鐘鳴　胡秉中

數學活動課是課程內容“綜合與實踐”的基本實施方式。開展數學活動的目的是拓寬學生的知識面，培養(yǎng)學生的問題意識、應用意識和創(chuàng)新意識，幫助學生積累基本活動經驗，提高學生解決實際問題的能力。下面，筆者以蘇科版八年級上冊數學教材第三章“勾股定理”的數學活動課“探尋勾股數”為例，基于課程基本理念，圍繞深度參與，設計了一堂數學活動課，旨在讓學生深度參與活動，獲得對數學知識、方法和思想的深切體驗。

一、活動構思

勾股數相伴勾股定理而產生，在數學發(fā)展史上具有獨特的文化價值。帶領學生探尋勾股數，感受數學家構造勾股數的基本方法，既是對勾股定理知識的復習和鞏固，又能夠訓練和發(fā)展學生的數學思維，幫助學生領略數學的文化價值，激發(fā)學生的好奇心和求知欲。

學生學習了勾股定理，知道了一些簡單的勾股數、勾股定理及其逆定理，也能夠利用勾股定理解決簡單的問題，但對于大量的勾股數及其構造方法還不了解。學生雖然具備聯想的基本能力，但對于一些不太明顯的勾股數的形式特征和跨度較大的知識，聯想能力較弱。由勾股數的形式特征聯想到完全平方公式，對于學生而言是一個難點，需要教師在探尋的過程中對學生加以引導。

基于以上認識，筆者確定本節(jié)課的活動目標：經歷運用已有知識解決問題的過程，體會數學知識的內在聯系;經歷用多種方法探索勾股數，體會勾股定理的文化價值;經歷克服困難、取得成功的過程，獲得一些研究問題的經驗和方法。

二、活動過程

1. 課前活動：奠定深度參與的基礎。

[活動1]以“勾股數”為關鍵詞，進行網絡搜索，查閱文獻，了解“勾股數”的發(fā)展歷史和構造方法。

[設計意圖]深度參與是“全員、全程、全面”的“三全”參與。在借助信息技術和網絡搜集學習資源的環(huán)節(jié)中，所有學生都能投入到現實的學習活動中，為課上交流提供了豐富的學習素材。

2. 課上交流：促進深度參與的形成。

[問題1]根據你的課前研究，說一說你已經知道的勾股數有哪些？

生：3、4、5;3k、4k、5k;5、12、13;5k、12k、13k;7、24、25;7k、24k、25k;9、40、41;9k、40k、41k……

隨后教師給出一些數，讓學生判斷這些數是不是勾股數。

[問題2]歷史上，不少數學家都對勾股數的構造進行了積極的探索，你能跟大家分享數學家探索的結果嗎？

生1：柏拉圖給出了一個計算公式，a=n2-1，b=2n，c=n2+1，其中n為大于1的整數。

追問：你能證明a、b、c是勾股數嗎？

師總結：歷史上，數學家對勾股數的探索很多，不少數學家給出了不同的勾股數的計算公式，每個公式都可以計算出無數多組勾股數。那么，這些計算公式是怎么構造出來的呢？

[設計意圖]深切體驗是“深刻、切實、親身”的具體化體驗。從勾股數類別、數學史的角度介紹勾股數，將數學文化滲透其中，學生的感受是切實的，激發(fā)了學生學習數學的興趣，自然地引出了課題。

[活動2]用學過的知識探尋怎么構造勾股數。

[問題3]構造勾股數，就是要找到3個正整數，使它們滿足“兩個數的平方和（或差）等于第三個數的平方”，即滿足如下形式：（? ? ? ? ）2±（? ? ? ? ）2=（? ? ? ? ?）2。想想看，在我們學過的知識中，哪類知識也有這種形式？

生2：（a+b）2+（a-b）2=2a2+2b2。

生3：（a+b）2-（a-b）2=4ab。

師：哪個式子最接近a2±b2=c2的形式？

生4：生3給出的式子。

師：a、b既可以表示數，也可以表示式子。當a、b表示什么式子的時候，可以讓ab變成平方式呢？

生5：a=b3時，此時原式變?yōu)椋╞3+b）2-（b3-b）2=（2b2）2。

師：很好，這時我們得到勾股數：b3+b，b3-b，2b2。

生6：老師，這和柏拉圖公式是一樣的：b（b2+1），b（b2-1），b·2b。

師：對的，你看得非常仔細。a、b還可以表示什么式子，從而使ab變成平方式呢？

生7： a=m2，b=n2。

師：很好，這樣得到的勾股數計算公式，就是古希臘數學家丟番圖的計算公式：a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m[>]n，m、n為正整數。如果在古代，你們就是大數學家了。

師總結：利用已經學習過的平方差公式，可以構造勾股數的計算公式——柏拉圖公式和丟番圖公式。

[設計意圖]引導學生展開聯想、對比、探索，了解勾股數計算公式之間的內在聯系，經歷類似數學家的發(fā)現和創(chuàng)造過程，感受數學的魅力，激發(fā)學生的探究興趣。

[活動3]請在表1中填寫對應的勾股數。

[問題4]觀察勾股數3、4、5，16、63、65，20、99、101……它們有什么共同點？你能借助之前得到的勾股數的計算公式，探索并構造這樣的勾股數嗎？

師總結：丟番圖計算公式雖然可以計算出無數多組勾股數，比如勾股數“3、4、5”，但是卻不能計算出勾股數“9、12、15”。

[設計意圖]通過填表，發(fā)現規(guī)律，了解勾股數計算公式的局限性。

[活動4] 一位數學家在他找到的勾股數的表達式中，用2n2+2n+1 （n為任意正整數）表示勾股數中最大的一個數。你能找出另外兩個數的表達式嗎？

生8：假設c=2n2+2n+1=（n+1）2+n2。根據丟番圖計算公式，可以寫出a=（n+1）2-n2，b=2（n+1）n;根據畢達哥拉斯計算公式，可以寫出a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1。

師總結：畢達哥拉斯計算公式可以由丟番圖計算公式推導出來。

[設計意圖]通過對c進行因式分解，經歷依據丟番圖計算公式推導畢達哥拉斯計算公式的過程，感受知識之間的內在聯系。

3. 活動小結：顯化深度參與的感悟。

[小結]請你分享這節(jié)課的學習心得。

[設計意圖]引導學生在分享中，將自己對知識、方法和思想的深切體驗和深刻領悟表達出來。通過外部言語將內部思想的結果顯化出來，是積累基本活動經驗的基本方式。

三、活動反思

1. 增加課堂趣味性，促進學生深度參與。

初中數學課的設計要符合學生的心理特征，而本階段的學生對新的事物具有極強的好奇心，因此要想學生深度參與到活動課中去，首先要改變課堂開展的形式，比如在活動教室進行授課，或者將學生分成多人小組，采用面對面的形式。這樣不僅有利于學生合作交流，還能激發(fā)學生的學習興趣，促進學生的深度參與。

當然，課堂內容的趣味性才是激發(fā)學生學習興趣的根本。增強課堂趣味最為簡單實用的教學手段就是進行學科滲透。本節(jié)課中，筆者從數學史、數學文化等視域開發(fā)課程資源，在講述勾股數的發(fā)展歷史和構造方法時，配以趣味性的幻燈片，運用講故事的方法引出相應的計算公式，以激發(fā)學生的求知欲，促進學生深度參與。

2. 設計核心問題，促進深切體驗的發(fā)生。

學生深度參與的前提是主動參與、積極參與、自然參與，其核心在于思維參與。教師應注重啟發(fā)，設計核心問題，將學生的思維帶入課堂，讓學生以問題為載體，積極主動地參與課堂。

本節(jié)課中，筆者從探索勾股數入手，引導學生復習勾股數的有關概念，從判斷是不是勾股數，到能不能想出表示勾股數的方法，再到如何將4ab表示成平方的形式，師生互動良好，教學過程流暢。在課堂上，只要舍得給學生機會和時間，學生就能夠給出很多有創(chuàng)意的思路。當然，前提是教師要設計好問題。例如問題“怎樣使4ab變成平方式”，使得學生以不同的想法探索下去并獲得不同的結論，而這些結論中，有些恰恰是數學家發(fā)現的。學生知道后，成就感、自豪感獲得激發(fā)，情緒狀態(tài)變得非常飽滿，促進了深切體驗的發(fā)生。再如，讓學生理解柏拉圖、丟番圖以及畢達哥拉斯給出的計算公式之間的聯系是一個難點，對于這個難點，教師設計問題進行啟發(fā)很重要。此外，還要留時間給學生化簡驗證，讓學生充分理解不同公式之間的內在聯系。

3.開展即時評價，保障參與和體驗。

在數學活動課上，為了確保學生深度參與和深切體驗，教師需熟練運用即時的課堂評價。所謂“即時”，就是“當下、立即”的意思，即教師在各個課堂環(huán)節(jié)中隨時對學生的課堂表現做出相應的評價，時刻觀察、了解學生的課堂參與情況，以語言或獎品的形式對學生進行表揚或鼓勵。評價的形式包括教師評價、同學評價、自我評價，旨在最大限度地讓學生認識自我，增添信心。

比如，本節(jié)課中，筆者采用了小組實時計分的即時評價方法，以問題和活動為計分點，一方面根據學生在各個環(huán)節(jié)的表現進行打分，另一方面讓學生利用教材提供的數學活動評價表，從課堂內容掌握情況、課堂表現、課堂體驗三個角度，進行自我評價、同學評價、小組評價，最終得分高的小組獲得相應的獎勵。課堂上學生討論激烈，課堂氛圍濃郁。課后，教師還可以結合課堂觀察與小組得分情況，賦予評語或給予獎勵，以提高學生的學習積極性。

（作者單位：江蘇省無錫市西漳中學）