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趣談勾股定理

2008-10-15 10:53錢懷蓮
關(guān)鍵詞:銳角三角正整數(shù)鈍角

錢懷蓮

我國古人很早就發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”.當時把較短的直角邊叫做勾,較長的直角邊叫做股,斜邊叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是,在直角三角形中,如果勾為3,股為 4,那么弦為5.所以我國稱反映勾、股、弦長度之間的數(shù)量關(guān)系的一個命題為勾股定理.西方國家稱勾股定理為畢達哥拉斯定理.

例1如圖1,四邊形A、B、C、D、E、F、H都是正方形,圖中所有的三角形都是直角三角形.其中最大的正方形H的邊長為7 cm,則正方形A、B、C、D的面積之和為cm2.

分析:這個圖形是勾股樹的一部分.根據(jù)勾股定理,易得SA+SB=SE,SC+SD=SF,SE+SF=SH.

∴SA+SB+SC+SD=SH=7×7=49(cm2).

解:正方形A、B、C、D的面積之和為49 cm2.

總結(jié):這里的H相當于是樹干,A、B、C、D、E、F等相當于是樹枝.還可以向外面繼續(xù)延伸畫勾股樹.由以上分析可以知道,對勾股樹來說,最外面的正方形的面積的和=最大的正方形的面積.大家可以思考一個與本題有關(guān)的問題,即所有正方形的面積之和是多少.

例2觀察下列表格:

請你結(jié)合表1及相關(guān)知識,求出m、n的值.

解:設(a,b,c)為一組勾股數(shù),a

觀察可知表格中的規(guī)律是:當a為奇數(shù)時,則b、c是兩個連續(xù)的正整數(shù),且b+c=a2.

如:(5,12,13),則12+13=52;(7,24,25),則24+25=72.

所以有132=169=m+n,又m比n小1,所以m+m+1=169,m=84,n=85.

總結(jié):(1)勾股數(shù)中各數(shù)的相同的整數(shù)倍,仍是勾股數(shù),如3,4,5是勾股數(shù),則6,8,10也是勾股數(shù).

(2)常見的勾股數(shù)有:①3,4,5;②5,12,13;③8,15,17;④7,24,25;⑤9,40,41.它們的整數(shù)倍也都是勾股數(shù).這些勾股數(shù)應當牢記,以便解題時及早發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.

(3)設(a,b,c)為一組勾股數(shù),a

①當a為奇數(shù)時,則b 、c是兩個連續(xù)的正整數(shù),且b+c=a2;

②當a為大于4的偶數(shù)時,則b、c是兩個連續(xù)的奇數(shù)或偶數(shù),且b+c=a2.

例3學習了勾股定理以后,有同學提出“在直角三角形中,三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2,或許其他的三角形三邊也有這樣的關(guān)系.”讓我們來做做實驗!

(1)畫出任意一個銳角三角形,量出各邊的長度(精確到1 mm).較短的兩條邊長分別是a=mm,b=mm;較長的一條邊長c=mm. 比較a2+b2c2(填“>”,“<”或“=”).

(2)畫出任意一個鈍角三角形,量出各邊的長度(精確到1 mm).較短的兩條邊長分別是a=mm,b=mm;較長的一條邊長c=mm. 比較a2+b2c2(填“>”,“<”或“=”).

(3)根據(jù)以上的操作和結(jié)果,結(jié)合這位同學提出的看法,你猜想的結(jié)論是:.利用勾股定理證明你的結(jié)論.

解:(1)、(2)略.

(3)猜想的結(jié)論是:△ABC的三邊長分別為a、b、c.若△ABC是銳角三角形,則有a2+b2>c2;若△ABC是鈍角三角形,∠C為鈍角,則有a2+b2

①當△ABC是銳角三角形時,如圖2,過點A作AD⊥BC,垂足為D.設CD=x,則有BD=a-x.根據(jù)勾股定理,得b2-x2=AD2=c2-(a-x)2.

即b2-x2=c2-a2+2ax-x2.故a2+b2=c2+2ax.

∵a>0,x>0,∴2ax>0. a2+b2>c2.

②當△ABC是鈍角三角形時,如圖3,過B作BD⊥AC,交AC的延長線于D.

設CD=x,則有BD2=a2-x2.

根據(jù)勾股定理,得AD2+BD2=AB2,(b+x)2+a2-x2=c2.即a2+b2+2bx=c2.

∵b>0,x>0,∴2bx>0. a2+b2

總結(jié):(3)中得到的結(jié)論,可以用來判斷一個三角形的形狀.若ac2時,△ABC為銳角三角形;當a2+b2

注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文

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