【摘 要】交換律教學(xué)的核心價(jià)值在于對(duì)其本質(zhì)的理解，文章通過(guò)舉例子、數(shù)數(shù)、線段圖等多元表征方式，加深學(xué)生對(duì)加法交換律本質(zhì)的理解，并在此過(guò)程中重視研究方法的拓展和遷移運(yùn)用，從而研究對(duì)乘法、除法、減法相關(guān)問(wèn)題的，實(shí)現(xiàn)從一個(gè)問(wèn)題的研究上升到一類問(wèn)題的研究，培養(yǎng)學(xué)生的遷移運(yùn)用能力以及模型思想。

【關(guān)鍵詞】交換律 多元表征 應(yīng)用拓展

對(duì)于“加法、乘法交換律”這兩個(gè)運(yùn)算律，學(xué)生在以前的計(jì)算和解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，就已經(jīng)積累了一定的經(jīng)驗(yàn)。但是對(duì)于加法、乘法交換律的本質(zhì)和內(nèi)涵還是比較模糊，多數(shù)學(xué)生的思維只停留在結(jié)果相等上，而未能體會(huì)到過(guò)程的不同。史寧中教授指出，在數(shù)學(xué)教育中，無(wú)論從時(shí)間上還是內(nèi)容上都應(yīng)當(dāng)對(duì)歸納推理給予足夠的重視，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，逐漸感悟這種推理模式的“自然”屬性。而加法交換律和乘法交換律無(wú)論是在形式上還是在證明方式上都存在很多相似之處。因此，可以先讓學(xué)生經(jīng)歷加法交換律的推理過(guò)程，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行猜想并合情推理，從而總結(jié)出乘法、除法、減法是否有此運(yùn)算律。基于以上思考，對(duì)“加法、乘法交換律”這一課做了如下教學(xué)嘗試。

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納加法交換律的探究過(guò)程，并能類比推理得出乘法交換律以及用文字或字母等表示加法、乘法交換律。

2.通過(guò)舉例、數(shù)數(shù)、圖式等方式解釋所發(fā)現(xiàn)規(guī)律，了解其豐富的現(xiàn)實(shí)背景。

3.培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題以及合情推理能力，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。

二、教學(xué)過(guò)程

一、巧設(shè)情境，激發(fā)興趣

師：同學(xué)們，聽(tīng)說(shuō)我們班同學(xué)的口算能力特別強(qiáng)。請(qǐng)你們快速說(shuō)出下面算式的答案。（依次出示下面三道算式）

6+5= 97+46= 123+4=

生：11，143，127。

師：下面算式的答案呢？（依次出示：5+6= 46+97=）

生：11，143。（此時(shí)學(xué)生已躍躍欲試想說(shuō)出第三題的題目和答案）

師：猜一猜，下一題的算式會(huì)是什么樣子？

生：前面兩道題都是把兩個(gè)數(shù)倒過(guò)來(lái)的，所以下一題應(yīng)該是4+123。

師：是不是像你們猜想和推理的那樣？我們一起來(lái)揭開(kāi)謎底。（出示算式：4+123）觀察這些算式，除了兩個(gè)數(shù)交換了位置，還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我還發(fā)現(xiàn)交換位置后，它們的和是不變的。

師：既然和不變，我們就可以用等號(hào)把它們連接起來(lái)。（板書(shū)：6+5=5+6，97+46=46+97，123+4=4+123）

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)口算，學(xué)生快速得出答案，一方面有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，另一方面也便于學(xué)生觀察和發(fā)現(xiàn)規(guī)律。特別是最后一題，教師特意放慢節(jié)奏，讓學(xué)生通過(guò)觀察已有算式的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律并為初步猜想做好鋪墊。）

（二）嘗試猜想，多元驗(yàn)證

1.舉例驗(yàn)證

師：剛才我們通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)這三個(gè)算式，交換加數(shù)的位置，它們的和不變。僅僅從這三個(gè)算式，就得出一個(gè)結(jié)論，可能不太嚴(yán)謹(jǐn)。我們暫且看成是一種猜想。既然是猜想，就要怎么樣？

生：驗(yàn)證。

師：你們想怎么驗(yàn)證？

生：可以再舉一些例子試試，看看是不是也有這樣的規(guī)律。

師：再舉一些例子來(lái)證明，確實(shí)是一種不錯(cuò)的方法。我們就在學(xué)習(xí)單上也試著舉一些例子，看看是否也有這樣的規(guī)律。

（學(xué)生獨(dú)立思考、匯報(bào)交流）

生：14+5=19，5+14=19，14+5=5+14；42+44=86，44+42=86，42+44=44+42；4+8=12，8+4=12，4+8=8+4。

師：這些例子，能否驗(yàn)證我們的猜想。（能）你們舉的例子都能驗(yàn)證嗎？（都滿足）有沒(méi)有哪個(gè)同學(xué)交換兩個(gè)加數(shù)的位置后，它們的和發(fā)生變化的？（沒(méi)有）

師：看來(lái)通過(guò)舉例的方式可以證明我們的猜想是正確的。

（設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)照樣子舉例子的方式，讓學(xué)生初步體會(huì)不完全歸納法。同時(shí)在思考過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生用“因?yàn)椤浴钡纫?guī)范的數(shù)學(xué)化語(yǔ)言來(lái)驗(yàn)證猜想。最后通過(guò)追問(wèn)“有沒(méi)有交換后，它們的和發(fā)生變化的”這一問(wèn)題滲透舉反例的數(shù)學(xué)思想。）

2.生活實(shí)例驗(yàn)證

師：其實(shí)一年級(jí)，就學(xué)過(guò)用另一種方式證明這個(gè)猜想是正確的。如樹(shù)上有3只小鳥(niǎo)，地上有5只小鳥(niǎo)，一共有多少只小鳥(niǎo)？我們可以怎樣列式？

生：3+5。

師：也可以怎樣列式？

生：5+3。因?yàn)?+5=5+3。

師：看來(lái)我們通過(guò)生活實(shí)例也可以證明這個(gè)猜想。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)簡(jiǎn)單的生活實(shí)例，以回顧舊知的形式，再一次證明猜想的正確性。）

3.數(shù)數(shù)驗(yàn)證

師：除了這兩種方式外，我們?cè)谝?、二年?jí)還學(xué)了另外一種方法來(lái)證明這個(gè)猜想，請(qǐng)觀看視頻（播放青蛙跳的視頻，第一只青蛙從4開(kāi)始一格一格跳了7格。第二只青蛙從7開(kāi)始一格一格跳了4格）。

師：觀察剛才的視頻，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：一個(gè)是4在前面，一個(gè)是7在前面，最終跳到的位置還是一樣的。

生2：第一只青蛙開(kāi)始的4格就是第二只青蛙后面的4格。第一只青蛙后面的7格就是第二只青蛙開(kāi)始的7格，只是交換了位置。

生3：第一只青蛙先跳了4格，再跳了7格。第二只青蛙先跳了7格，再跳了4格。最后，它們都落在同一個(gè)位置。

師：第一只青蛙先跳4格和第二只青蛙先跳7格后，是怎么跳到最終位置的。

生4：一格一格跳的。

師：怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)？

生4：+1，+1。

生4：我還發(fā)現(xiàn)，雖然兩只青蛙跳的過(guò)程不一樣；但結(jié)果都是一樣的。

師：第一只青蛙跳的過(guò)程，我們可以怎樣用算式表示？

生5：4+7。

師：第二只青蛙跳的過(guò)程，我們可以怎樣用算式表示？

生6：7+4。

師：既然它們跳到了一樣的位置，我們就可以怎樣用算式表示？

生：4+7=7+4。

師：看來(lái)通過(guò)數(shù)數(shù)的方法，也可以驗(yàn)證我們的猜想是成立的。

（設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)自然數(shù)公理法則，加法的實(shí)質(zhì)是在原來(lái)的基礎(chǔ)上，一個(gè)一個(gè)往后數(shù)的結(jié)果。為了讓學(xué)生感受這一數(shù)學(xué)本質(zhì)，體會(huì)數(shù)數(shù)過(guò)程，題目特意隱去最終結(jié)果11。通過(guò)引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷4+7就是在4的基礎(chǔ)上，一個(gè)一個(gè)往后數(shù)7個(gè)1，7+4就是在7的基礎(chǔ)上，一個(gè)一個(gè)往后數(shù)4個(gè)1的過(guò)程。體會(huì)和感受4+7和7+4這兩個(gè)算式的過(guò)程不同，結(jié)果一樣。）

4.圖式驗(yàn)證

師：你會(huì)結(jié)合圖1，說(shuō)說(shuō)我們的猜想是成立的嗎？

圖1

生：從學(xué)校到電影院的距離等于電影院到學(xué)校的距離，所以可以列式35+42=42+35。

師：如果距離分別是50、60，結(jié)合這幅圖，你會(huì)寫出哪個(gè)等式？

生：50+60=60+50。

師：如果距離分別是140、168，你又會(huì)寫出哪個(gè)等式？

生：140+168=168+140。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)數(shù)形結(jié)合的圖式，直觀明了，讓學(xué)生理解猜想的成立。同時(shí)通過(guò)不斷變換數(shù)字的方式，為過(guò)渡到用字母表示猜想做好鋪墊。）

師：如果用a和b表示呢？

生：a+b=b+a。

師：這里a是什么意思？b又是什么意思？

生：a表示學(xué)校到少年宮的距離，b表示少年宮到電影院的距離。

師：這里的a和b可以表示什么數(shù)字？

生：100、200MYCpwR5JYD1MjbNMzBHxXQ==、500、600。

師：小數(shù)行不行？

生：也行。

師：說(shuō)得完嗎？

生：說(shuō)不完。

師：看來(lái)用圖式的方式，也可以證明我們的猜想是成立的。

（設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合圖式，通過(guò)從具體數(shù)字變化到字母表示，以及適時(shí)的追問(wèn)，讓學(xué)生進(jìn)一步感受到加法交換律具有一般性的特征，加深對(duì)加法交換律本質(zhì)的理解。）

（三）歸納總結(jié)，得出結(jié)論

師：通過(guò)四種方法證明了我們的猜想是正確的。a+b=b+a就是我們所說(shuō)的加法交換律。今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)加法交換律。（板書(shū)課題）

師：回顧一下，我們是怎么得到這個(gè)加法交換律的？

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回顧加法交換律得出的全過(guò)程——計(jì)算、觀察、猜想、驗(yàn)證、結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生積累解決相關(guān)問(wèn)題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。）

（四）合情推理、拓展應(yīng)用

師：加法中，有加法交換律，你還有什么猜想？請(qǐng)把你的猜想寫在學(xué)習(xí)單上并驗(yàn)證。（學(xué)生獨(dú)立操作，交流匯報(bào)）

生1：我發(fā)現(xiàn)乘法有交換律。如1×2=2，2×1=2，1×2=2×1。

師：舉一個(gè)例子就說(shuō)明有，會(huì)不會(huì)太草率了？

生2：我舉得多一些，如3×5=15，5×3=15，3×5=5×3；11×2=22，2×11=22，11×2=2×11；10×20=200，20×10=200，10×20=20×10。通過(guò)這些算式也可以發(fā)現(xiàn)乘法有交換律。

師：你們從舉的例子中也可以發(fā)現(xiàn)乘法有交換律嗎？

生：有。

師：如果把兩個(gè)數(shù)字換成a和b，等式就可以寫成什么？

生：a×b=b×a。

師：這就是數(shù)學(xué)上所說(shuō)的乘法交換律。（板書(shū)）

生1：我發(fā)現(xiàn)36÷9≠9÷36，所以我認(rèn)為除法沒(méi)有交換律。

生2：我卻發(fā)現(xiàn)36÷36=36÷36，8÷8=8÷8，這種被除數(shù)和除數(shù)相等時(shí)，都滿足交換律的條件。

師：有些除法算式滿足交換律的條件，有些不滿足，除法有沒(méi)有交換律呢？

生3：只是在特殊情況下才有，特殊性不代表一般性。如正方形是特殊的長(zhǎng)方形，正方形四條邊相等，但我們不能說(shuō)長(zhǎng)方形的四條邊都相等。所以除法是沒(méi)有交換律的。

師：以此類推，減法有沒(méi)有交換律呢？

生：沒(méi)有。

師：看來(lái)只有加法和乘法有交換律，除法和減法是沒(méi)有交換律的。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)證明加法交換律的活動(dòng)，合情推理出乘法、除法以及減法是否有此規(guī)律，并在過(guò)程中體會(huì)和感受一般性和特殊性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的推理和解決問(wèn)題能力。）

三、教學(xué)思考

（一）巧設(shè)情境，讓規(guī)律有章可循

四年級(jí)的學(xué)生對(duì)于算式是否相等，主要通過(guò)算式的結(jié)果是否相等這一條件進(jìn)行判斷。因此本課伊始，學(xué)生直接從三組加法算式入手，通過(guò)對(duì)算式的計(jì)算和觀察，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律并形成初步的猜想，同時(shí)對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證和解釋，最終得出結(jié)論。這一系列的研究過(guò)程為后面學(xué)生自主探究其他規(guī)律奠定了基礎(chǔ)。

（二）多元表征，讓學(xué)生理解本質(zhì)

在對(duì)加法交換律這一規(guī)律解釋上，除了模仿舉出一些算式以及生活實(shí)例外，還利用數(shù)形結(jié)合的圖式方法，讓學(xué)生直觀明了地體會(huì)到加法交換律的合理性。同時(shí)，還通過(guò)青蛙跳的情境，讓學(xué)生理解加法的實(shí)質(zhì)就是在原來(lái)的基礎(chǔ)上，往后一個(gè)一個(gè)數(shù)的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程中雖結(jié)果一樣，但過(guò)程是不同的，學(xué)生真正對(duì)加法交換律的本質(zhì)和內(nèi)涵以及來(lái)龍去脈有了更清晰的認(rèn)識(shí)和理解。

（三）合情推理，讓學(xué)習(xí)走向深度

史寧中教授指出，在數(shù)學(xué)教育中，無(wú)論從時(shí)間上還是從內(nèi)容上都應(yīng)當(dāng)對(duì)歸納推理給予足夠的重視，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，逐漸感悟這種推理模式的“自然”屬性。加法交換律和乘法交換律無(wú)論在形式上還是在探索方法上都存在相通、相似的地方，因此，本節(jié)課的學(xué)習(xí)是讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)加法交換律的歸納推理全過(guò)程，并通過(guò)合情推理、猜想、驗(yàn)證乘法、除法、減法是否有此規(guī)律。特別是在推理除法、減法是否有此規(guī)律時(shí)，通過(guò)交流匯報(bào)以及舉例方式，讓學(xué)生理解特殊性并不能代表一般性的邏輯思想，從而使學(xué)習(xí)真正走向深度。

【參考文獻(xiàn)】

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[2] 劉祖希. 訪史寧中教授：談數(shù)學(xué)基本思想、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)通報(bào).2017（5）.