［摘 要］ 教學(xué)“距離的計算”章節(jié)知識內(nèi)容時，要注意知識整合，采用活動探究的方式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的探究和應(yīng)用過程，幫助學(xué)生掌握程序性解法. 文章就此開展教學(xué)探究，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

［關(guān)鍵詞］ 距離的計算；教學(xué)；活動；應(yīng)用

“距離的計算”是高中數(shù)學(xué)的重要章節(jié)知識內(nèi)容，是“空間向量與立體幾何”的重要知識內(nèi)容的組成. 該部分教學(xué)需要教師指導(dǎo)學(xué)生掌握空間距離的計算方法，強化學(xué)生的空間幾何觀，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 因此，教學(xué)中需要整合知識內(nèi)容，精設(shè)教學(xué)環(huán)節(jié)，合理引導(dǎo)學(xué)生探究. 下面結(jié)合實踐展開敘述.

整合內(nèi)容，策略探究

向量是數(shù)學(xué)中特殊的“量”，其具有大小和方向，故具有代數(shù)與幾何雙重特性，因此可作為溝通代數(shù)與幾何的橋梁，用于解決代數(shù)與幾何問題. 本章節(jié)教學(xué)中，需要將空間向量作為解析三維空間中圖形的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的重要工具.

1. 內(nèi)容整合

教學(xué)“距離的計算”章節(jié)知識內(nèi)容時，可將其分為兩部分：一是點到直線的距離，以及兩平行線間的距離；二是點到平面的距離，以及兩平行面間的距離. 學(xué)生在學(xué)習(xí)時已經(jīng)掌握了空間向量的相關(guān)知識，在此基礎(chǔ)上深入探索用空間向量解決距離問題的方法.

如圖1所示，“空間向量的定義及其運算”“用空間向量表示點、直線、平面等元素”“建立空間圖形與空間向量的聯(lián)系”是探究學(xué)習(xí)“距離的計算”的三大基礎(chǔ)知識，需要指導(dǎo)學(xué)生重點掌握.

教學(xué)中需要明晰知識間的關(guān)系，利用知識網(wǎng)來定位本章節(jié)的知識內(nèi)容. 對于其中的關(guān)系網(wǎng)，需要關(guān)注兩條關(guān)系鏈：一是利用“空間向量的定義及其運算”構(gòu)建“空間向量運算的幾何表示”，從而利用空間向量運算解決空間距離問題；二是利用“空間向量的定義及其運算”構(gòu)建“空間向量運算的坐標(biāo)表示”，后續(xù)應(yīng)用該知識解決空間距離問題.

教學(xué)中需要明確如下三大任務(wù)目標(biāo)：一是引導(dǎo)學(xué)生歸納空間中的四類距離向量表示方法（空間中點到直線的距離、兩平行線間的距離、點到平面的距離、兩平行面間的距離的向量表示）；二是引導(dǎo)學(xué)生利用空間向量解決立體幾何距離問題，總結(jié)程序性解題方法；三是滲透數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識.

2. 策略探究

對于“距離的計算”知識內(nèi)容的教學(xué)，建議以問題為導(dǎo)向，驅(qū)動課堂探究. 教師要關(guān)注學(xué)生的思維活動，引導(dǎo)學(xué)生探究、合作、交流、思考，鼓勵學(xué)生質(zhì)疑、討論、展示，參與課堂的探究活動，經(jīng)歷知識的生成過程.

具體教學(xué)可以采用如圖2所示的策略，從“實例”中引申問題，類比“點到直線的距離”來探究“點到平面的距離”. 教學(xué)環(huán)節(jié)中圍繞教學(xué)核心知識設(shè)計小組活動，活動過程中設(shè)計師生互動交流，從不同方面探究知識，如一般解題程序的總結(jié)、解題策略的外延、典例研究、成果展示等.

活動設(shè)計，知識生成

教學(xué)環(huán)節(jié)建議采用活動的方式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究過程，參與課堂討論，體驗知識生成. 教學(xué)過程分為三個環(huán)節(jié)：環(huán)節(jié)1，實例引入，初步感知；環(huán)節(jié)2，自主探究，概念生成；環(huán)節(jié)3，互動交流，概念深化. 下面按照上述環(huán)節(jié)設(shè)計教學(xué)活動，推動課堂教學(xué).

環(huán)節(jié)1：實例引入，初步感知

該環(huán)節(jié)需要引導(dǎo)學(xué)生從生活中提煉數(shù)學(xué)問題，從而引出本章節(jié)的核心知識內(nèi)容. 問題設(shè)計建議與生活生產(chǎn)相貼近，學(xué)生利用已有知識無法解決，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲.

引入問題：數(shù)學(xué)與生活生產(chǎn)有著密切關(guān)系，圖3是石油庫的建造圖，請同學(xué)們觀察圖象，其中有哪些距離是我們熟悉的？對于其中的距離問題，我們是否可以用向量來研究？

教學(xué)時可利用與生活貼切的問題來引導(dǎo)學(xué)生思考. 上述引入問題涉及學(xué)生已掌握的兩平行線間的距離，以及不熟悉的點到平面的距離、線到平面的距離等. 探究中注意兩點：一是引導(dǎo)學(xué)生從中提煉數(shù)學(xué)模型問題；二是引導(dǎo)學(xué)生思考運用所學(xué)知識是否可以解決問題.

環(huán)節(jié)2：自主探究，概念生成

該環(huán)節(jié)是對問題的向量化，即對幾何問題賦予向量意義，建立幾何條件與向量運算之間的關(guān)系. 對于概念生成，建議引入幾何模型，引導(dǎo)學(xué)生采用類比方法探究點到平面的距離.

活動探究1 點到直線的距離.

問題1 圖4表示用向量法計算點A到直線l的距離，思考為什么要用向量法來計算點到直線的距離.

第三步，提取公式：點P到平面α的距離d=.

完成上述兩個探究活動后，引導(dǎo)學(xué)生梳理利用空間向量計算點到平面距離的方法步驟：

第一步，確定平面α的法向量n，選擇參考向量；

第二步，構(gòu)建向量在法向量n上的投影向量；

第三步，結(jié)合向量數(shù)量積公式計算投影向量的長度.

環(huán)節(jié)3：互動交流，概念深化

環(huán)節(jié)3需要對概念和程序性解法進行深化，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進行互動交流，觀察實例模型，從中體驗向量法的優(yōu)點.

活動1 互動交流.

請學(xué)生分享利用向量法計算點到直線的距離、點到平面的距離的感想，以及使用向量法時需要注意哪些要素.

活動2 實例感悟.

請學(xué)生觀察圖6中的圖形，然后從不同視角思考：使用向量法有哪些優(yōu)勢？

教學(xué)引導(dǎo) 教學(xué)中進一步挖掘向量法的本質(zhì)內(nèi)涵，同時借用不同的實例模型進行向量法的拓展與外延，讓學(xué)生思考其他解決點到平面的距離問題的方法，對比感悟向量法的優(yōu)勢點. 教學(xué)中注意給學(xué)生留足思考空間，讓學(xué)生分組互動討論，分享成果，親身體會.

運用探究，解題指導(dǎo)

“運用探究，解題指導(dǎo)”是“距離的計算”章節(jié)知識內(nèi)容的重要教學(xué)環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)教學(xué)需要結(jié)合實例引導(dǎo)學(xué)生分析探究，過程中要注意三點：一是深度分析問題，把握問題特征；二是引導(dǎo)學(xué)生思考問題解法；三是解題過程指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生剖析解法策略.

問題呈現(xiàn) 如圖7所示，已知正方體ABCD-ABCD的棱長為2，E，F(xiàn)分別為上底面ABCD和側(cè)面CDDC的中心，則點C到平面AEF的距離為______.

教學(xué)引導(dǎo) 教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生靈活運用程序性解法來求解點C到平面AEF的距離，可分三個階段進行引導(dǎo)探究. 第一階段，問題條件分析；第二階段，過程分步構(gòu)建；第三階段，解后反思總結(jié).

第一階段，問題條件分析.

（1）對于上述問題，可將其歸為哪種類型？

（2）上述問題有什么特點？核心條件有幾個？應(yīng)采用怎樣的解題方法？

第二階段，過程分步構(gòu)建.

先根據(jù)特征建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量法，按照解題程序步驟求解.

第一步，建立空間直角坐標(biāo)系.

如圖8所示，以點A為原點，AB，AD，AA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，易得A（0，0，0），E（1，1，2），F(xiàn)（1，2，1），C（2，2，0）.

教學(xué)引導(dǎo) 教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生思考如何建立空間直角坐標(biāo)系更為便捷（從點坐標(biāo)設(shè)定、幾何特性等視角進行引導(dǎo)）. 完成空間直角坐標(biāo)系的建立后，讓學(xué)生結(jié)合線段長自行求解點的空間坐標(biāo).

第二步，求解平面的法向量.

設(shè)平面AEF的法向量為n=（x，y，z），則n

·=x+y+2z=0，

n

·=x+2y+z=0.令y=-1，可得n=（3，-1，-1）.

教學(xué)引導(dǎo) 該步需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩點：一是利用向量數(shù)量積構(gòu)建方程求解平面的法向量；二是理解平面的法向量并不唯一，可以按要求隨意設(shè)定.

第三步，利用距離公式求解.

結(jié)合點到平面的距離的向量公式可知，點C到平面AEF的距離為==.

教學(xué)引導(dǎo) 該步是本章節(jié)核心知識的體現(xiàn)，需要引導(dǎo)學(xué)生靈活運用. 教學(xué)中要讓學(xué)生關(guān)注兩點：一是公式中每一個要素所代表的含義與幾何量；二是求出結(jié)果后，慎重思考是否滿足題意.

第三階段，解后反思總結(jié).

問題求解后，引導(dǎo)學(xué)生反思過程與方法. 可從三個方面引導(dǎo)學(xué)生反思：①對于上述問題，還有其他解法嗎？②對于上述向量法，第二步運用了向量的哪些幾何性質(zhì)？③若用向量法求解直線到平面的距離，應(yīng)如何構(gòu)建過程？

教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生深入思考，反思過程與方法，強化解法，拓展應(yīng)用，掌握該類問題的解法策略. 必要時可以設(shè)置拓展性問題，引導(dǎo)學(xué)生思考更加深入.

總之，對于“距離的計算”章節(jié)知識內(nèi)容的教學(xué)，需要慎重處理三大模塊：整合知識內(nèi)容，確定探究策略；合理設(shè)計探究活動，引發(fā)知識自然生成；總結(jié)問題的程序性解法，綜合運用，強化解法. 整個教學(xué)環(huán)節(jié)，充分引導(dǎo)學(xué)生參與課堂討論，讓學(xué)生在活動中感悟知識、內(nèi)化知識. 同時注意合理滲透數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).