［摘 要］ 因為數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以利用函數(shù)思想來解決數(shù)列問題很重要. 數(shù)列在整個高中數(shù)學中占有重要地位，是高中數(shù)學的核心知識. 文章在HPM視角下對“等差數(shù)列前n項和公式”進行研究，帶領學生在相應數(shù)學史的理解下更好地運用相關知識去解決問題.

［關鍵詞］ HPM視角；數(shù)列；高中數(shù)學教學

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》中的高中數(shù)學課程目標提到，在學習數(shù)學和應用數(shù)學的過程中，學生能發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據分析等數(shù)學學科核心素養(yǎng)［1］. 縱觀高中數(shù)學課程新結構，數(shù)學文化貫穿始終，成為培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的有效載體［2］. 數(shù)學史作為數(shù)學文化不可或缺的一部分，承載著培育和發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的使命，蘊含著豐富的數(shù)學教育價值［3］. HPM視角下的數(shù)學教學基本方法就是重構歷史、追求知識自然發(fā)生的教學法，即以學生的認知起點出發(fā)，凸顯所學知識的必要性，呈現(xiàn)知識的自然發(fā)生過程，激發(fā)學生的學習動機. 如果一個數(shù)學概念、一種思想方法從天而降，那么我們直接相信它必然是不符合歷史的. HPM視角下的等差數(shù)列教學可以幫助學生建立完整的知識體系. 數(shù)列源于生活，如人口增長率、分期付款、儲蓄等實際問題，利用數(shù)學建模的思想將現(xiàn)實生活與數(shù)學知識緊密結合，引導學生理解數(shù)學源于生活且應用于生活；數(shù)學知識與數(shù)學史相融合，可以擴寬學生的數(shù)學視野，使學生了解不同國家的數(shù)學文化.

歷史素材的選取

1. 高斯算法

據說，200多年前，高斯的算術老師提出了這樣一個問題：1+2+3+…+100=？

當其他同學忙于把100個數(shù)逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）=101×50=5050.

高斯的算法解決了等差數(shù)列1，2，3，…，100的求和問題，但是將其推廣到解決一般等差數(shù)列1，2，3，…，n，…的求和問題時，會發(fā)現(xiàn)需要討論項數(shù)n的奇偶性.

2. 畢達哥拉斯的三角形數(shù)

畢達哥拉斯學派在世界數(shù)學史上首次建立了數(shù)和形之間的聯(lián)系，研究過問題1+2+3+…+n=？的幾何表示.早期畢達哥拉斯學派似乎已經熟悉利用小石子或點來構造三角形數(shù)、正方形數(shù)和長方形數(shù)等［4］. 本文中，筆者主要研究三角形數(shù)（如圖1所示）.

3. 《九章算術》之“良馬和駑馬”

今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安三千里，良馬初日行一百九十三里，日增一十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里. 良馬先至齊，復還迎駑馬. 問：幾何日相逢及各行幾何？［5］

13世紀中國數(shù)學家楊輝在解決《九章算術》中的“良馬和駑馬”問題時，通過構造幾何圖形來求良馬（第一天行193里，以后每天增加13里）和駑馬（第一天行97里，以后每天減少半里）在十五天內走過的路程.用今天的數(shù)學語言來表達良馬的行走情形就是：求首項為a（a>0），公差為d（d>0）的等差數(shù)列的前n項和，可構造長分別為a，a+d，a+2d，…，a+（n-1）d，寬均為1的n個長方形，則所得的“階梯形”的面積之和就是所求的等差數(shù)列的前n項和［6］.

4. 《張丘建算經》的第23、22題

（1）今有女子不善織，日減功遲.初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖.問織幾何？

（2）今有女善織，日益功疾. 初日織五尺，今一月日織九匹三丈. 問日益幾何？

教學過程的設計

1. 引入歷史，發(fā)現(xiàn)公式

師：200多年前，高斯的算術老師提出一個問題：1+2+3+…+100=？高斯如何求解？

生1：（如圖2所示）將1與100配對，將2與99配對，以此類推，共有50組，并且他們的和都是101，結果就是101×50=5050.

師：大家想過為什么要一頭一尾兩兩配對嗎？

生2：因為一頭一尾兩兩配對，原本100個不同的數(shù)，就變成了50個相同的數(shù).

師：通過這樣的處理，把一般問題轉化成特殊問題，也就是把不同數(shù)的求和問題轉化成相同數(shù)的求和問題. 高斯是德國數(shù)學家，近代數(shù)學的奠基者之一，擁有“數(shù)學王子”之稱. 他在天文學、測量學、磁學、光學等領域有杰出貢獻. 現(xiàn)代的尺規(guī)作圖也得益于高斯的貢獻.

設計意圖 “高斯問題”在曾經的學習中提到過，其是一個以1為首項，1為公差的等差數(shù)列求和問題，由于學生的認知基礎、認知潛能、認知風格等存在差異，此處回顧讓學生清楚“高斯問題”的緣由，以及為本節(jié)課教學“等差數(shù)列的前n項和”做鋪墊，從而很好地發(fā)展學生的邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

師：如圖3所示，你能用算式表示這個幾何圖形嗎？

生3：在右上角加上一個同樣的圖形，將其倒放就可以拼成一個長方形. 和就是長方形的長乘寬再取其一半，也就是長方形面積的一半，即=5050.

師：長方形的長和寬分別代表什么數(shù)？

生4：寬100代表100組數(shù)，長101代表一組數(shù)的和為101，100×101為100組數(shù)的和，除以2就得到50組數(shù)的和，即1+2+3+…+100的和.

設計意圖 先從“數(shù)”的方面分析“高斯問題”的緣由，再從“形”的角度進行分析，引導學生深入理解. 由“數(shù)”能夠準確地想到“形”，由“形”能夠聯(lián)系到“數(shù)”，有助于提升學生的數(shù)形結合能力和幾何直觀能力，以及數(shù)學抽象和邏輯推理等素養(yǎng)，增強學生運用幾何直觀思考問題的意識，幫助學生在具體情境中感悟事物的本質，為后面的倒序相加法的學習做鋪墊.

師：推廣到n項（如圖5所示），你能計算1+2+3+…+n的和嗎？

生5：1+2+3+…+n=. 類比1+2+3+…+100的和的計算，如圖6所示，在長方形中，一共有n組數(shù)，一組數(shù)的和為n+1，n（n+1）為n組數(shù)的和，除以2就是1+2+3+…+n的和，所以1+2+3+…+n=.

師：看來同學們遷移知識的能力很不錯. 其實，畢達哥拉斯學派在世界數(shù)學史上首次建立了數(shù)和形之間的聯(lián)系. 早期畢達哥拉斯學派似乎熟悉利用小石子或點來構造三角形數(shù)、正方形數(shù)和長方形數(shù)等. 今天我們一起來看一下三角形數(shù). 從1開始，任意多個連續(xù)自然數(shù)之和構成三角形數(shù)，如圖7所示. 畢達哥拉斯學派當時提出的就是在三角形數(shù)旁補上一個倒立的三角形數(shù)，如圖8所示.

師：我國古代數(shù)學家對數(shù)列的認識也很早，如《九章算術》《周髀算經》《孫子算經》《張丘建算經》《前漢書》《舊唐書》等著作，都載有許多有趣味的數(shù)列問題.

設計意圖 將“特殊”推廣到“一般”，將“已知”推廣到“未知”，帶領學生靈活運用并真正理解高斯的算法，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力；使用畢達哥拉斯學派的三角形數(shù)，通過數(shù)形結合，使得數(shù)學問題更加形象化.

2. 邏輯演練，公式證明

師：已知等差數(shù)列｛a｝的首項為a，公差為d，你可以求它的前n項和S嗎？

生6：S=a+a+…+a+a.

師：畢達哥拉斯學派通過構造圖形來計算，我們可用數(shù)學語言將其表達出來.

S=a+a+…+a+a①.

構造另一個與其相同的等差數(shù)列將其“倒置”.

S=a+a+…+a+a② .

將①式和②式相加，得到

2S=[][n對]=n（a+a）③.

所以等差數(shù)列｛a｝的前n項和公式為S=④.

師：若一個數(shù)列｛a｝中，與首、末項等距的兩項之和等于首、末兩項之和，可把正序的和式與倒序的和式相加，得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法［7］. 倒序相加法的本質就是分組配對，轉化成相同數(shù)的和來處理.

前面學過等差數(shù)列的通項公式為a=a+n（n-1）d，如果用此公式替換④式中的a，將得到什么樣的結果呢？

生7：S==，化簡得S=na+. 所以等差數(shù)列｛an｝的前n項和公式為

設計意圖 通過引入高斯定理，以及畢達哥拉斯學派的三角形數(shù)，使學生對等差數(shù)列的前n項和的由來有一定認識. 通過使用數(shù)學語言來表達本節(jié)課所學習的知識，讓學生在情境中抽象出數(shù)學概念，積累從具體到抽象的活動經驗，從而提高學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

3. 公式應用，加深理解

例1 根據下列各題中的條件，求相應的等差數(shù)列｛a｝的前n項和S.

（1）a=-4，a=-18，n=18;

（2）a=14.5，d=0.7，a=32.

設計意圖 使用課本上的練習題，引導學生更加理解等差數(shù)列的前n項和公式，為接下來解決“良馬和駑馬”問題做鋪墊，從而發(fā)展學生遷移知識的能力.

例2 《九章算術》的盈不足章節(jié)中有這樣一題：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安三千里，良馬初日行一百九十三里，日增一十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里. 良馬先至齊，復還迎駑馬. 問幾何日相逢及各行幾何？

教師將例2轉化為等差數(shù)列的前n項和問題：

良馬的：=；

駑馬的：=.

當它們的和為6000時就得到我們想要的結果.

學生求解：+=6000，化簡得12n2+567.5n=12000.

待學生計算后，教師給出答案：約等于15.69.

師：這是我們用數(shù)列求和的一般方法求解的，接下來一起看我國古代數(shù)學家楊輝在解決“良馬和駑馬”問題時使用的“盈不足術”：先假設兩馬在第十五日相逢，再通過構造幾何圖形來求良馬和駑馬在十五天內走過的路程. 我們將特殊情況推廣到一般情況：在良馬的情形中，用今天的數(shù)學語言來表達就是求首項為a（a>0），公差為d（d>0）的等差數(shù)列的前n項和，可構造長分別為a，a+d，a+2d，…，a+（n-1）d，寬均為1的n個長方形，則所得到的“階梯形”的面積之和就是所求的等差數(shù)列的前n項和，如圖9所示.

師：請同學們看一看，計算“階梯形”的面積之和，直接相加小長方形的面積過于煩瑣，那么怎樣計算更簡便呢？請同學們小組討論.

第一小組：可以將它補充為一個梯形，求梯形的面積，再將多余的部分減掉. 如圖10所示，多余的部分就是陰影部分. 梯形的上底為a，下底為a+（a+nd），高為n，則梯形的面積為n［a+（a+nd）］，再減掉多余的n個小三角形的面積之和，得到S=n［a+（a+nd）］-nd，最后化簡得S=na+n（n-1）d.

第二小組：將其補成一個長方形，如圖11所示，并將其分為兩個部分來求和. 第一部分由n個面積為a的小長方形組成，其面積之和為na；第二部分是邊長為（n-1）d和n的長方形，其面積為n（n-1）d. 因此，等差數(shù)列的前n項和為第一部分的面積與第二部分面積的一半的和，即S=na+n（n-1）d.

第三小組：本小組使用的是倒序相加法. 如圖12所示，在“階梯形”右邊加上一個倒置的相同圖形，拼成一個長為a+a，寬為n的長方形. 將這個長方形的面積算出來，取其一半，也就是我們所要求的等差數(shù)列的前n項和，得到S=na+n（n-1）d.

師：第一小組將“階梯形”補成一個完整的梯形，第二小組和第三小組則都是將“階梯形”補成一個完整的長方形，其中第三小組使用的是倒序相加法.用這三種方法最終都得到了等差數(shù)列的前n項和.

設計意圖 使用“良馬和駑馬”問題讓學生知道數(shù)學源于生活，數(shù)學方法可以用來解決實際問題. 利用“階梯形”將枯燥、繁雜的文字直觀地展示出來，能促進學生的數(shù)形結合思想發(fā)展；使用小組討論的方式探究“階梯形”，可增強學生的團隊合作能力，讓學生充分理解運算對象，掌握運算法則，獲取運算思路，求得運算結果，提高學生的數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

4. 布置作業(yè)，提升能力

【必做題】

題1：根據下列各題的條件，求相應等差數(shù)列｛a｝的有關未知數(shù).

（1）a=20，a=54，S=999，求d及n；

（2）d=，n=37，S=629，求a及a；

（3）a=，d=-，S=-5，求n及a；

（4）d=2，n=15，a=-10，求a及S.

題2：請根據下列條件計算.

（1）今有女子不善織，日減功遲. 初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖. 問織幾何？

（2）今有女善織，日益功疾. 初日織五尺，今一月日織九匹三丈. 問日益幾何？

注釋：“日減功遲”指每日減少的量相同. “訖”指結束.“織幾何”指織了多少尺.

【選做題】

我們在課堂上用“階梯形”求得了遞增等差數(shù)列的求和公式，那么你會使用“階梯形”求得遞減等差數(shù)列的求和公式嗎？

設計意圖 必做題中求未知數(shù)的題目意在使學生更進一步地掌握等差數(shù)列的求和公式，發(fā)展學生的順向思維和逆向思維；應用題借鑒歷史中的數(shù)學問題，意在讓學生知道數(shù)列在生活中的存在和使用，幫助學生理解等差數(shù)列前n項和公式的運用，從而培養(yǎng)學生的邏輯思維能力；選做題意在使學生嘗試做屬于自己的“階梯形”，從而提高學生的數(shù)學建模等能力.

結語

數(shù)學史告訴我們，任何屬性的概念、公式、定理、思想等都不是從天上掉下來的，都有其自然發(fā)生和發(fā)展的過程. 將數(shù)學史融入數(shù)學課堂，使學生對數(shù)學知識既能“知其然”，又能“知其所以然”；既能知其“今生”，又能知其“前世”；既能“近觀樹木”，又能“遠眺森林”［8］. 本節(jié)課通過“高斯問題”引入課題，將特殊問題轉化為一般問題，先使用圖形表示等差數(shù)列的前n項和，再從代數(shù)的角度證明公式，進而培養(yǎng)學生的邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學運算和直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng). 在教學過程中融入數(shù)學史，如畢達哥拉斯學派的三角形數(shù)、楊輝的“盈不足術”等，構建“知識之諧”. 通過小組討論，學生從中體會到數(shù)學知識的來源，營造“探究之樂”. 讓學生感受數(shù)學源于生活，與公式“零距離”接觸，使學生成為課堂真正的主人. 使用多種方法探究等差數(shù)列的前n項和公式，彰顯“方法之美”， 給學生搭建一座貫穿古今數(shù)學文化的橋梁，感受數(shù)學文化帶來的巨大吸引力，引發(fā)“情感之悅”. 數(shù)學史的有效滲透，展示數(shù)學家們探究數(shù)學孜孜不倦的精神，達成“德育之效”“能力之助”.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 余慶純. HPM微課融入高中數(shù)學教學的行動研究［D］. 五邑大學，2018.

［3］ 洪燕君. HPM教學實踐驅動下初中數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展研究：MKT的視角［D］. 華東師范大學，2017.

［4］ 王蓉. 基于HPM理論的課堂教學實踐與思考——以《等差數(shù)列的前n項和》教學為例［J］. 數(shù)學教學通訊，2016（33）：9-12.

［5］ 曹純. 九章算術譯注［M］. 上海：上海三聯(lián)書店，2015.

［6］ 汪曉勤，陳君煜. HPM視角下數(shù)列教學中的直觀想象素養(yǎng)初探［J］. 中小學數(shù)學（高中版），2019（04）：57-60.

［7］ 相陽. 例析倒序相加法的應用［J］. 語數(shù)外學習（高中版中旬），2020（12）：39.

［8］ 汪曉勤. 數(shù)學史與高中數(shù)學教學［M］. 上海：華東師范大學出版社，2020.