［摘 要］ 單元教學(xué)能促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的發(fā)生. 文章以“三角函數(shù)”單元教學(xué)為例，借助大概念“單位圓”設(shè)計(jì)系列單元教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生構(gòu)建結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系，持續(xù)進(jìn)階地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.

［關(guān)鍵詞］ 單元教學(xué)活動(dòng)；大概念；三角函數(shù)；單位圓

引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（簡稱新課標(biāo)）強(qiáng)調(diào)重視單元教學(xué)，以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領(lǐng)，使課程內(nèi)容情境化，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)［1］. 單元教學(xué)是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的重要方式，通過大背景、大概念、大思路來進(jìn)行高觀點(diǎn)的結(jié)構(gòu)化管理，能有效提升教師的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)能力. 因此，整體把握教學(xué)內(nèi)容，理解數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過程，厘清單元邏輯主線，突出單元教學(xué)的主干知識(shí)和研究路徑，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生是一線教師亟待解決的問題.

基于深度學(xué)習(xí)的單元教學(xué)大概念提取

“大概念”能反映學(xué)科的本質(zhì)，居于學(xué)科的中心地位，是具有較為廣泛的適用性和解釋力的原理、思想和方法［2］. 系統(tǒng)化的單元教學(xué)設(shè)計(jì)需要整體規(guī)劃單元教學(xué)任務(wù)，以“大概念引領(lǐng)，大任務(wù)驅(qū)動(dòng)”的方式設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化單元教學(xué)活動(dòng)，在統(tǒng)一背景下關(guān)聯(lián)課時(shí)教學(xué)活動(dòng)［3］. 單位圓模型在三角函數(shù)單元中具有廣泛的解釋力. 通過單位圓建立本單元的研究框架，構(gòu)建三角函數(shù)的定義，可以直觀研究誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等公式等，對(duì)于學(xué)生理解知識(shí)間的聯(lián)系，探索新問題具有持久的可遷移價(jià)值.

本文基于深度學(xué)習(xí)理論，以三角函數(shù)中的“單位圓”為大概念，作為該單元的邏輯主線設(shè)計(jì)單元教學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生在系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生.

以“單位圓”為大概念的單元教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

為了發(fā)揮單位圓的作用，人教A版（2019）教材在引入弧度制時(shí)就給出了單位圓的定義，并在后續(xù)內(nèi)容的處理中，始終以單位圓為載體，串聯(lián)三角函數(shù)單元中的知識(shí)與活動(dòng).

活動(dòng)1 單位圓視角下弧度制的引入.

如圖1所示，兩個(gè)以點(diǎn)O為圓心，半徑分別為r和r的圓，探究圓心角θ與弧長l，l以及半徑的關(guān)系.

學(xué)生探究 由l=r，l=r可知，θ確定時(shí)，弧長的確定還需要給定半徑；而==是一個(gè)隨著θ的確定而唯一確定的定值.

教師啟發(fā) 當(dāng)半徑r=1時(shí)，就能用弧長l來表示圓心角θ，實(shí)現(xiàn)用實(shí)數(shù)表示角的大小的目的，為用角作為函數(shù)自變量進(jìn)行研究打下基礎(chǔ).

設(shè)計(jì)意圖 通過單位圓模型體驗(yàn)單位圓的特殊性和代表性，實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)與角的一一對(duì)應(yīng)，使自變量與因變量的形式得到統(tǒng)一，為定義三角函數(shù)埋下伏筆.

活動(dòng)2 單位圓視角下的三角函數(shù)的定義.

觀察圖2，當(dāng)角α變化時(shí)，探究其終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)的變化情況.

學(xué)生探究 任意角α的終邊OP與單位圓的交點(diǎn)P（x，y）是唯一確定的，而且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y都是角α的函數(shù)；當(dāng)角的終邊相同時(shí)，與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)也相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系具有“周而復(fù)始”的特點(diǎn).

教師啟發(fā) 給出三角函數(shù)的定義（簡稱單位圓定義法）：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)都是以角α為自變量，以其終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)；單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)，非常直觀地體現(xiàn)了三角函數(shù)的周期性.

設(shè)計(jì)意圖 回顧三角函數(shù)的發(fā)展史，任意角的三角函數(shù)正是由圓周運(yùn)動(dòng)的研究而產(chǎn)生的，歷史上曾被稱為圓函數(shù).單位圓定義法可以啟發(fā)學(xué)生反思弧度制引入的必要性，也有利于學(xué)生在大概念的視角下逐步構(gòu)建三角函數(shù)的知識(shí)體系.

活動(dòng)3 在單位圓中推導(dǎo)誘導(dǎo)公式.

如圖3所示，觀察角α，π-α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P，P之間的對(duì)稱關(guān)系，試用角α的三角函數(shù)值表示角π-α的三角函數(shù)值.

學(xué)生探究 由角α，π-α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，可得cos（π-α）=-cosα，sin（π-α）=sinα. 借助GeoGebra軟件，從幾何直觀出發(fā)，繼續(xù)探究角α的三角函數(shù)值與π+α，±α，-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.

教師啟發(fā) 這些角的終邊在單位圓上的對(duì)稱關(guān)系具有一般性，由這些對(duì)稱關(guān)系得到的等量關(guān)系式就是誘導(dǎo)公式.

設(shè)計(jì)意圖 利用單位圓抽象三角函數(shù)的定義后，引導(dǎo)學(xué)生從單位圓的對(duì)稱性中得到啟示，使用數(shù)形結(jié)合方法推導(dǎo)誘導(dǎo)公式，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；引導(dǎo)學(xué)生逐步熟悉三角函數(shù)的單位圓定義，明確研究路徑，有助于學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中利用單位圓推導(dǎo)三角函數(shù)的其他公式，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生.

活動(dòng)4 單位圓定義法的應(yīng)用一：畫出正弦函數(shù)的圖象并研究其性質(zhì).

利用計(jì)算機(jī)軟件，在坐標(biāo)軸上標(biāo)注點(diǎn)（x，sinx），畫出三角函數(shù)的精確圖象，研究三角函數(shù)的性質(zhì).

學(xué)生探究 設(shè)角x的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（cosx，sinx）. 用軟件Geo-Gebra繪制動(dòng)點(diǎn)D（x，sinx）；當(dāng)點(diǎn)P在單位圓上旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)點(diǎn)D（x，sinx）開啟跟蹤，得到點(diǎn)D的軌跡就是正弦函數(shù)y=sinx的圖象（如圖4所示）. 點(diǎn)P的縱坐標(biāo)按照0→1→0→-1→0…的規(guī)律連續(xù)且周而復(fù)始地變化，根據(jù)誘導(dǎo)公式得到正弦函數(shù)在定義域R上的完整圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）. 觀察正弦函數(shù)的單調(diào)性、最值，并記錄下來（見表1）.

教師啟發(fā) 借助單位圓和信息技術(shù)研究正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法. 你能依據(jù)這個(gè)研究路徑，類比得到余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)嗎？

設(shè)計(jì)意圖 通過單位圓標(biāo)注點(diǎn)的坐標(biāo)，把正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的研究歸結(jié)為點(diǎn)的縱坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)角x之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的探討，這是一個(gè)一般函數(shù)概念指導(dǎo)下的探究活動(dòng)，用以加深學(xué)生對(duì)單位圓視角下的弧度制、三角函數(shù)一般定義的認(rèn)識(shí)；類比正弦函數(shù)的研究路徑，確立研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基本框架，讓學(xué)生在遷移學(xué)習(xí)中積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

活動(dòng)5 單位圓定義法的應(yīng)用二：推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦公式.

在單位圓中點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)如圖5所示，探究三角形中的等量關(guān)系，以及cos（α-β）與角α，β的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值之間的關(guān)系.

學(xué)生探究 由單位圓的對(duì)稱性可證△BOC與△DOA全等，則DA=BC，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得兩角差的余弦公式；再分別用-β，±β代替β，推導(dǎo)出其他三組公式（兩角差的正弦公式、兩角和的余弦公式、兩角和的正弦公式）.

教師啟發(fā) 兩角和與差的正弦、余弦公式隨著三角學(xué)的誕生而誕生，有著悠久的歷史. 在眾多推導(dǎo)和證明方法中，美國數(shù)學(xué)家麥克肖恩使用的方法更加直觀和簡便：利用線段或坐標(biāo)直觀表示α-β的三角函數(shù)，再借助平面幾何中的全等三角形的性質(zhì)，抓住變化中不變的量構(gòu)建方程，然后用函數(shù)代換思想推導(dǎo)出上述公式［4］.

教師追問 利用單位圓和上述思想方法，你能證明以下等式嗎？

（1）（sinα+sinβ）=sin·cos；

（2）（cosα+cosβ）=cos·cos.

設(shè)計(jì)意圖 兩角和與差的正弦、余弦公式是推導(dǎo)其他三角函數(shù)公式的起點(diǎn)，其本質(zhì)是借助單位圓以坐標(biāo)的形式將三角函數(shù)寫出來，體現(xiàn)了幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算的特點(diǎn)，凸顯在變化中尋找恒等關(guān)系的數(shù)學(xué)思想方法.教師的追問，既是對(duì)單位圓大概念的深化，又是對(duì)學(xué)生素養(yǎng)提升的考查. 數(shù)學(xué)史的引入，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家細(xì)致嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木衿犯窈驮趯I(yè)領(lǐng)域的責(zé)任擔(dān)當(dāng)，這也是對(duì)深度學(xué)習(xí)理念的體現(xiàn)和落實(shí).

單元教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)反思

在單元教學(xué)中，教師借助大概念進(jìn)行整體單元活動(dòng)設(shè)計(jì)，能幫助學(xué)生完善知識(shí)體系，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)（見圖6）. 同時(shí)教師也要開展反思，不斷提升單元教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)能力.

首先，單元教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)要注重教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)性與研究思路的一致性.學(xué)生學(xué)習(xí)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，以“聯(lián)想與結(jié)構(gòu)”的方式去理解，是深度學(xué)習(xí)發(fā)生的重要特征［5］. 新課標(biāo)加強(qiáng)了函數(shù)主題與三角函數(shù)內(nèi)容的整體性，把“三角恒等變換”納入“三角函數(shù)”中. 教材按照“事實(shí)背景—角與弧度—數(shù)學(xué)對(duì)象—圖象與性質(zhì)—三角恒等變換—事實(shí)應(yīng)用”的結(jié)構(gòu)展開教學(xué). 因此，三角函數(shù)的單元活動(dòng)設(shè)計(jì)，要特別注重體現(xiàn)函數(shù)的一般研究思路，強(qiáng)調(diào)任意角和三角函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并以單位圓的幾何直觀為認(rèn)知邏輯鏈，將三角恒等變換與三角函數(shù)有機(jī)融合起來.

其次，單元教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)要促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和進(jìn)階性的發(fā)展. “活動(dòng)與體驗(yàn)”是深度學(xué)習(xí)的特征之一，即讓學(xué)生典型地、簡約地經(jīng)歷結(jié)構(gòu)性的關(guān)鍵過程與關(guān)鍵內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)生自覺成長［5］. 在活動(dòng)2中，需要學(xué)生把握住角α與x，y的幾何元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，突破以往對(duì)基本初等函數(shù)的“代數(shù)運(yùn)算”的認(rèn)識(shí)，體會(huì)引入弧度制的必要性，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、直觀想象等素養(yǎng)；活動(dòng)3、活動(dòng)4是對(duì)單位圓定義的遷移應(yīng)用，需要學(xué)生抓住“本質(zhì)與變式”，注意問題的提出與解決，歸納思想方法，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；活動(dòng)5則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)合思想的應(yīng)用. 由兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出二倍角公式，以及和差化積、積化和差等一系列三角函數(shù)公式，讓學(xué)生充分體驗(yàn)化歸思想，構(gòu)建完整的知識(shí)體系. 單元教學(xué)下的每一個(gè)活動(dòng)設(shè)計(jì)都應(yīng)具有進(jìn)階性，從而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)階發(fā)展，促使深度學(xué)習(xí)的發(fā)生.

最后，單元教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)要關(guān)注持續(xù)性的教學(xué)評(píng)價(jià)，全面實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值. 深度學(xué)習(xí)將教學(xué)的“價(jià)值與評(píng)價(jià)”自覺化、明細(xì)化，幫助學(xué)生形成正確的價(jià)值觀，形成有助于學(xué)生自覺發(fā)展的核心素養(yǎng)［5］. 在單元活動(dòng)的全過程中，教師始終要以學(xué)生為活動(dòng)的主體，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、交流分享，并在探究中及時(shí)給予激勵(lì)性的評(píng)價(jià)，持續(xù)激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究熱情. 教師可以在課堂觀察、師生活動(dòng)、小組互評(píng)等活動(dòng)中，設(shè)置評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，記錄學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，展示數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展過程. 例如，在活動(dòng)4中，需要學(xué)生通過類比歸納，推導(dǎo)余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，教師引導(dǎo)學(xué)生交流展示、探討互評(píng)，將學(xué)生的知識(shí)構(gòu)建過程外顯化，有利于形成你追我趕的良性學(xué)習(xí)競爭，樹立正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀和價(jià)值觀.

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