［摘 要］ 數(shù)學(xué)教育承載著提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生高階思維的基本功能.數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生高階思維的實(shí)施路徑包含三大階段、六個(gè)環(huán)節(jié)，研究者以“正弦定理”的教學(xué)為例，給出了教學(xué)設(shè)計(jì)、分析及反思，并在實(shí)踐中檢驗(yàn)了該實(shí)施路徑對指導(dǎo)當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的意義和價(jià)值.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)教學(xué)；高階思維；實(shí)施路徑；案例實(shí)踐

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確指出：數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能. 數(shù)學(xué)教育幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)知識、技能、思想和方法；提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界；促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，探尋事物變化規(guī)律，增強(qiáng)社會責(zé)任感；在學(xué)生形成正確人生觀、價(jià)值觀、世界觀等方面發(fā)揮獨(dú)特作用［1］.

高階思維是指學(xué)生在置身于復(fù)雜情境、碰到新問題時(shí)，能通過自身主動地聯(lián)結(jié)、重組、批判、創(chuàng)造，解決問題的一種高層次的認(rèn)知能力. 作為一個(gè)公認(rèn)的事實(shí)，數(shù)學(xué)思維的重要特征是思維的深刻性，數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)就是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，在這個(gè)意義下，數(shù)學(xué)教育是發(fā)展學(xué)生高階思維的一個(gè)極好載體［2］.

問題提出

現(xiàn)有的數(shù)學(xué)教育主要以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科目標(biāo)為主，典型問題有：第一，教學(xué)活動的“雙主體性”在落實(shí)中的片面化，現(xiàn)實(shí)中課堂教學(xué)行為多關(guān)注教師的“教”而忽視學(xué)生的“學(xué)”，注重知識與方法的傳授，忽略學(xué)生的體驗(yàn). 第二，不太關(guān)注學(xué)習(xí)活動的創(chuàng)設(shè)，過多關(guān)注學(xué)生對知識的記憶和復(fù)制，或?qū)W(xué)習(xí)活動的展示流于形式，對學(xué)習(xí)活動的后續(xù)反饋也未充分跟進(jìn). 第三，課堂問題、學(xué)習(xí)任務(wù)等設(shè)計(jì)過多、過碎、過淺，對問題的思維深度要求不高. 問題的設(shè)計(jì)對學(xué)生學(xué)習(xí)主動性的激發(fā)不到位、解決不到位、遷移不到位，使得學(xué)生學(xué)習(xí)沉浸度不夠，學(xué)習(xí)深度也不夠. 第四，課堂上例題和練習(xí)的負(fù)擔(dān)很重，教師講解，學(xué)生機(jī)械模仿比較普遍. 第五，單純的“一課教學(xué)”，整體觀念下的數(shù)學(xué)教學(xué)意識比較單薄. 以上現(xiàn)象的發(fā)生都促使我們思考如何才能形成更高效的課堂生態(tài).

如何解決

實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生主動地、全身心地投入學(xué)習(xí)整個(gè)過程，是發(fā)展學(xué)生高階思維的前提. 今天我們聚焦在課堂教學(xué)中，設(shè)置合適的情境，激活學(xué)生已有知識和經(jīng)驗(yàn)，尋找新知識的生長點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識再創(chuàng)造的過程，形成個(gè)性化建構(gòu). 這樣學(xué)生才能將所學(xué)知識遷移應(yīng)用到新情境中，在解決新問題的過程中加深理解，強(qiáng)化反思，發(fā)展高階思維.

數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生高階思維的實(shí)施路徑包含三大階段、六個(gè)環(huán)節(jié)（如圖1所示）.

數(shù)學(xué)教育是教與學(xué)的辯證統(tǒng)一，教師的主要作用是“引導(dǎo)”，學(xué)生的主要活動是“思考”，

實(shí)現(xiàn)“引”和“思”的對立統(tǒng)一是發(fā)展學(xué)生高階思維中的主要矛盾. 教師在教學(xué)設(shè)計(jì)前先要回答兩個(gè)問題：教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)是什么？學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)是什么？這本就是教學(xué)設(shè)計(jì)的必要組成部分. 只有搞清這兩點(diǎn)才能在教學(xué)中設(shè)計(jì)出拓展學(xué)生思維深度、深化學(xué)生數(shù)學(xué)理解的活動.

第一階段，提出問題.包括：（1）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題. 每個(gè)人對新鮮事物都有好奇心，在現(xiàn)實(shí)情境或數(shù)學(xué)情境中通過發(fā)現(xiàn)問題、提出問題激發(fā)學(xué)生的好奇心是學(xué)習(xí)起點(diǎn). 創(chuàng)設(shè)這個(gè)環(huán)節(jié)的目的是啟動學(xué)生思考，提出的問題要指向明確，注重適度性、典型性和有效性，有吸引力，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于后續(xù)開展探究. （2）檢索舊知，探究新知. 提出問題后，學(xué)生首先會調(diào)用已有的數(shù)學(xué)知識和方法來解決問題，當(dāng)然會遇到困境，這時(shí)就需要探索認(rèn)知圖式以外的數(shù)學(xué)知識，通過分析、觀察、猜測、類比、歸納、推理等一系列的方法發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，實(shí)現(xiàn)低階的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

第二階段，解決問題. 包括：（3）理解辨析，把握本質(zhì). 學(xué)生發(fā)生高階思維的主要特征是對發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識的理解和對本質(zhì)的把握. 教師用啟發(fā)性、探索性、層進(jìn)性問題去引發(fā)、驅(qū)動學(xué)生自覺思考. 一般地，教師可以問“能得到什么”“怎樣得出來的”“為什么要這樣做”等. 將新的數(shù)學(xué)知識與學(xué)生原有的認(rèn)知圖式聯(lián)系起來，逐步內(nèi)化. 這個(gè)環(huán)節(jié)可以師生、生生之間的互動，以及與課本之間的互動等形式進(jìn)行. （4）例題講解，鞏固新知. 在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生能夠初步運(yùn)用新的數(shù)學(xué)知識解決問題，但很可能是片面的、不完整的，需要不斷修正自己的理解. 這個(gè)階段教師示范，學(xué)生模仿，能夠幫助學(xué)生獲得新的體驗(yàn)，在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中有著承上啟下的作用.

第三階段，總結(jié)遷移. 包括：（5）批判質(zhì)疑，凝練升華. 依靠例題示范與模仿，使學(xué)生獲得進(jìn)入高階思維的“入場券”，從而形成對新知識的理解和批判、聯(lián)系和建構(gòu). 學(xué)生主動總結(jié)凝練是十分必要的，在自己的腦海中重組新舊知識的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，通過反例、圖表等方式把本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性加以區(qū)分，提升思維層次. （6）能力拓展，知識遷移. 學(xué)生發(fā)生高階思維的重要表現(xiàn)是對知識的遷移和應(yīng)用.學(xué)生能夠在新情境中主動連接與重組知識，創(chuàng)造性地解決問題，并在此過程中深度思考，甚至進(jìn)一步提出高質(zhì)量的新問題，使得學(xué)習(xí)有新起點(diǎn)，如此循環(huán)往復(fù)，螺旋上升，拓展能力的邊界［3］.

隨著高階思維的發(fā)展，學(xué)生可以進(jìn)一步加工新對象和自身已知圖式，通過順應(yīng)、同化，構(gòu)建關(guān)于數(shù)學(xué)對象更復(fù)雜的“新圖式”，作為后繼學(xué)習(xí)中新知識的“生長點(diǎn)”. 同時(shí)，在學(xué)習(xí)過程中聯(lián)系、批判、應(yīng)用、體驗(yàn)，助力學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得超越具體知識和技能層面的東西，收獲一般化的思維策略，提升思維品質(zhì).

案例實(shí)踐

環(huán)節(jié)1 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題.

問題1 某林場為了及時(shí)發(fā)現(xiàn)火情，設(shè)立了兩個(gè)觀測點(diǎn)A和B. 某日兩個(gè)觀測點(diǎn)的林場人員都觀測到C處出現(xiàn)了火情. 在A處觀測到火情發(fā)生在北偏西40°方向，而在B處觀測到火情發(fā)生在北偏西60°方向. 已知B在A的正東方向10千米處，試求火場C與觀測點(diǎn)A和B之間的距離.

師：上述情境中，包含了怎樣的數(shù)學(xué)問題？

生1：在△ABC中，已知A=130°，B=30°，c=10千米，求b與a.

從實(shí)際情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.通過提問，促使學(xué)生體會正弦定理源于生產(chǎn)、生活實(shí)際，并與現(xiàn)實(shí)世界有著密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

師：三角形可以分為直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形，其中后兩類我們統(tǒng)稱為斜三角形. 今后若不特殊說明，△ABC的三個(gè)角分別記作A，B，C，它們的對邊分別記作a，b，c. 在三角形的三個(gè)角和三條邊這六個(gè)元素中，已知三個(gè)元素（至少一個(gè)為邊），求另外三個(gè)元素，稱為解三角形. 在初中我們通過銳角三角比，完成了解直角三角形的學(xué)習(xí)，但在解決實(shí)際問題時(shí)，往往還會遇到不少解斜三角形的問題.

從解三角形的角度，提出研究三角形邊角關(guān)系的問題是本單元的學(xué)習(xí)主題，為后續(xù)學(xué)習(xí)余弦定理，以及解決簡單的三角形的應(yīng)用問題奠基.

環(huán)節(jié)2 檢索舊知，探究新知.

師：三角形中的邊角關(guān)系有哪些？

生2：三角形中的邊角關(guān)系有大邊對大角、大角對大邊、勾股定理等.

師：你能用這些知識解決生1提出的問題嗎？請分組討論解決方法，各組派代表發(fā)言.

生3：過點(diǎn)A作AE垂直BC于E，則由銳角三角比bsinC=AE=csinB，得b=，將已知數(shù)據(jù)代入即可得b.

上述問題依次遞進(jìn)，第一個(gè)問題問的是三角形中的邊角關(guān)系，能調(diào)動學(xué)生的知識儲備；第二個(gè)問題引出本節(jié)課“已知‘兩角一邊’解三角形”的學(xué)習(xí)內(nèi)容. 通過小組合作的形式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效交流與表達(dá)，并相互啟發(fā).

接下來不同小組學(xué)生對求a的回答出現(xiàn)了兩種情況：

生3：分別在Rt△AEB和Rt△AEC中，求得CE和BE，相加即可得a.

師：能夠用求b的方法來求a嗎？

由于已經(jīng)構(gòu)造了兩個(gè)直角三角形，因此生3的解法是一種非常自然的選擇. 但是運(yùn)用這種解法，并不利于后續(xù)抽象出正弦定理這一算法結(jié)構(gòu). 教師在這里適時(shí)點(diǎn)撥，有意識引導(dǎo)，有利于正弦定理這一算法結(jié)構(gòu)的形成.

生4：類似地過點(diǎn)B作BF垂直CA的延長線于F，則asinC=BF=csin（π-A）=csinA，從而a=，將已知數(shù)據(jù)代入即可得a.

（在分組活動中，某小組把三角形放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)統(tǒng)一處理，這將在環(huán)節(jié)5中進(jìn)行闡述.）

環(huán)節(jié)3 理解辨析，把握本質(zhì).

問題2 兩個(gè)小組解決問題的基本思想方法分別是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形和通過銳角三角比求另外兩條邊.如果我們把上述問題的條件略作修改為A=135°，B=35°，c=10千米，那么b=______千米，a=______千米.

生齊聲答：類似前面的方法，作兩條高求解……

師：是否有更便捷的方法？

通過追問，引發(fā)學(xué)生大膽思考，引出學(xué)生主動抽象問題本質(zhì)的高階思維：學(xué)生在這個(gè)過程中品味出“作高”僅是解決上述問題的一種表象，這個(gè)問題的本質(zhì)是通過一條高的兩次計(jì)算，獲得三角形中對邊和對角的關(guān)系.

生5：直接利用前面得到的兩個(gè)式子b=和a=，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入即可得a和b.

實(shí)際上生5回答得很好，他已經(jīng)意識到，“高”不是本質(zhì)，而邊角關(guān)系才是. 這里教師通過追問，讓他把這個(gè)體驗(yàn)傳遞給班里所有的同學(xué)，也為后續(xù)的嚴(yán)格證明埋下了伏筆.

師：上述兩個(gè)問題的三角形不是同一個(gè)，為什么可以用前面的結(jié)論呢？

生5：兩個(gè)問題的解答過程是類似的，前面得到等式的過程完全可以相同地重復(fù)一次.

師：實(shí)際上，第一個(gè)問題（問題1）的解答過程已經(jīng)說明了對一切鈍角三角形均有b=和a=成立.

師：那么對銳角三角形或直角三角形，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？

有了解鈍角三角形的經(jīng)驗(yàn)，求證其余兩類三角形中結(jié)論是否成立是水到渠成的事情. 在這個(gè)過程中，學(xué)生感受到解決復(fù)雜問題的基本思想——分類討論.

生6：對于直角三角形……對于銳角三角形……

師：結(jié)合生6的回答，一起梳理上述兩個(gè)等式的證明過程. 至此我們得到：對于一切三角形，均有b=和a=成立.

師：以后遇到類似的解三角形問題，我們都可以利用上述兩個(gè)等式快速求解. 能否通過代數(shù)變形將這兩個(gè)等式變得更“美觀”一點(diǎn)，更容易記憶一點(diǎn)？

引導(dǎo)學(xué)生自我建構(gòu)新知識，并在已有的認(rèn)知圖式中開辟出一個(gè)“新空間”存放正弦定理.

生7：可以變?yōu)?和=.

師：能再簡化一下嗎？

生7：==.

至此，正弦定理完全露出了真容，學(xué)生也經(jīng)歷了知識的“再發(fā)現(xiàn)”，思想的“再體驗(yàn)”，整個(gè)過程圍繞著探究三角形的邊角關(guān)系這個(gè)主題，并連接和重組新的數(shù)學(xué)知識與原有的關(guān)于三角形的認(rèn)知圖式.

問題3 在△ABC中，已知A∶B∶C=4∶1∶1，則a∶b∶c=_______.

生8：因?yàn)锳+B+C=π，A∶B∶C=4∶1∶1，所以A=π，B=，C=.由正弦定理可得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC，所以a∶b∶c=∶1∶1.

正弦定理是“大角對大邊”這一幾何性質(zhì)的定量刻畫，通過一個(gè)簡單問題，明確公式所闡述的事實(shí)本質(zhì).

環(huán)節(jié)4 例題講解，鞏固新知.

師：利用我們掌握的方法來解決引例所包含的數(shù)學(xué)問題.

例1 在△ABC中，已知A=130°，B=30°，c=10 km，求a與b. （結(jié)果精確到0.1 km）

利用正弦定理來解三角形，教師示范，學(xué)生模仿，規(guī)范學(xué)生的解題步驟，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生體會正弦定理在算法上的便捷性.

師：在三角形中邊a與對角A的正弦之比為定值，當(dāng)a和A固定時(shí)，此三角形的形狀不能固定，此時(shí)點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡為一段圓弧，可知此三角形的外接圓的大小是確定的. 利用我們掌握的知識，小組討論例2.

例2 已知圓O是△ABC的外接圓，半徑為R，試用R與A，B，C的正弦來表示△ABC三邊的長.

主要介紹正弦定理的幾何意義.本例對圓的基礎(chǔ)知識有一定的要求，所以題目給出了三角形的外接圓這一背景，就學(xué)生的探究體驗(yàn)而言，更貼近學(xué)生的思維活動.

環(huán)節(jié)5 批判質(zhì)疑，凝練升華.

師：在前面的分組活動中，有個(gè)小組把三角形放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)統(tǒng)一處理，我們來聽一聽他們是怎么做的.

生9：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，可得C（bcosA，bsinA），B（c，0），所以△ABC的面積S=bcsinA. 同理S=acsinB，S=·absinC……

學(xué)生通過建立平面直角坐標(biāo)系，把三角形頂點(diǎn)的坐標(biāo)和三角形中的不變量聯(lián)系起來，是非常不容易的，體現(xiàn)了學(xué)生遷移應(yīng)用知識的能力. 這里教師不妨提出疑問：這樣處理為什么不用像其他小組一樣分類討論呢？這個(gè)問題能夠深化學(xué)生對任意角三角比的定義的理解.

師：這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了什么知識？有哪些收獲？

生10：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正弦定理===2R（2R是△ABC外接圓的直徑）；△ABC的面積S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB.

學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)僅僅落在本節(jié)課的知識或方法層面上，教師還要引領(lǐng)學(xué)生感悟思想方法，如本節(jié)課涉及的分類討論、從特殊到一般等思想方法，這樣就能夠幫助學(xué)生加深知識的記憶與理解，內(nèi)化知識結(jié)構(gòu)，從而發(fā)展學(xué)生的高階思維.

環(huán)節(jié)6 能力拓展，知識遷移.

作業(yè)布置：

作業(yè)1：上教社（2020）數(shù)學(xué)必修第二冊教材P48習(xí)題中的6.3A組第1題、第7題，B組第1題、第9（1）題.

作業(yè)2：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知A=30°，c=8，a分別取4，10，3，4時(shí)，求C. （結(jié)果精確到0.1度）

作業(yè)3：繪制本節(jié)課的思維導(dǎo)圖.

作業(yè)是對所學(xué)知識的鞏固與檢驗(yàn)，一方面是對本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的回顧，另一方面檢測本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是否達(dá)成. 作業(yè)2通過取a在動態(tài)變化中的幾個(gè)具體值，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，理解正弦定理反映的是三角形的性質(zhì)，卻未必能唯一確定三角形. 作業(yè)3用思維導(dǎo)圖將本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)“顯性化”，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)相應(yīng)數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵及其聯(lián)系，為后續(xù)遷移到邊與角的余弦之間的關(guān)系的探究做鋪墊. 豐富的課后學(xué)習(xí)資源，對發(fā)展學(xué)生的高階思維非常重要.

實(shí)踐反思

第一，課堂應(yīng)多關(guān)注從特殊到一般，再從一般到特殊這一認(rèn)識事物的過程，這符合人類認(rèn)知客觀世界的規(guī)律，更有助于學(xué)生發(fā)展高階思維.本節(jié)課從兩個(gè)具體問題抽象出正弦定理，再回到具體問題，在這個(gè)過程中教師就像一名“導(dǎo)游”，帶領(lǐng)著學(xué)生體驗(yàn)了一次數(shù)學(xué)抽象之“美”.

第二，課堂關(guān)注思維沖突的設(shè)計(jì)，小組交流、經(jīng)驗(yàn)分享、自我評價(jià)、相互評價(jià)等，都是激發(fā)學(xué)生進(jìn)行深度思考的好手段. 本節(jié)課中的小組討論、代表發(fā)言、開放式環(huán)境，能更好地促進(jìn)“做、學(xué)、教”的統(tǒng)一.

第三，重視概念教學(xué)，關(guān)注知識的發(fā)生、發(fā)展過程. 正弦定理的實(shí)質(zhì)是對解斜三角形方法的一種提煉，就實(shí)際情境而言，我們完全可以構(gòu)造幾個(gè)直角三角形來解決問題. 本節(jié)課讓學(xué)生體驗(yàn)到類似“兩角一邊”的問題，都可以用類似的方法求解，展現(xiàn)了正弦定理的發(fā)生過程，對知識的記憶、理解和內(nèi)化都大有裨益.

第四，注重火熱的思考過程與冰冷的數(shù)學(xué)符號之間的關(guān)系. 本節(jié)課中證明正弦定理的幾何法，學(xué)生有所感知，他們能夠參與進(jìn)來，然后通過自己審美，將其表述為極具數(shù)學(xué)簡潔美和對稱美的正弦定理，這就很有成就感.

第五，學(xué)生發(fā)展高階思維，反思與總結(jié)是必不可少的，這是一個(gè)自我消化的過程，在此基礎(chǔ)上才有可能進(jìn)行知識遷移和應(yīng)用. 當(dāng)然這個(gè)消化過程未必能在一節(jié)課上完成，但可以在大單元教學(xué)中逐步完成. 事實(shí)上，本節(jié)課中證明正弦定理的坐標(biāo)法，就是對任意角三角比的定義的應(yīng)用，使學(xué)生經(jīng)過一次次體驗(yàn)，逐步加深對任意角三角比的認(rèn)知.

總的來說，數(shù)學(xué)教學(xué)中建構(gòu)發(fā)展學(xué)生高階思維的實(shí)施路徑，目的是改變現(xiàn)有教學(xué)模式中的一些弊端，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，都有重要的意義和價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

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