［摘 要］ 針對(duì)高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的教學(xué)現(xiàn)狀，結(jié)合ACT-R理論，以斐波那契數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)為例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)實(shí)踐，并對(duì)ACT-R理論應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行反思.

［關(guān)鍵詞］ ACT-R理論；數(shù)學(xué)探究活動(dòng)；教學(xué)實(shí)踐

問(wèn)題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）提到高中數(shù)學(xué)課程要注重促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展. 已有研究表明數(shù)學(xué)探究教學(xué)可以增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，同時(shí)對(duì)增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心起著積極作用. 由于不作為考試內(nèi)容、課時(shí)緊張、學(xué)習(xí)難度大等因素，新課標(biāo)所規(guī)定的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)沒(méi)有得到足夠重視，大多數(shù)教師在組織教學(xué)時(shí)直接跳過(guò)這部分內(nèi)容，更談不上對(duì)其進(jìn)行研究并開(kāi)發(fā)新的學(xué)習(xí)項(xiàng)目，這顯然不符合新課改的要求. 鑒于此，筆者嘗試使用ACT-R理論對(duì)高中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，收獲頗多，在此提出分享.

ACT-R理論與高中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)

1. ACT-R理論概述

ACT-R理論的一個(gè)基本觀點(diǎn)是：可以由相對(duì)簡(jiǎn)單的原理形成相對(duì)簡(jiǎn)單的知識(shí)單元，再由這些相對(duì)簡(jiǎn)單的知識(shí)單元構(gòu)成復(fù)雜的認(rèn)知［1］. 它的基本內(nèi)涵是：任何知識(shí)的習(xí)得都是始于陳述性階段，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的程序化處理，最終過(guò)渡到自動(dòng)化階段［2］. ACT-R理論將知識(shí)分成兩類：陳述性知識(shí)和程序性知識(shí). 陳述性知識(shí)：用信息塊來(lái)表征，可以用“是什么”來(lái)回答；程序性知識(shí)：通過(guò)提取陳述性信息塊來(lái)達(dá)到目標(biāo)的規(guī)則性單元，是回答“如何做”的知識(shí).ACT-R理論由教學(xué)設(shè)計(jì)流程圖和各環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)的思維導(dǎo)圖構(gòu)成，為教師深度理解數(shù)學(xué)、深度理解學(xué)生和深度教學(xué)提供了強(qiáng)有力的技術(shù)支撐.

2. 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是指以解決具體問(wèn)題為目的，要求學(xué)生觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，猜測(cè)、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論和規(guī)律，以及解決問(wèn)題的思路和方案，并給出解釋或證明［3］.

3. ACT-R理論與數(shù)學(xué)探究教學(xué)

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)教學(xué)的實(shí)施是為了使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平. 不僅要合理設(shè)置探究問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)有探究意識(shí)的問(wèn)題情境，還要注重?cái)?shù)學(xué)探究活動(dòng)組織形式、探究手段的設(shè)計(jì)，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合作. ACT-R理論與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)合在一起，倡導(dǎo)將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，比建構(gòu)主義理論和情境認(rèn)知理論更加注重知識(shí)的邏輯性，對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)有很大的幫助［4］. 不僅如此，還有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，解決學(xué)習(xí)中存在的困惑，達(dá)到一個(gè)更好的教學(xué)效果.

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)與ACT-R理論有密切的聯(lián)系，即基于ACT-R理論，在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)教學(xué)中，將陳述性知識(shí)通過(guò)熟練操作轉(zhuǎn)化為程序性知識(shí)，通過(guò)精致練習(xí)使程序性知識(shí)更加自動(dòng)化，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維分析各要素之間的關(guān)系，進(jìn)而提升學(xué)生的應(yīng)用和創(chuàng)新意識(shí)［5］.

基于ACT-R理論的斐波那契數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)

斐波那契數(shù)列與黃金分割是人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)教材第四章“數(shù)列”（第10～11頁(yè)）中“閱讀與思考”的內(nèi)容. 斐波那契數(shù)列與等差、等比數(shù)列一樣，都是從現(xiàn)實(shí)背景中抽象概括出來(lái)的重要數(shù)列模型，而數(shù)列又是特殊的函數(shù)，基本遵循函數(shù)的研究路徑：背景—概念—性質(zhì)—應(yīng)用. 模型、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、極限等都是探究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常用的思想方法，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的研究手段.

1. 學(xué)習(xí)內(nèi)容及認(rèn)知分析

本節(jié)課主要的教學(xué)內(nèi)容包括斐波那契數(shù)列的概念、遞推公式、通項(xiàng)公式、性質(zhì)、實(shí)際應(yīng)用. 在此之前，學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式和簡(jiǎn)單應(yīng)用，這些都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了知識(shí)基礎(chǔ). 基于ACT-R理論的本節(jié)課結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖如圖1所示.

2. 學(xué)習(xí)目標(biāo)

與等差數(shù)列和等比數(shù)列相比，斐波那契數(shù)列的取值規(guī)律及性質(zhì)比較隱蔽且不易發(fā)掘. 另外，學(xué)生對(duì)數(shù)列問(wèn)題的求解思路和方法的應(yīng)用不夠靈活，其應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新能力也不夠強(qiáng). 現(xiàn)依據(jù)ACT-R理論和實(shí)際學(xué)情對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)進(jìn)行層級(jí)分解，并將其展示如下（如圖2所示）：

學(xué)習(xí)目標(biāo)

3. 基于ACT-R理論的斐波那契數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)流程圖

如圖3所示.

4.基于ACT-R理論的斐波那契數(shù)列教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1 溯斐波那契數(shù)列之源.

師：在前面幾節(jié)課中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本知識(shí)，也熟悉了研究數(shù)列的一般路徑，體會(huì)到了數(shù)列強(qiáng)大的魅力所在，還有哪些值得我們研究的數(shù)列呢？讓我們先來(lái)看一段視頻——《達(dá)·芬奇密碼》.（播放視頻）

師：視頻中的密碼重新排序后，它到底揭示了什么秘密？時(shí)間要回溯到1202年，一位叫列昂納多·斐波那契的意大利數(shù)學(xué)家，他出版了一本書，叫《算盤全書》. 該書介紹了一個(gè)神秘的數(shù)列——斐波那契數(shù)列.

設(shè)計(jì)意圖 在陳述性階段獲取陳述性知識(shí)：利用數(shù)學(xué)史引入課題，集中學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的求知欲，起到良好的教學(xué)效果.

環(huán)節(jié)2 明斐波那契數(shù)列之義.

問(wèn)題：如果1對(duì)兔子每月能生1對(duì)小兔子（一雄一雌），而每1對(duì)小兔子在它出生后的第3個(gè)月里，又能生1對(duì)小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，由1對(duì)初生的小兔子開(kāi)始，1年后會(huì)有多少對(duì)兔子？

師生活動(dòng)：教師解讀題目要求，帶領(lǐng)學(xué)生分析并填寫到第3個(gè)月，學(xué)生自主完成后面9個(gè)月的填寫.

學(xué)生活動(dòng)：嘗試用樹(shù)狀圖、列表等方法得到第4至12個(gè)月的兔子對(duì)數(shù).

追問(wèn)1：你是怎么得到這些月份的兔子對(duì)數(shù)的？

追問(wèn)2：這個(gè)規(guī)律適合每個(gè)月的兔子對(duì)數(shù)嗎？

追問(wèn)3：假設(shè)第n個(gè)月的兔子對(duì)數(shù)為F，你能用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)這個(gè)規(guī)律嗎？

師生總結(jié)：按照這個(gè)規(guī)律，我們能得到更多月份的兔子對(duì)數(shù)，這些數(shù)構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列. 由于這個(gè)數(shù)列最早是由斐波那契提出的，為了紀(jì)念他，人們把這個(gè)數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，通常記為｛F｝，數(shù)列中的項(xiàng)稱為斐波那契數(shù). 斐波那契數(shù)列的遞推公式為

F

=F=1，

F

+F

=F（n≥3，n∈N*）.

設(shè)計(jì)意圖 用ACT-R理論把大問(wèn)題分解為一系列的子問(wèn)題：通過(guò)問(wèn)題串的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出斐波那契數(shù)列的遞推性質(zhì)，抽象出斐波那契數(shù)列模型.

環(huán)節(jié)3 探斐波那契數(shù)列之?dāng)?shù)學(xué)美.

師：除了前面總結(jié)出來(lái)的遞推公式，斐波那契數(shù)列還有哪些性質(zhì)呢？（提供通項(xiàng)公式的一個(gè)雛形）

活動(dòng)1：類比等差、等比數(shù)列的研究?jī)?nèi)容及研究方法，對(duì)斐波那契數(shù)列展開(kāi)探究.

預(yù)設(shè)1：學(xué)生探究斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式；

預(yù)設(shè)2：學(xué)生探究斐波那契數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的比值.

師生活動(dòng)：教師組織學(xué)生合作探究，小組代表匯報(bào)探究成果.

①當(dāng)斐波那契數(shù)列的項(xiàng)數(shù)越來(lái)越大時(shí)，相領(lǐng)兩項(xiàng)的比值越來(lái)越接近黃金比

≈0.618

；②斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式為F=×

-

.

設(shè)計(jì)意圖 用ACT-R理論將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，促使學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì). 等差、等比數(shù)列的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是本節(jié)課探究活動(dòng)的生長(zhǎng)點(diǎn)，在斐波那契數(shù)列的探究過(guò)程中，學(xué)生從已有的陳述性知識(shí)出發(fā).

環(huán)節(jié)4 析斐波那契數(shù)列之自然美.

師：其實(shí)斐波那契數(shù)列不僅僅有數(shù)學(xué)美，它還有自然美、被稱為大自然的密碼. 現(xiàn)在我們一起來(lái)感受斐波那契數(shù)列的自然美.

活動(dòng)2：動(dòng)手操作，深化探究.

用所給的正方形紙片拼成矩形（從最小的兩個(gè)正方形開(kāi)始，每次添加一個(gè)正方形）. 如圖4所示，陰影部分的矩形面積是多少？最外圍的大矩形面積是多少？由此你可以猜想到什么結(jié)論？若從內(nèi)到外依次連接通過(guò)小正方形的四分之一圓弧，能得到什么樣的奇觀？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考后，小組展開(kāi)互學(xué)互助.

引導(dǎo)學(xué)生推廣“用不同的方法計(jì)算每次所得矩形的面積”得到的等式，歸納出斐波那契數(shù)列的又一個(gè)性質(zhì)：F+F+F+···+F=FnFn+1.

師：（PPT展示）從內(nèi)到外依次連接通過(guò)小正方形的四分之一圓弧，能得到一條螺旋線，被稱為斐波那契螺旋.

師：欣賞視頻，向日葵的兩組交錯(cuò)的螺旋結(jié)構(gòu)、鸚鵡螺的螺旋結(jié)構(gòu)等，動(dòng)態(tài)感受自然界中動(dòng)植物與斐波那契數(shù)列的聯(lián)系，體驗(yàn)斐波那契數(shù)列的自然美.

設(shè)計(jì)意圖 ACT-R理論把陳述性知識(shí)看成信息塊，通過(guò)主動(dòng)探索，從陳述性知識(shí)向程序性知識(shí)過(guò)渡，激活信息塊，順利提取產(chǎn)生式規(guī)則：從“形”的角度繼續(xù)探究斐波那契數(shù)列與黃金分割之間的關(guān)系，以形助數(shù)，發(fā)現(xiàn)新性質(zhì)；以數(shù)釋形，用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)圖形隱含的規(guī)律.

環(huán)節(jié)5 悟斐波那契數(shù)列之應(yīng)用美.

例題 已知斐波那契數(shù)列1，1，2， 3，5，8，13，21，34，55，….

（1）a+a+a+…+a是斐波那契數(shù)列中的第_______項(xiàng)；

（2）1+a+a+a+…+a是斐波那契數(shù)列中的第_______項(xiàng).

設(shè)計(jì)意圖 ACT-R理論倡導(dǎo)“精致練習(xí)”，激活產(chǎn)生式規(guī)則和信息塊：例題設(shè)置意在鞏固斐波那契數(shù)列的性質(zhì)和遞推公式，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)的、有用的.

環(huán)節(jié)6 聚課堂之髓.

師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)斐波那契數(shù)列經(jīng)歷了怎樣的過(guò)程？請(qǐng)同學(xué)們完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)成果報(bào)告. （報(bào)告內(nèi)容見(jiàn)表2）

設(shè)計(jì)意圖 ACT-R理論認(rèn)為，這正是在程序性目標(biāo)和信息塊的基礎(chǔ)上形成的自動(dòng)化階段，即遷移數(shù)學(xué)能力，總結(jié)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)研究方法，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)交流和表達(dá)能力.

ACT-R理論對(duì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)教學(xué)的啟示

ACT-R理論倡導(dǎo)將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，強(qiáng)調(diào)精致練習(xí)，提倡重視兩類知識(shí)的獲得和遷移等，為數(shù)學(xué)探究活動(dòng)提供了豐富的、可借鑒的教育理論，為數(shù)學(xué)探究教學(xué)設(shè)計(jì)提供了強(qiáng)有力的支撐，也是落實(shí)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的一種重要途徑.

1. 情境直觀化，促進(jìn)陳述性知識(shí)的獲得

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是讓學(xué)生在問(wèn)題情境中經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，進(jìn)而生成問(wèn)題解決方式的過(guò)程［6］. ACT-R理論認(rèn)為陳述性知識(shí)的獲得有被動(dòng)接受和主動(dòng)建構(gòu)兩種方式，并不是所有的新課引入都能吸引學(xué)生的注意力，創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫秤兄趯W(xué)生盡快地進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài). 新課引入要遵循直觀化原則，主要從兩個(gè)方面入手：數(shù)學(xué)史和實(shí)際需要. 引入數(shù)學(xué)史的目的是讓學(xué)生知道知識(shí)的出處，了解數(shù)學(xué)家的故事，激發(fā)他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心等非智力因素；實(shí)例引入要貼合學(xué)生固有的生活常識(shí)，而不是直接講述某一知識(shí)點(diǎn)讓學(xué)生記憶，要注意內(nèi)容大于形式. ACT-R理論的一個(gè)基本觀點(diǎn)是學(xué)習(xí)能力的提高可以通過(guò)簡(jiǎn)單的環(huán)節(jié)來(lái)實(shí)現(xiàn)，與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系后再引入新的知識(shí)點(diǎn)的過(guò)程，可以促進(jìn)陳述性知識(shí)的獲得.

2. 目標(biāo)層級(jí)化，觸發(fā)程序性知識(shí)的產(chǎn)生

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是基于問(wèn)題情境開(kāi)展自主探究、合作探究并最終解決問(wèn)題的過(guò)程，就是程序性知識(shí)的獲取過(guò)程. ACT-R理論認(rèn)為程序性知識(shí)的獲取關(guān)鍵在于產(chǎn)生式規(guī)則的獲得. 產(chǎn)生式主要依靠?jī)蓚€(gè)條件，一是需要一個(gè)處理某個(gè)具體目標(biāo)的情境；二是需要一個(gè)處理類似目標(biāo)的樣例. 在學(xué)習(xí)與問(wèn)題解決的過(guò)程中，每一個(gè)知識(shí)目標(biāo)都被分解為一連串的子目標(biāo)，而這些子目標(biāo)又被分解為一連串的更小的子目標(biāo)，通過(guò)目標(biāo)層級(jí)分解使得產(chǎn)生式被觸發(fā)，從而不斷深入和把握原有知識(shí)結(jié)構(gòu)，以便學(xué)習(xí)新的知識(shí)，完成新的經(jīng)驗(yàn)塊，產(chǎn)生更多的遷移能力，以程序化的形式固定下來(lái).

3. 練習(xí)精致化，促進(jìn)自動(dòng)化技能的形成

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中復(fù)雜問(wèn)題的解決，都需要基本技能的流暢性. ACT-R理論認(rèn)為“熟能生巧”，“熟”是提高陳述性知識(shí)激活水平和產(chǎn)生式強(qiáng)度的必要條件，即知識(shí)從陳述性轉(zhuǎn)變?yōu)槌绦蛐缘倪^(guò)程中，練習(xí)發(fā)揮著舉足輕重的作用，通過(guò)大量的精致練習(xí)，動(dòng)作和條件之間的反應(yīng)時(shí)間大大縮短，它們之間的匹配度得到提高，程序性知識(shí)會(huì)更加自動(dòng)化，ACT-R理論實(shí)際上也是“做中學(xué)”和“例中學(xué)”的理論.

本節(jié)課基于ACT-R理論的斐波那契數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)，以發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式及其性質(zhì)為主線，通過(guò)“情境背景—設(shè)計(jì)方案—小組合作—推進(jìn)方案—形成成果”這一由陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化為程序性知識(shí)的過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生敢于質(zhì)疑、善于合作、勇于創(chuàng)新，而這恰恰是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的價(jià)值所在.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 顧泠沅，鮑建生，周超. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程［M］. 上海：上海教育出版社，2009.

［2］ 約翰·安德森. 認(rèn)知心理學(xué)［M］. 楊清，張述祖，譯. 長(zhǎng)春：吉林教育出版社，1989.

［3］ 曾海英. 初中數(shù)學(xué)教科書中的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)分析［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2016，35（08）：10-15+20.

［4］ 劉偉. 基于ACT-R理論的初中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)研究［D］. 上海師范大學(xué)，2014.

［5］ 葉宏秀，張賢金. 指向核心素養(yǎng)的微項(xiàng)目化學(xué)習(xí)*——以“粗鹽的精制”的教學(xué)為例［J］. 化學(xué)教與學(xué)，2022（11）：59-62.

［6］ 靳玉樂(lè). 探究教學(xué)論［M］. 重慶：西南師范大學(xué)出版社，2000.