［摘 要］ 將信息技術合理應用于數(shù)學教學領域是時代發(fā)展的必然趨勢，它可滿足可視化教學的需求. 文章從GeoGebra軟件、可視化教學、GeoGebra與可視化三個核心主題的界定出發(fā)，探討GeoGebra軟件在可視化教學中的應用需遵循信息組塊避免冗余效應、多元聯(lián)系踐行深度學習、動態(tài)探索激發(fā)高階思維三個原則，并從概念生成、命題發(fā)現(xiàn)、問題解決三個方面具體談一談GeoGebra軟件在可視化教學中的實踐.

［關鍵詞］ GeoGebra軟件；可視化教學；實施原則

隨著信息技術在教育領域的普及，當代數(shù)學教學模式與傳統(tǒng)數(shù)學教學模式相比，發(fā)生了翻天覆地的改變，信息技術已廣泛應用到課堂教學中. 在學生認知負荷較重的背景下，教師需綜合考慮教學內容與教學技術等因素，選擇行之有效的教學方式提升教學效率. GeoGebra軟件具有代數(shù)運算、幾何作圖與數(shù)據(jù)處理等作用，為可視化數(shù)學教學帶來了更多便利.

核心主題界定

1. GeoGebra軟件

GeoGebra是一個結合代數(shù)、幾何、微積分的動態(tài)數(shù)學軟件. 教師可在該軟件上直接畫點、線段、直線、向量、曲線、多邊形或函數(shù)圖象等，也可通過輸入方程和點坐標獲得相應圖象. GeoGebra軟件界面有幾何窗口與代數(shù)窗口，兩者具有對應關系，如改變代數(shù)數(shù)據(jù)，幾何圖象隨之發(fā)生改變，反之亦然. 因此，這是一種具備同時處理幾何圖形與代數(shù)數(shù)據(jù)功能的軟件.

2. 可視化教學

1987年美國自然科學基金會提出“可視化（Visualization）”一詞，指借助一定的手段處理數(shù)據(jù)，使之形成可視化的圖形或圖象展示出來. 可視化教學是指教師借助信息技術手段，如GeoGebra或幾何畫板等軟件的演示功能，將學生難以理解的知識轉化成具體的圖形或動畫，使學生能更好地接受抽象的知識. 這種教學手段省略了很多煩瑣冗長的教學過程，有效提高了課堂教學效率.

3. GeoGebra與可視化

俗話說“一圖勝千文”. 數(shù)學可視化教學可將抽象的數(shù)學知識直觀地展示在學生面前，幫助學生更好地發(fā)現(xiàn)、理解與建構數(shù)學知識. GeoGebra軟件的介入，使代數(shù)方程或坐標與圖形同步變化，學生對數(shù)學知識的理解更加直觀，從真正意義上實現(xiàn)了“數(shù)與形”的有機結合. 同時，在GeoGebra軟件中輸入代數(shù)指令可為學生呈現(xiàn)動態(tài)的圖形演示過程，讓學生能更好地洞察數(shù)學世界，感知數(shù)學的獨特魅力.

例如，對于式子++…++=1-的證明，從代數(shù)的角度應用等比數(shù)列求和法或錯位相減法固然可以求證，但若借助GeoGebra軟件，通過圖形展示（見圖1）進行“無字證明”，可讓學生從可視化的圖形中對該式一目了然，帶給學生耳目一新之感.

由此可見，GeoGebra軟件是實現(xiàn)可視化教學的重要工具之一，而可視化又是展示GeoGebra軟件優(yōu)勢的重要方式，將兩者有機地融合在一起對提高數(shù)學課堂教學效率具有重要意義.

實施原則

1. 信息組塊避免冗余效應

視覺表征以可視化為載體，課堂借助動畫影像、圖象等直觀形式，向學生展示抽象的數(shù)學知識，引導學生感知教學內容的豐富和直觀，使學生更容易在內心建構形象化的數(shù)學信息，為實際應用奠定基礎. 因此，視覺表征屬于一種富有表現(xiàn)力的展示形式，學生從中能接收到豐富的信息. 值得注意的是，“讀圖”雖能有效提高學生對問題的理解程度，但過于復雜的圖象會帶來負面效應，讓學生感到視覺疲勞.

究竟該如何降低學生的認知負荷，借助GeoGebra軟件提高課堂可視化的教學成效呢？一方面需要關注可視化的效果，如利用曲線的動靜結合、構圖元素的疏密錯落、豐富的色彩等提升學生的視覺感受；另一方面借助GeoGebra軟件對可視化內容進行信息組塊，借助多元方式調配組合相應的教學內容，提高學生的理解能力.

2. 多元聯(lián)系踐行深度學習

基于數(shù)學知識來看，學生在課堂中所接觸到的新知相對而言都比較抽象，執(zhí)意用一種方法描述新知，不同認知水平的學生接受時難免出現(xiàn)偏差，而且單一的描述形式也不能揭露知識本質. 事實上，課堂上單一或不恰當?shù)谋磉_方式也是導致學生出現(xiàn)思維卡殼的關鍵因素. 為了突破這一障礙，最好的辦法就是在課堂上應用豐富的圖文等多種形式表達知識內涵，如此不僅能深化學生對知識的理解，還能幫助學生構建完善的知識結構，不斷優(yōu)化學生的解題策略. 然而，表征系統(tǒng)間的轉譯并非一件容易的事情，若想充分發(fā)揮好多元表征在教學中的優(yōu)勢，可利用各種表征間有意義的聯(lián)系進行，以便系統(tǒng)內化外在的數(shù)學符號.

如圖2所示，此為祖暅原理的可視化呈現(xiàn)，即用3D繪圖區(qū)的立體圖形展示祖暅原理，讓學生從平面的視圖中感知數(shù)值情況，體會兩者間的聯(lián)系，從真正意義上理解“冪勢既同，則積不容異”的內涵，實現(xiàn)深度學習.

3. 動態(tài)探索激發(fā)高階思維

多變的幾何位置關系，以及代數(shù)內容的豐富性導致數(shù)形關系復雜化，構建動態(tài)聯(lián)系的視覺化情境，不僅能讓學生在知識的動態(tài)變化中發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，還能感知知識的內涵與外延，為靈活應用做鋪墊. 事實上，數(shù)學表征的動態(tài)聯(lián)系，可將表征信息元素與整體關系精細地展示出來，還能將信息元素的結構關系與交互性暴露出來，促使學生對此產(chǎn)生關注，實現(xiàn)表征系統(tǒng)的互相轉譯，發(fā)展思維的縝密性與跳躍性，這也是高階思維的形成基礎［1］.

研究發(fā)現(xiàn)，動態(tài)探索需建立在數(shù)形結合上，學生通過對數(shù)學模型的探索與構建，自主發(fā)現(xiàn)解題思路與策略，從圖形與數(shù)量之間的關系中抽象出數(shù)學知識的一般結構與規(guī)律，從而在問題解決過程中有效提升數(shù)學高階思維與核心素養(yǎng).

實施途徑

1. 應用在概念生成過程中

概念是數(shù)學的基礎，是數(shù)學思維構成的基石，關注核心概念的教學是發(fā)展學生數(shù)學思維的重要途徑. 每一個數(shù)學概念的表達可以有多重方式，各種表征方式可促使學生產(chǎn)生不一樣的數(shù)學思維. 實踐證明，多元表征數(shù)學概念有助于學生多角度理解，深化掌握. 將GeoGebra平臺靈活應用在概念生成的過程中，不僅與新課標所倡導的“關注過程性教學”理念相契合，還讓學生能明確認知概念的形成與發(fā)展. 多角度表征概念，能增強學生對概念聯(lián)系性的理解，在無形中助力學生靈活應用概念來分析與解決一些復雜的數(shù)學問題.

案例1 “任意角的三角函數(shù)”的教學.

學生在探索任意角的三角函數(shù)之前就已經(jīng)有了一定的認知基礎，新知的建構需基于原有認知體系進行. 因此，在課堂的導入階段可帶領學生回顧舊知，為建構新概念做鋪墊. 新舊知識銜接的過程就是在知識的生長點處引導學生思考的過程. 值得注意的是，新知的建構需突破原有認知體系引發(fā)的思維定式，同時對角的終邊上的任意點的聯(lián)系產(chǎn)生明確認識.

如圖3所示，借助GeoGebra軟件引導學生基于可視化情境，對銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的特征產(chǎn)生清晰認識，并從角的動態(tài)變化中幫助學生理清如何應用點坐標來定義三角函數(shù)，讓學生在坐標度量的結論下認同“用點定義卻與點的位置無關”的觀念，令表征三角函數(shù)線的刻畫變得更加合乎情理.

本例提示數(shù)學概念的形成與建構，學生的思維需要經(jīng)歷“由直觀到抽象、由抽象到應用”的變化過程，有時還需要經(jīng)過循環(huán)反復才能實現(xiàn). 借助GeoGebra軟件對概念進行可視化演示，可讓概念獲得“原型”支持.

2. 應用在命題發(fā)現(xiàn)過程中

數(shù)學命題是對數(shù)學對象關系或性質關系的判斷句，其語言結構為“條件—結論”，屬于一種以邏輯形式刻畫數(shù)學對象的基本方法. 若將數(shù)學命題安排在其發(fā)生與發(fā)展的大背景下，不僅可以幫助學生理解知識的來龍去脈，還能讓學生對數(shù)學思想變遷的原委產(chǎn)生深刻理解，從真正意義上實現(xiàn)“知其然且知其所以然”.

數(shù)學命題的教學就是將命題的邏輯意義轉化成個體心理意義，概念學習與符號表征是數(shù)學命題的前提. “析理以辭，解體用圖”均需意象與語言的雙重編碼來編制網(wǎng)絡，構成結構圖式，學生從整體的角度有序檢索信息，實現(xiàn)對命題理解的融會貫通，此為命題關聯(lián)性特征的基本體現(xiàn).

案例2 解題認知圖式的構建.

問題：已知橢圓C：+=1（a>b>0）的焦點和短軸的一個端點恰巧構成一個直角三角形，橢圓C與直線l：y=-x+3有且僅有一個公共點T.

（1）求橢圓C的方程，并寫出點T的坐標；

（2）若坐標原點為點O，直線l′與OT平行，并與橢圓C分別相交于點A，B，與直線l相交于點P，證明存在常數(shù)λ可讓AP2=λAP·BP，并求λ的值.

本題為一道綜合題，學生初次接觸難以入手. 教師借助GeoGebra軟件將問題中的動態(tài)變化直觀地暴露在學生面前，用仿射變換揭露圓的幾何性質在圓錐曲線中的推廣，通過問題源與流的探索，構建新的命題網(wǎng)（見圖4）：①橫向的類比推理與縱向的歸納思考，其中類比推理主要是從圓的切割線定理出發(fā)，分析圓錐曲線中的定制規(guī)律；歸納思考則從橢圓切割線定理和相交弦定理發(fā)現(xiàn)定值背后的冪定理，經(jīng)過整合，歸納出圓錐曲線冪定理；②強、弱抽象，強抽象是指從冪定理到切割線定理的探索，弱抽象是將拋物線冪與橢圓冪中的定向參照弱化為圓錐曲線冪.

此類應用屬于難度系數(shù)較高的數(shù)學探索，如果離開信息技術的輔助，學生很難通過獨立思考揭露解題核心，而有圖有真相的技術參與，則顯著弱化了問題難度，將問題發(fā)生、發(fā)展的過程完全暴露出來，促使學生自主構建完整的認知圖式.

3. 應用在問題解決過程中

學生對知識的理解程度或學習能力的高低均體現(xiàn)在解題過程中，解題還能錘煉學生的思維，發(fā)展學生的綜合素養(yǎng). 想要幫助學生更好地掌握問題的數(shù)形結構，借助GeoGebra軟件研究問題的已知條件與結論之間的因果邏輯關系，探尋層次分明、邏輯清晰、規(guī)范表達的支持策略尤為重要.

案例3 問題情境圖的構建.

問題：已知△ABC中的AB=6，AC=8，若△ABC的外心為O，則·的值是多少？

如圖5所示，借助GeoGebra軟件拖動點B，以改變三角形的形狀，從數(shù)值表征中發(fā)現(xiàn)數(shù)量積的不變性特點，因而從一般退化至特殊，即為直角三角形時，點O位于BC上，獲得結論；若從特殊到一般進行逆向分析，可通過向量分解（=+），實現(xiàn)解題.

該過程在可視性支架的輔助下，實現(xiàn)了“特殊與一般”的雙向轉化，隨著實驗數(shù)據(jù)的輸入，學生的思維也豁然開朗. 因此，將GeoGebra軟件應用在問題解決過程中，可進一步優(yōu)化解題思路，發(fā)展學生的高階思維.

總之，可視化教學的開展，使得學生有更多機會經(jīng)歷從具體到抽象的數(shù)學演變過程，尤其是GeoGebra軟件的應用，既能讓學生看見問題背后的數(shù)據(jù)，又能讓學生看透問題所蘊含的內容，這是發(fā)展學生“三會”能力的基礎，也是發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要途徑.

參考文獻：

張志勇. 高中數(shù)學可視化教學：原則、途徑與策略——基于GeoGebra平臺［J］. 數(shù)學通報，2018（07）.