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讓“意外”成為課堂動態(tài)生成的資源

2024-08-07 00:00王富香
數(shù)學教學通訊·高中版 2024年7期

[摘 要] 課堂“意外”是課堂動態(tài)生成的教學資源,如何利用好這一資源是教師必需認真研究的課題. 研究者以兩位教師處理同一節(jié)課的課堂“意外”為例,結合訪談從“珍惜學生的疑惑”“讓反思成為習慣”“學會捕捉教學資源”三個方面展開思考.

[關鍵詞] 課堂;意外;動態(tài)生成;教學資源

學生已有的認知經(jīng)驗、思維習慣等,讓課堂變得多變、復雜. 教師作為課堂的組織者與引導者有著不容小覷的導向作用. 當出現(xiàn)一些突發(fā)狀況時,不同的教師會采取不一樣的處理方式,讓課堂呈現(xiàn)出不同的走向. 本文以兩位高三教師在復習教學中,面對同一道題的“錯誤”所采取的應對措施為例,對捕捉課堂“意外”,促使課堂動態(tài)生成談一些思考.

原題 已知銳角三角形ABC中的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若向量p=(a,b),q=(b,c),而且p,q共線,那么角B的取值范圍是什么?

教學實錄

這是學校備課組準備的復習講義上的一道例題,要求學生課前先做,教師課堂講解. 但命題出現(xiàn)了失誤,即題設中的“銳角三角形”為多余條件,因此需將這個條件去掉. 筆者在一節(jié)隨堂課中,恰巧聽到兩位教師教授本節(jié)課,他們在課堂上呈現(xiàn)出了兩種教學方式.

1. 教學實錄1

(第一位教師簡稱“師1”)

師1:本題出得不夠嚴謹,“銳角三角形”是個多余的條件,請大家將“銳角三角形”這個條件去掉,并說說你們的解題方法.

生1:待求結論為角B的取值范圍,我們只要能獲得它的某個三角函數(shù)值的范圍即可,因此解決本題可從求角B的余弦函數(shù)值的范圍出發(fā). 因為p∥q,所以ac=b2. 根據(jù)cosB=≥≥=,以及0<B,可得0<B≤. 因此,角B的取值范圍為

0,

.

師1肯定了該生的解法,總結與投影該生的解題過程. 正當師1準備提出其他問題時,一位學生提出自己有不同的想法.

生2:我認為原題中的“銳角三角形”這個條件是可以用的,若不去掉這個條件的話,角B的范圍應該是……

未等該生說完,師1就粗暴地打斷了該生的發(fā)言:已經(jīng)說過了,去掉“銳角三角形”這個多余的條件,這是編輯時出現(xiàn)的失誤,本題的討論至此結束.

雖然生2仍然想繼續(xù)表達其想法,但被師1示意坐下,開始討論其他練習了.

2. 教學實錄2

(第二位教師簡稱“師2”)

與師1一樣,要求學生去掉“銳角三角形”這一多余條件后開始作答. 意料之中,學生的回答與教學實錄1中的生1一樣. 師2肯定了學生的解題過程,并在投影學生的解題過程時提出:“大家對本題還有什么異議嗎?沒有的話咱們就接著探索下一個問題了.”

生3:如果“銳角三角形”這個條件不去掉的話,好像也能做.

一石激起千層浪,不少學生表現(xiàn)出了濃厚的興趣.

師2:這個想法提得很好,誰來說說看呢?

生4:我認為“銳角三角形”這個條件有沒有是一樣的,有的話解出角B的范圍同樣為

0,

.

生5:我認為有沒有“銳角三角形”這個條件,結論是不一樣的. 若增加了“銳角三角形”這個條件,不僅僅限制角B為銳角,而且也說明其他兩個角同樣是銳角,如此一來角B的范圍就有可能不是

0,

了,至于是多少,我不能確定.

師2:大家認同生5的想法嗎?

生6:認同,根據(jù)“銳角三角形”這個條件,可算出角B的范圍為

,

.

師2:哦?說說你的解題過程呢.

生6:根據(jù)ac=b2確定b既不是最長的邊,也不是最短的邊. 設a≤b≤c,有A≤B≤C. 因為A+B+C=π,所以C+2B≥π,2B≥π-C. 因為C為銳角,所以2B>,B>. 因此,角B的范圍為

,

.

(話音剛落,學生自發(fā)地鼓掌.)

師:很好!既然題設條件明確了△ABC為銳角三角形,那么角B的取值范圍從這個思路去探索確實沒錯. 但

,

一定是角B的準確范圍嗎?請大家再想想.

(學生自主思考、互相討論)

生7:他用放縮法獲得了結論,但放縮過程中不等價,從本題來看角B的取值范圍還可以更精確一些,是

,

的真子集. 如果A≤B≤C,那么△ABC為銳角三角形與最大內(nèi)角C為銳角等價,于是可以將角C為銳角轉化成0<cosC<1進行解題.

師2:非常好!這位同學給我們帶來了新的啟示,大家再試試看呢.

(此刻學生的探索熱情高漲起來)

生8:根據(jù)p∥q,得ac=b2,則b既不是最長的邊,也不是最短的邊. 設a≤b≤c,則A≤B≤C. 從題設條件可知角C為銳角,所以0<cosC<1,也就是0<<1,則a2+b2-c2>0,

a2+b2-c2<2ab,即a2+b2-c2>0,

(a-b)2<c2.因為ac=b2,所以a2-c2+ac>0,

(a-b)2<c2,也就是+1-

>0,所以0<<. 設t=,則t∈

0,

. 根據(jù)圖1,得y=+t∈[2,+∞),所以cosB==

面對這樣的結論,所有學生都感到意外:難道研究了半天白忙活了嗎?為什么計算出來的角B的范圍不如之前所探索的

,

精確呢?帶著疑慮,學生再次進入自主探索與合作交流的狀態(tài),學生飛速演算,教師也加入進去. 片刻后,有學生提出了自己的見解.

生9:生8的解題思路沒有問題,但在t=的取值范圍上缺少了“三角形任意兩邊之和必然大于第三條邊”和“a≤b≤c”這兩個約束條件. 因此,在解題過程中,需添加“a+b>c”和“a≤c”這兩個條件.

(其他學生認同生9的見解)

師2:想得比較周全,現(xiàn)在你來說說具體的解題過程.

該生演示解題過程(略). 在此基礎上,師生一起歸納總結解題方法.

課后訪談

為了進一步了解學生在課堂上的所思所想,筆者分別找到這兩個班的師生進行了交流.

訪談1 教學實錄1中的生2.

筆者:同學你好,在課堂上你提出原題中的“銳角三角形”這個條件是有用的,我很好奇當時你是怎么想的?

生2:我在課前就根據(jù)“銳角三角形”這個條件思考過,計算得到角B的范圍為

,

,但不能確定這種解題方法是否正確. (該生展示的解法與教學實錄2中的生6的解法一致)

聽完該生的解題思路后,筆者及時指出他的問題出在哪里,并當即與他一起探討正確的解法,這位學生心悅誠服.

訪談2 教學實錄1中的教師.

筆者:當時在課堂上為什么沒有順應生2的思維往下探討?

師1:因為本題本身就沒有“銳角三角形”這個條件,是出題教師在編輯時出現(xiàn)了失誤. 對于錯誤問題,我認為沒有必要進行討論,那是浪費課堂時間,高三復習時間太寶貴了.

筆者:或許聽聽學生的想法,有新的收獲呢?

師1:你不了解實際情況,生2這位同學平時就非?;钴S,經(jīng)常會問一些不著邊際的問題,影響課堂秩序,很多時候會影響教學目標的達成.

訪談3 教學實錄2中的教師.

筆者:本題中的“銳角三角形”這個條件已經(jīng)明確是編輯失誤造成的,當時為什么沒有強制學生去除“銳角三角形”這個條件呢?

師2:我認為學貴有疑,學生提出的每一個問題我們都要認真對待. 同時,我自己也研究了一下,發(fā)現(xiàn)這是一個值得探索的問題,具有一定的教學價值,對提升學生的數(shù)學思維與創(chuàng)新意識具有一定的意義.

筆者:那你就不怕影響課堂進度,無法順利完成教學任務嗎?畢竟這個討論需要耗費不少時間.

師2(微笑):在我心目中,所謂的教學任務就是發(fā)展學力,當遇到一個具有探索意義的疑問時,師生同進退、共挑戰(zhàn),不僅能有效幫助學生答疑解惑,還能從真正意義上發(fā)展學生的問題意識,促進學力發(fā)展,這才是根本的教學任務.

幾點思考

1. 珍惜學生的疑惑

在教學實錄1中,面對學生的疑惑,因為教師本身對這位學生有偏見,同時擔心完不成教學任務而以“權威者”的身份直接打斷了該生的發(fā)言,致使一個具有探索意義的問題在不經(jīng)意間溜走,實屬可惜. 這位教師對待學生的態(tài)度,以及對待課堂的“意外”情況,顯然違背了新課標所倡導的“尊重每一位學生”的要求,他的這種行為也嚴重挫傷了學生的自尊.

課后訪談發(fā)現(xiàn)教學實錄1中的生2的想法并不完全準確,他所犯的錯誤也是一個普遍性錯誤,在教學實錄2中同樣存在. 由此可以看出,這是學生會犯的一個典型錯誤,因此更值得拿出來探討,避免類似問題的再次發(fā)生.

愛因斯坦認為,提出一個問題比解決一個問題更重要. 新課標也強調(diào)要培養(yǎng)學生的“四基”與“四能”,其中“四能”就是學生主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題與解決問題的能力. 教學實錄1中的教師直接將學生的疑惑扼殺在搖籃中,顯然阻礙了學生“四能”的發(fā)展,因此這是一種值得反思的教學活動.

真實的課堂教學應該是在良好的氛圍中,學生主動參與的過程,尤其是面對學生提出的困惑,教師應耐心傾聽、積極引導、隨機應變、妥善處理,讓每一個問題都能發(fā)揮其教學價值,這也是促使學生所提問題的質(zhì)量越來越高的前提.

師生之間本就應該是親密的伙伴關系,教師要尊重學生在課堂中的表現(xiàn),必要時給予適當引導,可增強教學的輻射作用.

2. 讓反思成為習慣

良好的反思能力能有效提高探索效果. 如教學實錄1中的教師,若他能在課前對學情與問題進行研究,自然會考慮到以下四點:①為什么說“銳角三角形”為多余的條件?②倘若不刪除“銳角三角形”這個條件,本題會怎樣?③學生解決本題可能會應用什么方法?④其他班的教師是怎么處理本題的?

基于上述問題進行思考,師1對本題的講解探索也不會如此干癟,但凡他愿意聽取學生的意見,至少能解決一些常見錯誤和典型錯誤. 由此可見,尊重學生、及時反思、順應學生的認知去探究是一位教師必備的教學態(tài)度. 正如葉圣陶先生所言:我們要將好的態(tài)度與方法轉化成習慣,讓它成為一種本能,這是讓一個人受益終身的能力.

從上述兩個教學實錄來看,師1的教學態(tài)度與反思習慣還有待加強,而師2不管是對待學生,還是對待自我,都有端正良好的教學態(tài)度和反思習慣,正是這種端正良好的教學態(tài)度與反思習慣促使著課堂動態(tài)生成.

3. 學會捕捉教學資源

想要提高教學實效,首先要有豐富的教學素材. 很多時候,錯誤就是一種絕佳的教學資源. 一線數(shù)學教師不僅要引導學生學會分析與整理問題,還要帶領學生在不斷優(yōu)化解題策略的過程中開發(fā)智力,提高學習能力.

如師2,他就憑借超強的業(yè)務能力判斷本題是不可多得的教學資源,值得師生去辨析、探索,這對深化學生對這部分知識的理解,發(fā)展學生的數(shù)學思維能力與學力等具有重要意義. 尤其以學生的疑點作為探索起點,不僅能成功激發(fā)學生認知沖突,還能提高學生探索積極性,引導學生在疑惑中產(chǎn)趣、明理,這是促使課堂動態(tài)生成的關鍵.

總之,捕捉課堂“意外”,促使課堂動態(tài)生成是新課標給大家提出的要求,也是促進學生學力發(fā)展的關鍵. 對于學生而言,具有挑戰(zhàn)性的問題不僅能有效激活參與意識,還能促使深度學習發(fā)生,滿足數(shù)學學科核心素養(yǎng)發(fā)展的需要.