［摘 要］ 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo). 基于教材“再建構(gòu)”設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，能有效發(fā)展學(xué)生的抽象能力、建模能力等，對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)具有重要意義. 研究者以“不等關(guān)系”的教學(xué)為例，從教材“再建構(gòu)”的原則出發(fā)，分別從教材分析、教學(xué)簡(jiǎn)錄、教學(xué)思考三個(gè)方面展開(kāi)實(shí)踐與研究.

［關(guān)鍵詞］ 不等關(guān)系；核心素養(yǎng)；教材；再建構(gòu)

深入理解教材編寫(xiě)意圖，堅(jiān)持“以課本為本”的原則，緊緊圍繞章節(jié)核心知識(shí)與思想設(shè)計(jì)教學(xué)是廣大教育工作者的共識(shí). 但教材知識(shí)是平面且固化的，而真正的課堂卻是多維動(dòng)態(tài)的. 因此，教師在堅(jiān)持“以課本為本”的同時(shí)，還需結(jié)合學(xué)情、教情與考情對(duì)教材進(jìn)行拓展與延伸，以進(jìn)一步揭露知識(shí)內(nèi)涵，提高課堂教學(xué)價(jià)值.

教材“再建構(gòu)”的原則

美國(guó)心理學(xué)家斯金納提出：當(dāng)人們忘掉在學(xué)校所學(xué)的知識(shí)后，剩下的就是教育了. 學(xué)習(xí)不僅僅是知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，更重要的是學(xué)習(xí)方法與思維的建構(gòu). 怎樣讓零碎的知識(shí)變得系統(tǒng)化，讓學(xué)生的思維更加深刻一些呢？研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)教材進(jìn)行“再建構(gòu)”可達(dá)成這一目標(biāo).

教材“再建構(gòu)”一般遵循如下幾點(diǎn)原則：①遵循知識(shí)產(chǎn)生的邏輯順序，不隨意增刪、提前或滯后；②與學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律相符，以發(fā)展學(xué)力為指向；③符合學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律，以學(xué)生現(xiàn)有的思維水平作為教材“再建構(gòu)”的起點(diǎn).

教學(xué)分析

“不等關(guān)系”是本章節(jié)的章起始課，是一元二次不等式（組）、線性規(guī)劃等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此這部分內(nèi)容具有舉足輕重的作用，切不可一帶而過(guò). 從教材來(lái)看，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)放在具體情境與不等式模型的建立上，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從生活實(shí)際問(wèn)題中甄別不等關(guān)系，為建立不等式奠定基礎(chǔ). 從考綱要求來(lái)看，本節(jié)課僅需建立模型，并不需要求解.

結(jié)合教學(xué)目標(biāo)與學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，筆者決定對(duì)教材進(jìn)行“再建構(gòu)”，帶領(lǐng)學(xué)生從他們所熟悉的生活實(shí)際中抽象不等關(guān)系，在積極互動(dòng)中建立模型，形成普適性的研究方法.

教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 情境導(dǎo)入，感知不等

情境1 自2005年南京地鐵1號(hào)線運(yùn)營(yíng)以來(lái)，為人們的出行提供了太多便利. 如今，南京地鐵線路越來(lái)越多，創(chuàng)造了中國(guó)地鐵的多個(gè)記錄，如造價(jià)低、票價(jià)低、人工少等，這些都反映了咱們的現(xiàn)實(shí)生活中存在一些不等關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖 以現(xiàn)實(shí)生活作為導(dǎo)入情境，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活有著密切聯(lián)系，感知“生活處處皆數(shù)學(xué)”；著重突出知識(shí)形成背景和生活現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，讓學(xué)生自主嘗試用數(shù)學(xué)眼光看待現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界，對(duì)發(fā)展學(xué)生的“三會(huì)”能力與數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)具有重要意義.

情境2 已知張三和李四的身高都是174 cm，那么這兩個(gè)人的實(shí)際身高一定相等嗎？

這個(gè)問(wèn)題成功引發(fā)了學(xué)生認(rèn)知沖突，有學(xué)生認(rèn)為數(shù)據(jù)一樣，這兩人的實(shí)際身高必然相等；也有學(xué)生認(rèn)為如果將數(shù)據(jù)單位精確到毫米、微米后，那么這兩人的實(shí)際身高就可能不相等.

設(shè)計(jì)意圖 身高問(wèn)題引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中所說(shuō)的相等關(guān)系往往是相對(duì)的，與相等關(guān)系相比，生活中的不等關(guān)系更多一些.

情境3 如圖1所示，此為我國(guó)古代用來(lái)取水的裝置——桔槔，請(qǐng)大家觀察圖片說(shuō)說(shuō)它的工作原理.

生1：這是利用杠桿原理，借助動(dòng)力臂與阻力臂長(zhǎng)度不相等的特征來(lái)制造的取水裝置.

師：非常好！以上三個(gè)情境告訴我們，不等關(guān)系存在于生活中的方方面面，因此我們有必要深入探索與研究它.

設(shè)計(jì)意圖 三個(gè)情境在課本中都出現(xiàn)過(guò)，筆者將它們整合到一起，引導(dǎo)學(xué)生從“發(fā)現(xiàn)不等—思考不等—應(yīng)用不等”的線索出發(fā)，感知學(xué)習(xí)不等的必要性與重要性，激趣啟思的同時(shí)為接下來(lái)的教學(xué)奠定基礎(chǔ).

2. 雙邊互動(dòng)，表示不等

結(jié)合以上情境，啟發(fā)學(xué)生自主提出“不等關(guān)系用不等式來(lái)表示”. 在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考如下幾個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1 何為不等式？不等號(hào)有哪些？

在問(wèn)題的啟發(fā)下，學(xué)生認(rèn)為用不等號(hào)連接起來(lái)的式子為不等式，不等號(hào)有“>”“<”“≤”“≥”“≠”等.

追問(wèn)：你們知道不等號(hào)是誰(shuí)最先使用的嗎？

史料滲透：1631年，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用不等號(hào)“>”“<”，但當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界并不承認(rèn)該符號(hào)，直到百年以后，不等號(hào)才被數(shù)學(xué)界接受.

設(shè)計(jì)意圖 史料的應(yīng)用，意在潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地滲透數(shù)學(xué)文化，為進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)夯實(shí)基礎(chǔ).

問(wèn)題2 請(qǐng)大家列舉一些數(shù)學(xué)中含有不等關(guān)系的實(shí)例.

生2：完全平方的數(shù)必然不小于0.

師：該怎樣用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)呢？

生2：A2≥0.

生3：三角形的任意兩條邊的和必然大于第三條邊，用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述就是a+b>c，b+c>a，a+c>b（a，b，c為三角形的三條邊）.

師：很好！這些都屬于數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的不等關(guān)系. 生活中也存在不少不等關(guān)系，現(xiàn)在請(qǐng)大家來(lái)看這三句話（用PPT展示）：①南京地鐵軌道線網(wǎng)超出了225公里；②南京地鐵售票處限定地鐵3號(hào)線的票價(jià)不得低于2元，不得高于7元，即票價(jià)介于2～7元之間；③乘坐地鐵時(shí)，乘客不得攜帶超過(guò)15 kg或大于0.15 m3的行李.

問(wèn)題3 請(qǐng)找出這三句話中的不等關(guān)系，列表表示.

學(xué)生經(jīng)過(guò)自主探究，將三個(gè)不等關(guān)系中的數(shù)據(jù)羅列在表1中.

問(wèn)題4 在列表過(guò)程中，你們是如何將文字語(yǔ)言的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言的不等關(guān)系？

生4：先從文字表述中探尋出不等關(guān)系，然后設(shè)未知數(shù)，根據(jù)不等關(guān)系詞的意思進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

師：不錯(cuò)，不等關(guān)系詞所表達(dá)的就是不等關(guān)系，因此我們可用不等號(hào)將其中的不等關(guān)系表達(dá)出來(lái). 現(xiàn)在請(qǐng)同桌之間互相說(shuō)一說(shuō)生活實(shí)際中的不等關(guān)系，并用不等式表達(dá)出來(lái).

（學(xué)生交流、互動(dòng)、展示）

設(shè)計(jì)意圖 不論是地鐵的例子，還是同伴之間互相提出的生活實(shí)際問(wèn)題，都是為了引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的不等關(guān)系，并將這種不等關(guān)系用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，為接下來(lái)的教學(xué)做鋪墊.

3. 模型建立，應(yīng)用不等

問(wèn)題5 既然我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了怎樣用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)不等關(guān)系，那么能否建立不等模型呢？下面我們一起來(lái)看幾道例題.

例1 某人每月從家到公司往返共40次，他為自己制定了交通費(fèi)不超過(guò)120元/月的計(jì)劃，已知乘坐地鐵的費(fèi)用為2元/次，而乘坐出租車(chē)的費(fèi)用為15元/次，他每個(gè)月至少需要乘坐幾次地鐵，才能確保交通費(fèi)不超出預(yù)算？

解析 設(shè)每個(gè)月乘坐地鐵的次數(shù)為x，那么乘坐出租車(chē)的次數(shù)就是40-x，列式15（40-x）+2x≤120（x∈N），得13x≥480.

設(shè)計(jì)意圖 以一個(gè)簡(jiǎn)單的生活通勤實(shí)例帶領(lǐng)學(xué)生感知一元一次不等式模型，整個(gè)問(wèn)題其實(shí)還是圍繞“地鐵”這個(gè)背景而設(shè)計(jì)的，一方面前后呼應(yīng)，另一方面揭露健康的通勤方式，起到育人的作用.

問(wèn)題6 你能自主總結(jié)解決不等關(guān)系的一般步驟嗎？

師生積極互動(dòng)交流，共同總結(jié)出圖2.

設(shè)計(jì)意圖 帶領(lǐng)學(xué)生從“三會(huì)”的角度出發(fā)，促使學(xué)生自主提煉研究不等式的基本模型，感知基本的研究方式方法，為發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、建模能力等服務(wù).

例2 已知地鐵站有多臺(tái)自動(dòng)售賣(mài)機(jī)，某品牌的純凈水以2元的價(jià)格出售，每個(gè)月的銷售總量約10萬(wàn)瓶，如果將其價(jià)格每瓶抬高0.2元，那么每個(gè)月的銷售總量就會(huì)減少5000瓶. 若想讓這種純凈水的月銷售額大于22.4萬(wàn)元，該如何定價(jià)？

解析 假設(shè)定價(jià)提高x元，結(jié)合題意可列式（x+2）

10-

>22.4，經(jīng)化簡(jiǎn)，有5x2-10x+4.8<0.

設(shè)計(jì)意圖 此例為課本上的一道練習(xí)題，將它應(yīng)用到課堂授課中，意在引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考與分析現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，從而進(jìn)一步歷練學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象數(shù)學(xué)模型的能力，深化學(xué)生的建模思想與抽象素養(yǎng).

例3 制造列車(chē)時(shí)，需將一部分原長(zhǎng)度為4000 mm的不銹鋼管分別截取出500 mm與600 mm兩種規(guī)格，且規(guī)格為600 mm的數(shù)量不超過(guò)規(guī)格為500 mm的3倍，請(qǐng)將滿足以上條件的不等關(guān)系寫(xiě)出來(lái).

解析 假設(shè)截取了x根500 mm的鋼管，y根600 mm的鋼管，列式

500x+600y≤4000，

3x≥y，

x∈N，y∈N.

設(shè)計(jì)意圖 此為引入線性規(guī)劃知識(shí)的基礎(chǔ)，即用不等式組來(lái)刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)中的不等關(guān)系，讓學(xué)生再次感知數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過(guò)程，為提煉基本的數(shù)學(xué)思想方法做鋪墊.

4. 拓展延伸，提煉不等

例4 已知b g鹽水的含鹽量為a g，如果往該鹽水內(nèi)再加入m g（m>0）的鹽，那么原來(lái)的鹽水會(huì)變得更咸，請(qǐng)從該實(shí)例中提煉不等關(guān)系.

解析 原鹽水濃度是，再加m g鹽后，鹽水濃度就是，那么不等關(guān)系為>.

問(wèn)題7 從以上幾個(gè)實(shí)例來(lái)看，數(shù)學(xué)是詮釋生活的重要方式，正因?yàn)閿?shù)學(xué)的存在讓我們的生活變得更加豐富. 你們還能列舉一些類似的實(shí)例嗎？

學(xué)生積極互動(dòng)，提出女性穿高跟鞋后，增加了下半身與身高的比例，基本接近黃金分割數(shù)0.618，所以視覺(jué)效果更好，等等.

設(shè)計(jì)意圖 鹽水問(wèn)題是生活中常見(jiàn)的現(xiàn)象，該例的提出主要是為了引導(dǎo)學(xué)生深化對(duì)分式不等式的理解，強(qiáng)化學(xué)生的建模意識(shí)與抽象能力，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 要求學(xué)生自主探尋生活中的實(shí)例，意在考查學(xué)生對(duì)不等式的理解與應(yīng)用能力，這是檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容掌握程度的過(guò)程，讓學(xué)生再次體驗(yàn)生活中處處存在不等關(guān)系.

5. 回顧總結(jié)，回味不等

問(wèn)題8 本節(jié)課是怎樣展開(kāi)探索不等關(guān)系的？

這是一個(gè)回顧總結(jié)的問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)思考與交流后，認(rèn)為本節(jié)課的探索過(guò)程為“情境導(dǎo)入→乘坐地鐵→售賣(mài)飲料→制造地鐵→鹽水問(wèn)題”，整個(gè)過(guò)程連貫且條理清晰. 此過(guò)程，涉及一元一次不等式（組）、一元二次不等式，以及分式不等式等模型.

問(wèn)題9 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你獲得了哪些感悟、體驗(yàn)與收獲？

依然經(jīng)過(guò)合作交流，學(xué)生展示：如圖3所示，將生活實(shí)際中的不等關(guān)系作為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)不等式的建立與解不等式，可獲得相應(yīng)的不等關(guān)系.

感悟階段，學(xué)生表示通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)進(jìn)一步感知生活處處皆數(shù)學(xué)的真諦，感悟生活中的很多事物是相對(duì)的，不等關(guān)系普遍存在于生活實(shí)際中，用好不等關(guān)系不僅能提高生活效率，還能讓生活變得豐富多彩、積極健康.

設(shè)計(jì)意圖 課堂總結(jié)猶如一節(jié)課的點(diǎn)睛之筆，處理好相等與不等關(guān)系的辯證是立德樹(shù)人的基礎(chǔ)，也是幫助學(xué)生形成終身可持續(xù)發(fā)展能力的基本途徑.

教學(xué)思考

1. 巧設(shè)情境，豐富教學(xué)背景

學(xué)生對(duì)與自己生活息息相關(guān)的知識(shí)更感興趣，因此應(yīng)站在學(xué)生的角度設(shè)計(jì)情境. 不等關(guān)系從數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言上來(lái)說(shuō)相對(duì)抽象，難以拉近學(xué)生與知識(shí)的距離，而豐富的生活背景則能引發(fā)學(xué)生的探索興趣，讓學(xué)生自然而然地進(jìn)入不等關(guān)系的研究中來(lái). 當(dāng)然，情境的選擇非常重要，切忌讓過(guò)于復(fù)雜的情境成為課堂的負(fù)擔(dān).

課堂伊始，筆者從教材出發(fā)，優(yōu)選地鐵、身高與桔槔三個(gè)生活實(shí)例，它們分別從現(xiàn)代化工業(yè)、人類本身與數(shù)學(xué)史三個(gè)角度來(lái)詮釋不等關(guān)系，具有典型代表性，每一個(gè)情境簡(jiǎn)潔明了、條理清晰，便于學(xué)生從中感知什么是不等關(guān)系，又不會(huì)模糊視線. 尤其是關(guān)于地鐵的情境幾乎貫穿了整個(gè)課堂，讓教學(xué)更具系統(tǒng)性.

2. 精設(shè)問(wèn)題，營(yíng)造自由空間

問(wèn)題是課堂的靈魂. 本節(jié)課由9個(gè)問(wèn)題循序漸進(jìn)地構(gòu)成，學(xué)生的思維隨著問(wèn)題的深入而更加豐富，這是課堂教學(xué)的常用方式. 縱觀整節(jié)課，筆者所提出的問(wèn)題都是開(kāi)放式的，這給學(xué)生提供了更多自由思考的空間，也給學(xué)生的思維指明了方向，學(xué)生在一個(gè)個(gè)有效問(wèn)題的指導(dǎo)下自主分析與思考，不僅順利突破了教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，還發(fā)展了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

3. 縱橫拓展，提煉總結(jié)升華

新課標(biāo)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)并不是完成知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)即可，而應(yīng)著眼于數(shù)學(xué)思想方法，夯實(shí)“四基”與“四能”，發(fā)展“三會(huì)”能力等，只有指向數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)才是促進(jìn)教育高質(zhì)量發(fā)展的教學(xué).

為了有效激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，筆者深挖教材，讓學(xué)生“感知→發(fā)現(xiàn)→思考”什么是不等關(guān)系，進(jìn)而全方位認(rèn)識(shí)不等關(guān)系，并通過(guò)幾個(gè)典型不等實(shí)例讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)不等關(guān)系的必要性與重要性，成功推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的發(fā)展，彰顯教材“再建構(gòu)”的優(yōu)勢(shì).

總之，教材“再建構(gòu)”的目的是更好地指向數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展，這是讓課堂超越基礎(chǔ)知識(shí)與技能，促進(jìn)學(xué)力發(fā)展的基礎(chǔ)，也是落實(shí)“立德樹(shù)人”任務(wù)和“以生為本”理念的重要途徑. 因此，這是一種值得探索與研究的教學(xué)方式.